Equazioni differenziali e serie numeriche: Appunti di Analisi

Equazioni Differenziali

• Equazione: uguaglianza con almeno un'incognita
• Risoluzione: valore per cui l'equazione è risolta (l'equazione diventa un'identità)

Equazione differenziale: è un'equazione caratterizzata dal fatto che l'incognita sia una funzione → possono apparire nell'equazione anche le derivate di x.

Equazioni differenziali del primo ordine

Consideriamo le equazioni del tipoF(t, y, y') = 0

Ad esempio, la ricerca delle primitive di una funzione f continua su I equivale a risolvere l'equazione differenziale di primo ordine:y'(t) = f(t)

che ha infinite soluzioni del tipo:y(t) = ∫ f(t) dt + C   C ∈ ℝ

Si dimostra poi che l'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale del primo ordine è costituito da una famiglia di funzioni, dipendente da un parametro c: t → Ψ(t; C) tale famiglia prende il nome di integrale generale dell'equazione (non si è necessario fare l'integrale per iscriverlo)

La condizione supplementarey(t_o) = y_opermette in generale di selezionare una soluzione particolare.

Se il problema è risolvere le equazioni:y'(t) = f(t, y(t))   (in forma normale)   y'(t) = f(t, y(t))y(t_o) = y_o                 y(t_o) = y_o   (in genere esiste un'unica soluzione)

Prende il nome di Problema di Cauchy.

Quando si parla di soluzione di Cauchy si intende sempre una funzione che:

1. È definita su un intervallo I, contenente il punto t_o in cui è assegnata la condizione iniziale;
2. È derivabile in tutto I e soddisfa l'equazione in tutto I.

Equazioni Differenziali

• Equazione: uguaglianza con almeno un'incognita
• Risoluzione: valore per cui l'equazione è risolta (l'equazione diventa un'identità)
• Equazione differenziale: è un'equazione caratterizzata dal fatto che l'incognita sia una funzione ⟶ possono apparire nell'equazione anche le derivate di x.

Equazioni differenziali del primo ordine

Consideriamo le equazioni del tipo

F(t, y, y') = 0

Ad esempio, la ricerca delle primitive di una funzione f continua su I equivale a risolvere l'equazione differenziale di primo ordine.

y'(t) = f(t)

che ha infinite soluzioni del tipo:

y(t) = ∫f(t) dt + C, C ∈ ℝ

Si dimostra poi che l'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale del primo ordine è costituito da una famiglia di funzioni dipendente da un parametro c: t ⟼ ψ(t;C) tale famiglia prende il nome di Integrale Generale dell'equazione (non si necessita fare l'integrale per sostenerlo).

La condizione supplementare

y(t₀) = y₀

permette in generale di selezionare una soluzione particolare.

Il problema di risolvere le equazioni:

y'(t) = f(t, y(t)), y(t₀) = y₀ (in forma normale y'(t) = f(t, y(t)) y(t₀) = y₀) (in genere esiste un'unica soluzione)

Prende il nome di Problema di Cauchy.

Quando si parla di soluzione di Cauchy si intende sempre una funzione che:

1. È definita su un intervallo I, contenente il punto t₀ in cui è assegnata la condizione iniziale.
2. È derivabile in tutto I e soddisfa l'equazione in tutto I.

Esempio modello di Malthus forma N'(t)=ε⋅N(t)

Si considera una popolazione che evolve isolata e i cui unici fattori di evoluzione sono fertilità e mortalità. Indicheremo con N(t) il numero di individui presenti al tempo t; con λ il numero di nuovi nati e con μ il numero di morti per individuo nell'unità di tempo. Fissando un tempo di durata h, il numero di nuovi nati sarà λ⋅h⋅N(t) e i morti saranno μ⋅h⋅N(t).

Perciò la variazione del numero di individui in un tempo h sarà:

N(t+h)−N(t) = λ⋅h⋅N(t)−μ⋅h⋅N(t)

⇒ \( \frac{N(t+h)−N(t)}{h} = λN(t)−μN(t) \) per \( h→0 \)

⇒ N'(t) = (λ−μ)⋅N(t) ⇒ N'(t) = ε⋅N(t)

⇒ ε⋅\(\frac{N'(t)}{N(t)}\) = costante (a N'(t)≠0)

ma questo può essere scritto come:

\(\frac{d}{dt}\)(ln|N(t)|)−ε = Si integra in dt ⇒ ln|N(t)| = εt + C₁

⇒ |N(t)| = e^C₁ εt = k² e^εt (\(k², C = e^C₁