Riassunto esame Analisi matematica II, prof. Rubbioni, libro consigliato Analisi matematica II Bramanti, Pagani, Salsa

CALCOLO INFINITESIMALE PER LE CURVE

RICHIMI DI CALCOLO VETTORIALE

SPAZIO IR^m → i suoi elementi sono vettori

x = (x₁, ..., x_m)

x_i = componenti del vettore

MODULO DI UN VETTORE (NORMA) |x| = √(Σ_i=1^m x_i²)

VERSORE → è un vettore di modulo unitario

vers(x) = x / |x|

BASE CANONICA DI IR^m

• e₁ = (1, 0, ..., 0)
• e₂ = (0, 1, ..., 0)
• ...
• e_m = (0, 0, ..., 1)

Due vettori x, y si dicono PARALLELI

se risulta λx = μy per qualche λ, μ ∈ IR

se inoltre y = ±x con λ≫0 li diremmo PARALLELI E CONCORDI

I VERSORI della base canonica sono indicati con i, j, k (in IR³) o ω, j (in IR²).

PRODOTTO SCALAREu·v = Σ u_iv_i = u₁v₁ + ... + u_mv_mHa per risultato un numero reale

N.B. (caso m=2, m=3) u·v = |u||v| cos θ

→ I due vettori sono ortogonali

In IR^m due vettori sono ortogonali ↔ u·v = 0

cos θ = (u·v) / (|u||v|)

PRODOTTO VETTORIALEdet |i j k||u₁ u₂ u₃||v₁ v₂ v₃|= i(u₂v₃ - u₃v₂) + j(u₃v₁ - u₁v₃) + k(u₁v₂ - u₂v₁)

Il prodotto vettoriale di due vettori di IR³ è un vettore di IR³. Si annulla ↔ I due vettori sono paralleli.

PRODOTTO MISTOu·(v×w) = |u₁ u₂ u₃| |v₁ v₂ v₃| |w₁ w₂ w₃|

Il prodotto misto si annulla ↔ i vettori sono linearmente dipendenti tra loro.

Calcolo Infinitesimale per le Curve

Richiami di Calcolo Vettoriale

Spazio ℝ^m → i suoi elementi sono vettori

x = (x₁, ..., x_m)

x_i = componenti del vettore

Modulo di un Vettore

|x| = (Norma) |x| = √(Σ x_i²)

Versore

Versore → è un vettore di modulo unitario

vers(x) = x / |x|

Base Canonica di ℝ^m

e₁ = (1,0,...0)

e₂ = (0,1,...0)

e_m = (0,0,...1)

Due vettori x, y si dicono paralleli se risulta λx = μy per qualche λ,μ ∈ ℝ

se inoltre y = λx con λ>0 li diremo paralleli e concordi

I versori della base canonica sono indicati con i,j,k (in ℝ³) o i_j (in ℝ^m).

Prodotto Scalari

u·v = <u,v>

u·v = (u₁, u₂, ... u_m) · (v₁, v₂, ... v_m)

= u₁v₁ + ... + u_mv_m

NB (caso m=2, m=3)

u·v = |u| |v| cos θ

Im ℝ^m due vettori sono ortogonali

u·v = 0

Prodotto Vettoriale

u×v = det | i j k |

| u₁ u₂ u₃ |

| v₁ v₂ v₃ |

= i(u₂v₃ - u₃v₂) + j(u₃v₁ - u₁v₃) + k(u₁v₂ - u₂v₁)

Il prodotto vettoriale di due vettori di ℝ³ è un vettore di ℝ³. Si annulla, se i due vettori sono paralleli.

Prodotto Misto

u·(v×w) =

| u₁ u₂ u₃ |

| v₁ v₂ v₃ |

| w₁ w₂ w₃ |

Se il prodotto misto si annulla, i vettori sono linearmente dipendenti tra loro.

FUNZIONI A VALORI VETTORIALI LIMITI E CONTINUITA'

Possiamo immaginare situazioni in cui i dati d'ingresso siamo più di uno: a un gruppo di 2, 3, … m dati, viene associato univocamente un numero IR. Pensiamo di funzioni di 2, 3, … m variabili.

EX

V = k * T/P (k cost. positiva)

(T, P) _ingresso → V _uscita

Analogamente ci sono situazioni in cui ad un ingresso (num. reale o gruppo di numeri reali) corrisponde univocamente una coppia (o terna, ecc…)di numeri reali. La funzione avrà valori vettoriali.

t _ingresso → (x, y, z) _uscita

FUNZIONE DI UNA VARIABILE A ⊆ IR

FUNZIONE DI PIÙ VARIABILI A ⊆ IR^m (m > 1)

FUNZIONE A VALORI REALI → ha codominio IR

FUNZIONE A VALORI VETTORIALI → ha codominio IR^m (m > 1)

EX: f: IR → IR³ è una funzione vettoriale di una variabile // f: IR