Econometria - l'algebra delle matrici

Alberto Bagnai, Francesco Carlucci – Traccia per un corso di Econometria

Modulo IV – Algebra delle matrici

1 ELEMENTI DI BASE

Indice del capitolo

1.1 Vettori ..................................................................................................................2

1.2 Matrici .................................................................................................................5

1.3 Operazioni tra matrici ..........................................................................................7

Operazioni con matrici partizionate .............................................................. 10

1.4 La matrice inversa ............................................................................................. 11

Il determinante di una matrice quadrata ...................................................... 11

L’aggiunta di una matrice quadrata............................................................. 13

L’inversa di una matrice partizionata ........................................................... 14

Il determinante di una matrice partizionata ................................................. 14

1.5 Indipendenza lineare di vettori, rango di una matrice e alcune proprietà dei

determinanti ................................................................................................................. 16

Indipendenza lineare di vettori ..................................................................... 16

Rango di una matrice ................................................................................... 16

1.6 Sistemi di equazioni ........................................................................................... 18

Equazioni omogenee ..................................................................................... 18

Equazioni non omogenee............................................................................... 19

1.7 Autovalori e autovettori...................................................................................... 20

Equazione caratteristica di una matrice e sue soluzioni................................. 20

Proprietà degli autovalori e autovettori......................................................... 21

1.8 Forme quadratiche e matrici definite positive e negative.................................... 24

Matrici idempotenti ...................................................................................... 26

1.9 Derivazione vettoriale ........................................................................................ 27

1.10 Proprietà della traccia ........................................................................................ 29

1.11 Distribuzioni di forme quadratiche aleatorie....................................................... 31

1-1

Modulo IV – Algebra delle matrici

1.1 Vettori

Se mettiamo in fila gli elementi di un campione, da a ,

1 n (1.1.1)

a a … a

1 2 n

otteniamo un vettore. Parimenti, costituiscono un vettore gli elementi di una serie

{x }

storica t (1.1.2)

x x … x

1 2 n

che si differenziano da quelli in (1.1.1) semplicemente perché sono associati ad un

indice temporale. In generale un vettore è formato da una ennupla di elementi (ad

esempio numeri reali) indicata con una lettera in neretto, ad esempio Il numero

a.

costituisce la dimensione del vettore. Un vettore reale di dimensione 1 è uno

n

scalare, ovvero un numero reale.

Per convenzione, gli elementi sono organizzati in colonna

 

a 1

 

a

 

= 2

a  

...

 

 

a n

In altri termini, in mancanza di indicazioni contrarie i vettori che considereremo

saranno tutti vettori colonna.

Dato un vettore si utilizza un apice per denotarne il trasposto, ovvero un

a,

vettore che contiene gli stessi elementi di ma organizzati in riga

a,

.

a′=[a a … a ]

1 2 n

Trasponendo nuovamente un vettore riga si ottiene un vettore colonna, ed è quindi

=

possibile scrivere ad esempio a [a a … a ]′.

1 2 n

Il vettore è quello i cui elementi sono tutti nulli. Due vettori della stessa

0 =b

dimensione e sono detti uguali se per ogni ; la

a=[a a … a ]′ b=[b b … b ]′ a i

1 2 n 1 2 n i i

loro somma è il vettore il cui elemento -esimo è dato dalla somma degli elementi di

i

posto in e in

i a b = + = +b +b +b

c a b [a , a , …, a ]′

1 1 2 2 n n

Queste definizioni si estendono immediatamente al caso di più di due vettori (di

uguale dimensione).

Dati tre vettori , e , si verificano facilmente le proprietà

a b c

= = =

, (

a+b b+a a+b)+c a+(b+c) a+b+c 1-2

Modulo IV – Algebra delle matrici

Il prodotto del vettore per lo scalare è il vettore il cui elemento -esimo è

d⋅a a d i

=

dato dal prodotto di per l'elemento di p osto in : d , , Dati due

d i a a [da da … da ]′.

1 2 n

vettori di uguale dimensione e e due scalari ed , si verificano

a b d f

immediatamente le proprietà

= =

( , (

d a+b) da+db d+f)a da+fa

= = =

( ( , (

d fa) f da) dfa da+fb)′ da′+fb′

L’operazione di prodotto per uno scalare ci permette di definire la differenza fra

due vettori e che si ottiene moltiplicando il secondo per lo scalare –1 e

a b,

sommandolo al primo: – = + (-1)×b = [ a –b , a –b , …, a –b ]’.

a b a 1 1 2 2 k k

Si chiama prodotto scalare (o interno) di due vettori e che hanno la

a′b a b

stessa dimensione lo scalare

n n

∑ (1.1.3)

′ =

a b a b

i i

=

i 1

per cui la somma dei quadrati degli elementi di un vettore può

a=[a a … a ]′

1 2 n

essere espressa mediante il prodotto scalare

n

∑ (1.1.4)

′ = 2

a a a i

=

i 1

La devianza totale o residuale in un modello di regressione costituisce un

≡

esempio di prodotto scalare del tipo (1.1.4), dove si ponga a u .

i t

Si noti che la (1.1.4) esprime anche il quadrato della lunghezza o modulo o

norma Euclidea del vettore. Quest’ultima viene indicata con la notazione:

∑

′ n

= = (1.1.5)

2

a a a a i

=

i 1

Esempio 1.1 - Dati due vettori riga , , il loro vettore

a′=[1 3 5] b′=[3 2 2]

somma è = =

c′ a′+b′ [4 5 7]

mentre il loro prodotto scalare è

= + + =

a′b 1×3 3×2 5×2 19

Se, poi, consideriamo lo scalare , si ha

4

=

4a [4 12 20]′ + +

Infine, la lunghezza del vettore è pari a =

2 2 2

a 1 3 5 35

Dati due vettori e diversi entrambi dal vettore nullo si dimostra che il

a b

θ

coseno dell’angolo da essi formato è dato dall’espressione 1-3

Modulo IV – Algebra delle matrici

′

a b

θ = (1.1.6)

cos a b

La (1.1.6) si annulla quando il prodotto scalare ’ dei due vettori è nullo, nel

a b

qual caso essi sono ortogonali. 1-4

Modulo IV – Algebra delle matrici

1.2 Matrici

Una tavola a doppia entrata di elementi (ad esempio numeri reali) disposti su n

righe ed colonne, con ed interi positivi, è detta matrice ed è indicata con una

m n m

lettera maiuscola in neretto

 

a a ... a

11 12 1

m

  (1.2.1)

a a ... a

 

= 21 22 2 m

A  

... ... ... ...

 

 

a a ... a

n 1 n 2 nm

Tale matrice è detta avere ordine ed è composta dagli elementi ,

n×m a ij

, . Se , la matrice è detta quadrata, di ordine . Un vettore

i=1,2,…,n j=1,2,…,m n=m n

riga ad dimensioni è una particolare matrice di ordine , mentre un vettore

n 1×n

colonna della stessa dimensione è una matrice di ordine . Gli elementi ,

n×1 a ii

, di una matrice quadrata appartengono alla diagonale principale e sono

i=1,2,…,n

detti elementi diagonali; l'altra diagonale di una matrice quadrata è detta

secondaria. Una matrice quadrata di ordine è uno scalare.

1

Se tutti gli elementi di una matrice sono nulli, essa è detta matrice nulla ed è

indicata con . Se tutti gli elementi di una matrice quadrata sono nulli salvo quelli

0

dislocati sulla diagonale principale, la matrice è detta diagonale ed è indicata con

 

d 0 ... 0

1

  (1.2.2)

0 d ... 0

 

= 2

D  

... ... ... ...

 

 

0 0 ... d n

dove i sono gli elementi non nulli della matrice, detti elementi diagonali.

d n

j

Se gli elementi diagonali sono tutti pari ad uno, la matrice è detta unitaria o

identica (o unità) ed è indicata con

 

1 0 ... 0

  (1.2.3)

0 1 ... 0

 

=

I  

n ... ... ... ...

 

 

0 0 ... 1

dove l'indice , che rappresenta l'ordine della matrice quadrata, può essere omesso.

n

Per semplicità di notazione, talvolta una matrice diagonale è indicata

D

listando i soli elementi diagonali nel seguente modo

=

D < d d … d >

1 2 n 1-5

Modulo IV – Algebra delle matrici

Con questa notazione la matrice identica diventa

I

n

=

I < 1 1 … 1 >

n

Una matrice quadrata è detta triangolare superiore (inferiore) se ha tutti zeri al

disotto (al di sopra) della diagonale principale. Una matrice triangolare superiore

di ordine n è quindi del tipo

 

a a ... a

11 12 1 n

  (1.2.4)

0 a ... a

 

= 22 2 n

A  

... ... ... ...

 

 

0 0 ... a nn

Spesso nelle applicazioni conviene far riferimento a singole sottomatrici o

blocchi di una data matrice. Si parla allora di matrice partizionata e la si

rappresenta generalmente indicizzando i singoli blocchi. Ad esempio, per una

matrice partizionata in quattro blocchi si usa una notazione di questo genere

 

A A

= 11 12

  (1.2.5)

A  A A

21 22

Un caso particolare di matrice partizionata è la matrice diagonale a blocchi,

nella quale gli elementi diagonali sono costituiti da matrici quadrate, non

necessariamente dello stesso ordine

 

A 0 ... 0

1

  (1.2.6)

0 A ... 0

 

= 2

A  

... ... ... ...

 

 

0 0 ... A n 1-6

Modulo IV – Algebra delle matrici

1.3 Operazioni tra matrici

Due matrici sono uguali se gli elementi corrispondenti (dello stesso posto) sono

=

uguali. La somma di due matrici che hanno lo stesso ordine è una matrice

C A+B = +b

ancora dello stesso ordine che ha per elemento generico . Questa

c a

ij ij ij

definizione è immediatamente generalizzata al caso della differenza ed a quello

della somma di più di due matrici. Si può facilmente verificare che valgono le

proprietà + = +

A B B A

+ + = + + = + +

( A B) C A (B C) A B C

Il prodotto di una matrice per uno scalare è la matrice che ha per elemento

A d

generico . La trasposizione di una matrice di ordine e di elemento

da A n×m

ij

generico è una operazione che trasforma nella matrice di ordine e di

a A A′ m×n

ij

elemento generico ; in altre parole, nella trasposizione si scambiano le righe con

a ji

le colonne, ovvero il j-esimo vettore riga di è il trasposto del j-esimo vettore

A’

colonna di La matrice è detta trasposta di .

A′ A

A.

Esempio 1.2 - La trasposta di  

2 3

   

2 1 4 ′ =

= è A 1 0

 

A  

 

3 0 1  

 

4 1

Esempio 1.3 - Sia la trasposta della matrice dell'esempio

A′ A

precedente ed inoltre sia

 

1 1

 

= (1.3.1)

B 2 2

 

 

 

3 0

Allora la loro matrice somma è data da

C

 

3 4

 

′

= + =

C A B 3 2

 

 

 

7 1 =a

Se è quadrata ed uguale alla sua trasposta, è detta simmetrica (è ).

A a ij ji

Se e sono due scalari, valgono le proprietà

d f ( , ( , ( (1.3.2)

A′)′=A dA)′=dA′ dA+fB)′=dA′+fB′ 1-7

Modulo IV – Algebra delle matrici

Si dice prodotto righe per colonne della matrice , , per la , , la

A⋅B A n×m B m×k

m

∑

= =

matrice di ordine con elemento generico . Il nome di

C A⋅B n×k c a b

ij is sj

=

s 1

questo prodotto deriva dal fatto che ogni elemento di è costituito dalla

C

combinazione lineare degli elementi di una colonna di con pesi dati dagli

B

elementi di una riga di . Si noti che c è il prodotto scalare (1.1.3) dell’i-esima riga

A ij

di per la j-esima colonna di

A B.

Esempio 1.4 - Se e sono le matrici degli esempi precedenti il loro

A B

prodotto righe per colonne è

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

    (1.3.3)

2 1 1 2 4 3 2 1 1 2 4 0 16 4

⋅ = =

   

A B ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅



3 1 0 2 1 3 3 1 0 2 1 0 6 3

A meno che non sia il prodotto non esiste; inoltre, per , in

k=n B⋅A k=n

≠B⋅A

generale è , cioè non vale la proprietà commutativa della

A⋅B

moltiplicazione.

Esempio 1.5 - Date le matrici e dell'esempio precedente, si ha

A B

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

   

1 2 1 3 1 1 1 0 1 4 1 1 5 1 5

   

⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = (1.3.4)

B A 2 2 2 3 2 1 2 0 2 4 2 1 10 2 10

   

   

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

   

3 2 0 3 3 1 0 0 3 4 0 1 6 3 12

Allora il prodotto di , , per , , è una matrice di ordine ; il

A 2×3 B 3×2 2×2

prodotto è una matrice di ordine .

B⋅A 3×3

Osservazione 1.1 - Poiché i vettori sono casi particolari di matrici, il

vettore riga di elementi può essere considerato come il trasposto del

a′ n

vettore colonna . Il prodotto scalare tra due vettori che hanno la

a a′b

stessa dimensione è quindi una matrice di dimensione , cioè uno

n 1×1

scalare. Invece il prodotto è una matrice quadrata di ordine .

ab′ n

−1

Esempio 1.6 - Dato il vettore di dimensione cinque, il

a=[0 1 0 0]′

prodotto vale

aa′

   

0 0 0 0 0 0

   

−

1 0 1 1 0 0

   

′    

= − − = −

a a 1 [ 0 1 1 0 0 ] 0 1 1 0 0

   

0 0 0 0 0 0

   

   

   

0 0 0 0 0 0

matrice quadrata di ordine cinque. 1-8

Modulo