Azionamenti e controllo dei sistemi meccanici - Appunti

Azionamenti e controllo dei sistemi meccanici

Esercitazione - zona di risonanza 27/03/2010

Sistema a molla

Equation:

\[\frac{dE_c}{dt} - \frac{\partial D}{\partial \theta} + \frac{\partial V}{\partial \theta} = Q = \frac{5*K}{8*9}\]

Energy:

E = \(\frac{1}{2} J \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} m v^2\)

V = \(\frac{1}{2} K D^2\)

D = \(\frac{1}{2} \dot{\theta}^2\)

S*L = F*S*\(\dot{D}\)

Constraints:

\[\Delta E = R \dot{\theta} - R \dot{\theta} = R \dot{\theta} W\]

E_c = \(\frac{1}{2} J \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} m R \dot{\theta}^2\)

V = \(\frac{1}{2} K R \dot{\theta}\)

S*L = -FRS*\(\dot{\theta}\)

The equation of motion is:

\((J + m R^2) \dot{\theta} + R^2 \dot{\theta} + KR^2 \dot{\theta} = -FR\)

To modify this in non-dimensional units and calculate the constants:

\[kg \cdot m \cdot s^2 \quad \frac{\nu}{s^2} \quad \frac{\nu}{s} \quad N \cdot \frac{\nu}{m} \quad \frac{\nu}{N} \quad m \cdot \frac{\nu}{m^2} \]

\[= L \cdot N \cdot m \cdot \nu \]

Esercitazione - ruota di inerzia 27/03/2010

• Ruota a fune

E = _1/2 J θ̇² + _1/2 mR² θ̇²

V = _1/2 kR θ²

D = _1/2 lR θ̇²

S + L = -FR

Legami cinematici: ΔE = Rθ̇ = RW

L'equazione del moto è:

(J + mR²) θ̈ + lR² θ̇ + kR θ = -FR

Per verificare di aver svolto giusto l'equazione e scrivere il confronto delle dimensioni di ogni termine, vedendo se sono coerenti.

l.q. m₂ z²

l.q. m zθ⁴

= L.N. m scrittura dell'equazione di moto con gli equililibri dinamici:

Il termine l’equilibrio alla sollecitazione statica del punto di contatto FR + maṘ(qR + ̇R + ̈R - ̈g) = O

Cepone croniche + ̇Q = -Rq - aR = R̈

FR + mṘ̈ + kR q + ̈ q + ̈ = o (Relazione 01)

Risoluzione del sistema:

Supponiamo che la forzata esterna abbia la seguente forma:

F = p(t) = q(t) = o 1 cà o(t) = p(t) + g(t)

g(t): riscola generale del sistema, proventosoluzione al est della forzata esterna

g(t) = o e^xt → soluzione ipotrasta derivando e re-attirando nella equadione del noto

(x² m* + λ¹ u¹)¹ + u(1) e^xt = 0

λ_1,2 = ^{-r + √(r2-4 mu)} / _{2 m*}

= ¼ ^{(-r) / (2m)} ± √ ^{u / mn} = √ ^{u / w₀2}

= -±√ √^u₂ - √^u_s2

= ± ± w_o √^{z2 / w₀2} - 1 / a²

= ± √ √^{z2- 1}

λ = γ = rl = _r/^2m

l r = v r v_cv l W_c Tmu_c - v_c mω_c = momento critico

momento dimensionale del sistema

supponiamo che il sistema sia sottosmorzato (0 < l < 1)

λ_1,2 = W₀-(±h ± √1-h²) = W₀-(± t ± h √1-h²)

= (lais W₀ ± h W₀ √ - h²)

= [(pale) ± h tan W₀ √√ - h₂]

le soluzioni generali sono guando Ha seguente forma:

Op. (15) = C₁ e^{λ _1t} + C₂ e^{λ _1t} = C₁ e^-qAW_c + C₂ C^-qAW_c = e^{-C e} C₁ civi - e + C₂ -civh - e ^{@ai.uo} = e = e^{-hc c} (C₁ + C₂) cos (W_c t) + i (C₁ - C₂) sen (W_c t) ☯

C₁ e C₂ osno una gua numero ^{siamo tenso consuete} in modotibi|de (de responsor) sensa seldele tandem/tambda O non normate/id (caso de finamento non pandesi esame)

C₁ = a + λ | prob | Ch + C₂ zσz = AC₂ = a - λ|⇨ C₁ -CL - C₂ = λ1 co , - z c L = B☯ e^-je ( A cos W_c B ren (W_c))

nuogo feometrico melle radici /guer risono -so raiseseal piasmaeo di 0rodle (I) in funzione di un ^traglietta ° Iroplo. di. losmEx h.ImRe

λ_1,2 = -l W₀ ± i W₀ √1-l² se 0 < l < 1

l = 0 → λ_1,2 = ± i W₀

l = 1 → λ_1,2