Appunti e esercitazioni, Algebra 1

Name: Appunti e esercitazioni, Algebra 1
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Author: shevaar

Aggiornato il 16/04/2026

di shevaar

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Appunti e esercizi svolti di algebra 1 per l'esame della professoressa Del Corso. Gli argomenti che sono trattati sono i seguenti: la teoria dei gruppi, degli anelli, dei campi e di Galois e …

Esame Algebra

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Del Corso Ilaria

Università Università degli Studi di Pisa

A.A. 2014-2015

186 pagine

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GruppoDef: G insieme

Consideriamo un gruppo G insieme a un'operazione ∗ e un elemento neutro n tale che:

Associativa
∗ elemento neutro x^-1 ∈ G
∀x ∈ G, x^-1x = e

Questo implica che il neutro e l'inverso sono unici.

Definizione di sottogruppo

Un insieme H è un sottogruppo di G se:

H ≠ ∅
Phillips H → H[✓G]
Operazione ridotta. (H ⊆ G).

Definizione di omomorfismo

Definiamo una funzione f: G → G' come un omomorfismo se ∀x, y ∈ G, f(x ∗ y) = f(x) ∗' f(y).

Ker f = {x ∈ G | f(x) = e' }, im f = {y ∈ G' | ∃ x ∈ G f(x) = y.}

Lemma sull'omomorfismo #1

Consideriamo G → G', N = G, N ⊆ Ker f.

G/ker f → subcondivisione
φ: G → G', φ ^ ↑
φ(x) ∘ i
φ(G/N) ≃ f(G)
φ: G/N ≃ G, univoca matrice ⋯ ker f

Lemma sull'omomorfismo #2

Consideriamo tre gruppi H ⊂ R G, H ⊂ K. Allora H/K / K/H ≃ G/K.

Teorema di corrispondenza tra gruppi

Definiamo una funzione f: G → G₁ che sia surgettiva e corta nelle proiezioni.

Esiste una corrispondenza biunivoca tra i sottogruppi di G/N e i sottogruppi di G che contengono N, ovvero: { H ∈ G | N ⊂ H ↔ G/K(N) H ↔ ⟨ _____ ⟩χ^-1(H)↑(K ⊂) la chiunueca coverana s.g. normali e limite di s.g.n.

GruppoDef: G insieme, C: _a, bax1=ax1 xa(G, )

Un gruppo a. in:

Associativa
1 il neutro
x ∈ G x^-1 ∈ G
11 ed (identico valido anche al): commutativo.

Definizione di sottogruppo

Un insieme H è un sottogruppo di G se H è un gruppo con l'operazione indotta (H ⊆ G).

Definizione di omomorfismo

Definiamo una funzione f: G → G e omomorfismo se x,y ∈ G, f(xy)=f(x)f(y).

f ⊆ H f ⊆ G

kerf = { x ∈ G | f(x) = 1 ∈ G }

1) _f ⊆ H f ⊆ G

Teorema (col. omomorfismo 1)

G → G N ⊂ G N ⊂ kerf

p.s.: considera:

f: G → G, G/N → G', p(n)=G/N(G) motrice = N T ker f
f non iniettiva

Teorema (col Omomorfismo #2)

I gruppi H, K ⊂ G, H o KH / H / K

Teorema di corrispondenza tra sottogruppi

f: G → G computativo

H → G = G ker f {(x), appl) e sottojonae coledt di proiezione non =>1 ed onto.
Pu -> A (tbil kj FG gruppo, N ⊂ G corrispondono le classi di (imm) suoi sottour cortisci i’omomorfismo il tara ii sottogruppi di G/N a.
I sottogruppi di G che contengono N { H ⊆ G | N ⊂ H } { H ⊆ G/N }
T(H) = { m ⊆ M }
H f~ (M T nH, M) la chiusura cormio sg' normali o inoltr etl sg~n° coppie di 1.2

Ogni il canovice è dato da def: S

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