Dimostrazione teoremi analisi matematica

Dimostrazione teoremi per l'orale

Dimostrazione per induzione

La dimostrazione viene eseguita per induzione. Il predicato è vero per il caso base infatti è:

Assumendo vero per ipotesi che il predicato vale per n, adesso bisogna dimostrare che vale per n+1:

Però sappiamo per ipotesi che:

P(n)

Quindi si può sostituire nella precedente formula ottenendo:

P(n+1)

E quindi si ha:

Dimostrando così la formula.

Seconda dimostrazione per induzione

Anche questa dimostrazione viene fatta per induzione. Anche in questo caso il predicato è vero per n e quindi il caso base sarà:

Come prima, ora dimostriamo il predicato per n+1:

Ora sostituiamo l'ipotesi nella tesi per avere:

E quindi, dopo alcuni passaggi algebrici:

Dimostrando così la formula.

Il teorema di Bolzano-Weierstrass

Un sottoinsieme limitato di ℝ che contenga infiniti punti ha almeno un punto di accumulazione. Sia E limitato e contenente infiniti punti, allora esiste almeno un punto di accumulazione per E.

Dimostrazione tramite bisezione

La dimostrazione viene fatta usando il metodo di bisezione. L’insieme E è limitato, cioè è compreso tra due costanti reali che chiamiamo a e b e quindi E ⊂ [a, b].

Prendiamo il punto-medio e consideriamo le due metà dell’intervallo di partenza:

Poiché l’insieme E contiene infiniti punti, almeno una delle due metà ne contiene infiniti. Concentriamoci quindi su una metà con infiniti punti e rinomino i suoi estremi.

In questo modo ho che in [a₁, b₁] ci sono infiniti punti di E, e che [a₁, b₁] sarà la metà di [a, b].

In [a₁, b₁] si ripresenterà la stessa situazione di partenza che avevamo con [a, b], quindi posso iterare il procedimento (all’infinito).

Proprietà della successione di intervalli

• Contengono infiniti punti;
• L’intervallo successivo è la metà del precedente.

Si può dire che esiste un unico numero reale che appartiene a tutti questi intervalli contemporaneamente. Questo sarà il nostro candidato a punto di accumulazione. Dico che:

Verifica del punto di accumulazione

Ora è da dimostrare che se:

1. c ∈ E;
2. c è punto di accumulazione.

Sappiamo che ciascun a_n è minore di ciascun b_n:

Se quindi prendo l’estremo superiore dell’insieme degli a_n noto che è uguale all’estremo inferiore dei b_n.

Prendiamo maggiorante di a_n e minorante di b_n. Abbiamo a_n ≤ c ≤ b_n e quindi:

Assumiamo ora che n sia tale che b_n - a_n < 1/n, allora avremo che:

Prendiamo ora il logaritmo in base due di ambo i membri in maniera tale da conservare le disuguaglianze:

L’ultima proposizione va contro la proprietà di Archimede secondo la quale dati due numeri positivi esiste sempre un multiplo intero del primo che supera il secondo, mentre secondo ciò che è stato scritto n è sempre minore della differenza dei due logaritmi.

Si giunge perciò ad un assurdo. La precedente assunzione allora è falsa, quindi non può che essere c il punto di accumulazione.