Riassunto esame Analisi matematica 2, quarta parte, prof. Zamboni

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Riassunto di Analisi matematica 2 per l'esame del professor Pietro Zamboni. Gli argomenti che vengono trattati sono i seguenti: la teoria dell'integrazione, la misura degli insiemi, gli insiemi …

Esame Analisi matematica II

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Zamboni Pietro

Università Università degli Studi di Catania

A.A. 2012-2013

82 pagine

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Estratto del documento

Teoria dell'integrazione

Definizione: Intervallo di ℝ^m

Dati a_i<b_i , i = 1,...,m intervalli di ℝ, chiamiamo intervallodi ℝ^m il prodotto esterno Q = [a₁,b₁] x ... x [a_m,b_m]

Ad ogni Q posso associare una misura, cioè |Q| = (b₁-a₁) ... (b_m-a_m)e 0<|Q|<+∞ cioè la misura è finita e positiva.

Misura dei Poliretangoli R.

Sia R = ⋃_i=1^p Q_i : Q_i∩Q_i+1 = ∅ essere non hanno punti interniin comune e rettangoli non si devono sovrapporre e |R| = ∑_i=1^p|Q_i

Quindi la misura dipende

alla decomposizone dei elementi.

Misura Teorema: Aperti limitati e non vuoti.

Sia A aperto, limitato e ≠∅, consideriamo i (R ⊂ A) : è |R|cioè { |R|, R ⊂ A} , A non vuoto = ∃ x₀ ∈ A^°

A^° è aperto ⇒ ∃ r_n(x₀) ⊂ A

A è limitato ⇒[A ⊂A ⇒R ⊂ Q ⇒ |R| ≤ |Q| , |Q| è l'ugualmente gli

quindi varco inf finito ¯

La esistenza misura di A ⇒ |A| = =sup { |R|, R ⊂ A } , o∊|A|= +∞.

Teoria dell'integrazione

Definizione: Intervallo di Rⁿ

Dati a_i < b_i, i = 1, ..., m intervalli di R, chiamiamo intervallodi R^m il prodotto cartesiano Q = [a₁, b₁] x ... x [a_m, b_m].

Ad ogni Q può associare una misura, cioè |Q| = (b₁-a₁) ... (b_m-a_m)e 0 < |Q| < +^∞ cioè la misura è finita e positiva.

Misura dei Pluriintervalli R.

Sia R = ⋃^P_i=1 Q_i : Q_i ∩ Q_i+1 = ∅ cioè non hanno punti interniin comune i rettangoli non si devono sovrapporre e |R| = Σ^P_i=1 |Q_i|.Quindi la misura dipende dalle decomposizioni. Altri esercizi in elezione elem.^nul.

Misura Teorema: Aperti limitati e non vuoti

Sia A aperto, limitato e ≠ ∅ , consideriamo i R ⊂ A : 0 < |R|c'è { |R|, R ⊂ A }. A non vuoto ⇒ ∃ x₀ ∈ A^A' ≠ aperto ⇒ ∃ r_i(x_i) ⊆ AA' è limitato ⇔ ∀ Q ⊂ A ⇒ R ⊂ Q ⇒ 0 < |R| ≤ |Q|, |Q| è l'maggiorantequindi varr. sup finito. Chiaramente misura di A = |A| = = sup { |R|, R ⊂ A } ≤ |Q| , 0 < |A| < +^∞.

Misura, Intervalli, Compatti

Sia _{R ≥ C} l'insieme degli _{|R|, R ≥ C}. L'inf di questo insieme è le minimo di _C, cioè _{|C|=inf{|R|, R ≥ C}}.

Esempio

Calcolare _Ø, un compatto è dimostrare _Ø|=0

Vuol dire _inf{|R|=0} cioè _Ø non soddisfa la proprietà degli inf.

_|R|>0 → a è verificato
_{∀ ε ∃ R < ε} →

→ _{[ -\frac{M}{ε}, -\frac{\sqrt{M}}{\frac{ε}{2}} ]} = _{(\sqrt{\frac{M}{2}}) = \frac{M}{2} \lt ε} in ∞

Criterio di Minimultabilità

Consideriamo _{E ⊂ R^m} Insieme _{E + δ}

_E* è limitato → _{E* ⊂ A}

E è non vuoto → _{C ⊂ E}

Visti queste condizioni, possiamo concludere in _{[|A| A ≅ E]} e _{sup{|E*|, ⊂ E ⊂ E}}, tutti inf punti, e chiama _{|E*| = inf} la misura interna di _E, e _{|E_x|}: mapp minimo esterna di _E e vale sempre _{|E_x| ≤ |E*|} Possiamo affermare che _E* è minimulta se _{|E_{| ⊂ E*|}} Se si verifica _{|E_x| < |E*|}, l'insieme non è minimulta alcun di bisogno.

C.S. poiché sia |E|_x = |E|^*,

Vesso , I^∞A_εCε : | ∩A_ε |

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