Econometria - l'inferenza statistica

F. Carlucci, A. Girardi – Traccia per un corso di Econometria

Modulo X – Modelli VAR

2. INFERENZA STATISTICA

Indice del capitolo

2.1. La stima dei minimi quadrati ..................................................................................... 2

2.2. Lo stimatore dei minimi quadrati e la sua non distorsione ...................................... 4

2.3. Consistenza dello stimatore dei minimi quadrati...................................................... 5

2.4. Normalità asintotica dello stimatore dei minimi quadrati ....................................... 6

2.5. Un esempio ................................................................................................................... 8

2.6. La stima di Yule–Walker........................................................................................... 10

2.7. Un esempio di stima di Yule-Walker ........................................................................ 12

2.8. La funzione di verosimiglianza ................................................................................. 13

2.9. Gli stimatori di massima verosimiglianza e le loro proprietà................................. 15

2.10. Scelta dell’ordine del modello.................................................................................... 17

2.11. Verifica della bianchezza dei residui ........................................................................ 20

2.12. Test del Portmanteau ................................................................................................ 23

2.13. Test di non normalità ................................................................................................ 25

2.14. Bibliografia ................................................................................................................. 28

Pagina 2-1

Modulo X – Modelli VAR

2.1. La stima dei minimi quadrati

p

Riprendiamo il modello VAR( ) dato dalla (1.1.5) includendovi il temine noto che

c

nel primo capitolo avevamo supposto nullo per semplicità

= + + + + + (2.1.1)

y c A y A y … A y u

t 1 t−1 2 t−2 p t−p t

e risolviamo il problema di effettuare un’inferenza statistica dei suoi parametri, che

=

, le matrici , , e la matrice di dispersione a ritardo nullo dei

sono c A i 1, 2, ..., p

i

residui , nell’ipotesi che questi seguano un rumore bianco vettoriale con le

Σ u

ipotesi stocastiche deboli (1.5.1). = , del campione a nostra

Scriviamo il modello (2.1.1) per tutti i tempi t 1, 2, ..., n

disposizione, secondo la formulazione (1.3.8)

= +

Y Π Z U (2.1.2)

che ora è leggermente diversa da quella fornita nel paragrafo 1.3 perché dobbiamo

; allora è

tener conto dell’aggiunta di c

= (2.1.3)

Π [

c A A ... A ]

1 2 p

( ( ) )

× +

k kp 1 ′ (2.1.4)

′ ′ ′

=

Z [

1 Y Y ... Y ]

− − −

1 2 p

( ( ) )

+ ×

1

kp n

è una matrice di ordine formata da elementi tutti pari ad 1 e ,

dove 1 (k×n) Y −i

= , è data dalla (1.3.6).

i 1, 2, ..., p

Operiamo sulla (2.1.2) con vec ( )

′

= + = ⊗ + (2.1.5)

vec

Y vec

Π Z vec

U Z I vec

Π vec

U

k

avendo fatto uso della (IV-...). Se poniamo =

= = u vec

U

y vec

Y ,

π vecΠ

, (2.1.6)

la (2.1.5) può essere scritta nella forma

( )

′

= ⊗ + (2.1.7)

y Z I π u

k

per la quale la devianza dei residui è

′

[ ] [ ]

( ) ( ) ( )

′ ′ ′

= = − ⊗ − ⊗ =

π u u y Z I π y Z I π

S k k

′ ′

( ) ( ) ( )

′ ′ ′ ′ ′ ′

= − ⊗ + ⊗ ⊗

y y π Z I y π Z I Z I π

2 k k k

( ) ′

Derivando rispetto a ed uguagliando a zero si ottiene

π

S π

( )

∂ ′ ′

S π ( ) ( ) ( )

′

′ ′ ⊗ =

= − ⊗ + ⊗

2 2 0

Z I y Z I Z I π

′ k k k

∂

π Pagina 2-2

Modulo X – Modelli VAR stima

dalla quale, utilizzando le proprietà del prodotto di Kronecker, si ottiene la

dei minimi quadrati [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− − − (2.1.8)

′ ′ ′

1 1 1

−

= ⊗ ⊗ = ⊗ ⊗ = ⊗

1

ˆ

π Z Z I Z I y Z Z I Z I y Z Z Z I y

k k k k k

Che la (2.1.8) sia un punto di minimo è facilmente verificato tramite la matrice

hessiana ( )

∂ 2 ′

S π ( ) ( ) ( )

′ ′ ′

= ⊗ ⊗ = ⊗

2 Z I Z I 2 Z Z I

′ k k k

∂ ∂

π π (2.1.9)

che è definita positiva. Pagina 2-3

Modulo X – Modelli VAR

2.2. Lo stimatore dei minimi quadrati e la sua non distorsione

~ stimatore

π̂

Se la data dalla (2.1.8) è considerata come funzione di fornisce lo

u

dei minimi quadrati . E’ utile per il prosieguo determinarlo in due forme diverse.

Per ottenere la prima forma dello stimatore è sufficiente sostituire nella (2.1.8) la y

del modello (2.1.7)

( ) ( ) ( )

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

[ ][ ] [ ]

~ ~

− − (2.2.1)

1 1

′ ′ ′

= ⊗ ⊗ + = + ⊗

ˆ

π Z Z Z I Z I π u π Z Z Z I u

k k k

avendo sfruttato la proprietà (IV-...).

Per la seconda forma si parte ancora dalla (2.1.8), ma vi si sostituiscono le

espressioni date dalle prime due posizioni (2.1.6) e quindi si sfrutta la proprietà

(IV-...) ( ) ( ) ( )

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

[ ] [ ] [ ]

− − −

1 1 1

ˆ ′ ′ ′ ′

= ⊗ = ⋅ =

Π Z Z Z I Y I Y Z Z Z Y Z Z Z

vec vec vec vec

k k

Da questa, utilizzando la (2.1.2), si ottiene infine la seconda forma dello stimatore

( ) ( ) ( ) ( )

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

− − − (2.2.2)

1 1 1

ˆ ′ ′ ′ ′ ′ ′

= = + = +

Π Y Z Z Z Π Z U Z Z Z Π U Z Z Z

Sfruttando la prima delle ipotesi (1.5.1) si ottiene dalla (2.2.2) che

= Π

E( )

Π̂

cioè, dalla (1.3.6), che = = (2.2.3)

E( ) A i 1, 2, ..., p

 i

i =

, .

ovverosia la non distorsione degli stimatori i 1, 2, ..., p

 i Pagina 2-4

Modulo X – Modelli VAR

2.3. Consistenza dello stimatore dei minimi quadrati

La consistenza e la distribuzione asintotica dello stimatore dei minimi quadrati

possono essere determinate sotto le seguenti due ipotesi

~ ~ ′

Z Z =

p lim Q

n (2.3.1)

che esiste e non è singolare, e

( ) ( )

1 1

~ ~ ~ d ( )

~

′ = ⊗ → ⊗

vec U Z vec Z I u N 0

, Q Σ

k u

n n → ∞

n (2.3.2)

dove l’uguaglianza deriva dal fatto che

( ) ( )

~ ~ ~ ~

′ = ⊗

vec U Z Z I vec

U

k

in virtù della proprietà (IV-...).

Si può dimostrare che le due ipotesi (2.3.1) e (2.3.2) valgono se sono soddisfatte

~ ~

e se il processo è stazionario.

delle ipotesi generalmente verificate sui residui u y

t t

D’altro canto, condizione sufficiente affinché valgano le (2.3.1) e (2.3.2) è che il

{ }

~ ~

standard

rumore bianco sia , cioè che i residui costituiscano variabili

u u

t t

aleatorie tali che ( )

( )

~ ~ ~ ′

= = non singolare

E u 0 E u u Σ

t t t u

~ ~ ≠

e siano indipendenti per , e che esista una costante finita per la

che u u t s c

t s

quale ~ ~ ~ ~ (2.3.3)

≤ ∀t =

,

E u u u u c i, j, k, m 1,…, n

it jt kt mt ~ e la loro limitatezza. Se

La (2.3.3) implica l’esistenza di tutti i momenti quarti di u t

( )

~ ∼ le condizioni precedenti sono soddisfatte.

u 0 Σ

N ,

t u ~ p

è generato da un modello VAR( ) del tipo (2.1.1)

Si può dimostrare che se y t standard

, allora

che sia stabile e nel quale i residui costituiscano un rumore bianco

valgono le due ipotesi (2.3.1) e (2.3.2). La seconda di queste implica che sia

~ ~ 

 ′

U Z 

 =

p lim 0



 n 



, nella versione (2.2.2), è dimostrata

per cui la consistenza di Π̂ ~ ~ ~ ~ −1

( )    

′ ′

U Z Z Z

ˆ    

− = = ⋅ =

p lim Π Π p lim p lim 0 Q 0

    (2.3.4)

n n

    Pagina 2-5

Modulo X – Modelli VAR

2.4. Normalità asintotica dello stimatore dei minimi quadrati

Per ottenere la distribuzione asintotica di partiamo dalla sua prima forma data

Π̂

dalla (2.2.1) [ ] [ ]

( ) ( ) ( )

n

~ ~ ~ ~ ~ ~

( ) − −

~ ~

1 1

′ ′

− = ⊗ = ⊗ ⊗ =

ˆ

n π π n Z Z Z I u Z Z I Z I u

k k k

n

~ ~ 

 −

1

 

′ ( )

Z Z 1 ~ (2.4.1)

~

  

 ⊗

= ⊗ I Z I u

  k k

n 

 n

  



dove si è applicata la proprietà (IV-...) del prodotto di Kronecker. Ora utilizziamo

nella (2.4.1) la proprietà della convergenza in distribuzione per la quale

~

d

~ ~

→ =

se e p

x x lim k k

n

n → ∞

n ~ d

~ ~

⋅ → ⋅

segue che k x k x

n n → ∞

n

~ ~

 

−

1

 

′

Z Z

~ ~

 

 

⊗

prendendo come l’espressione e come il vettore aleatorio

I x

k   k n

n n

 

 

 

( )

~ ~

− ⊗

1 / 2 che per l’ipotesi (2.3.2) tende in distribuzione ad essere

Z I u

n k

( )

⊗ . Allora

N 0

, Q Σ u ( )

d

( ) −

− → ⊗

1

ˆ (2.4.2)

n π π N 0 , Q Σ u

→ ∞

n

poichè ′

( ) ( ) ( )( )

( )

− − − −

= ⊗ ⊗ =

⊗ ⊗ ⊗

1 1 1 1

Q I Q Σ Q I Q Q Σ Q I

k u k u k (2.4.3)

( ) ( )

− −

= ⊗ = ⊗

1 1

I Q Σ Q Σ

k u u

−1

essendo , e quindi , simmetrica.

Q Q

Per calcolare questa matrice di dispersione è necessario possedere le matrici Q

e , che generalmente non sono note e vanno quindi stimate. Per la una stima

Σ Q

u

naturale è ′

Z

Z

ˆ =

Q (2.4.4)

n

perché la consistenza dell’associato stimatore è immediatamente determinata in

virtù della (2.3.1). Pagina 2-6

Modulo X – Modelli VAR

D’altro canto, una stima che anche sorge naturalmente per è

Σ u

n

1 ∑

ˆ ′

= ˆ ˆ

Σ u u (2.4.5)

u t t

n =

1

t

oppure la sua versione corretta per i gradi di libertà

n

1 ∑ ′

= ˆ ˆ

Σ u u (2.4.6)

u t t

− −

n kp 1 =

1

t p

) ci sono parametri,

che si ottiene osservando che in ogni equazione del VAR( kp+1

e dove ( )( )

′

n

∑ ˆ ˆ ˆ ˆ

′ ′ =

= = − −

ˆ ˆ

u u U U Y Π Z Y Π Z

t t

=

1

t [ ] [ ] [ ]

′

( ) ( ) ( )

− − −

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

1 1 1

= − − = −

Y Y Z Z Z Z Y Y Z Z Z Z Y I Z Z Z Z Y

n

avendo fatto uso della stima (2.2.2). Pagina 2-7

Modulo X – Modelli VAR

2.5. Un esempio

Per esplicitare i concetti esposti finora riprendiamo il modello VAR(1) del paragrafo

=

1.8 nel quale le endogene rappresentano le differenze prime dei logaritmi del

k 3

PIL reale degli USA, del Giappone e dell’Italia. L’orizzonte temporale è costituito

da 82 osservazioni trimestrali che coprono il periodo 1982:1 - 2002:2.

Per la stima dei parametri occorre partire dalla relazione (2.1.2). Le dimensioni

delle matrici , , e sono rispettivamente , , e . La

Π

Y Z U (3×82) (3×4) (4×82) (3×82)

matrice delle stime dei minimi quadrati ordinari definita dalla (2.2.2) è

Π̂  

0 34 0 44 0 08 0 15

. . . .

 

ˆ = 0 36 0 04 0 01 0 41

. . . .

Π (2.5.1)

 

 

0 27 0 17 0 13 0 02

. . . .

  .

che è uguale alla (1.8.1) con l’aggiunta della colonna relativa al vettore c

La stima della matrice di dispersione al tempo zero dei residui (nella versione

corretta per i relativi gradi di libertà) è stata anch&rsqu