Analisi matematica I - le proprietà della derivata

1. Calcolo Differenziale per funzioni di una variabile

1.1 Definizione di Derivata e prime proprietà

∈]a, ∈]a, ∀0 |h|

Definizione 1.1 Sia f :]a, b[→ x b[. Allora esiste δ > 0 : x + h b[, < < δ. Se

R, 0 0

esiste finito il −

f (x + h) f (x )

0 0 0

≡

lim f (x )

0

h

h→0

diciamo che la funzione f è derivabilenel punto x ed il valore del limite si chiama derivata della

0

funzione f nel punto x .

0

Da semplici considerazioni geometriche si ottiene subito il fatto che la derivata di una funzione f

in un punto x è il coefficiente angolare della retta tangente al grafice della funzione f nel punto

0 0 −

di coordinate (x , f (x )). L’equazione della retta tangente è quindi y = f (x ) + f (x )(x x ).

0 0 0 0 0

Dire che la funzione è derivabile nel punto x equivale a dire che

0

0 →

f (x + h) = f (x ) + hf (x ) + o(h), h 0.

0 0 0

ovvero, 0

− − →

f (x) = f (x ) + (x x )f (x ) + o(x x ), x x .

0 0 0 0 0

Nel caso in cui il rapporto incrementale ha un salto nel punto x diciamo che la funzione presenta

0

un punto angoloso in x . Se invece i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale sono infiniti

0

al tendere di x ad x allora diciamo che f ha una cuspide nel punto x .

0 0

→ ∀x ∈

Esempio 1.1 f : definita mediante la legge f (x) = k, è derivabile in tutti i punti

R R, R

0 ∀x ∈

di e risulta f (x) = 0

R R. n

→ ∀x ∈ ∈

Esempio 1.2 f : definita mediante la legge f (x) = x , con n è derivabile in

R R, R N

0 n−1 ∀x ∈

tutti i punti di e risulta f (x) = nx

R R.

Infatti, n n

n n

X

X n−k n−k

k k

− −

f (x + h) f (x ) = x h x = x h

0 0 0

0 0

k k

k=0 k=1

e quindi n

−

f (x + h) f (x ) n

0 0 X n−k n−1

k

= lim x h = nx .

lim 0 0

h k

h→0

h→0 k=1 α ∀x ∈

Esempio 1.3 f :]0, +∞[→ definita mediante la legge f (x) = x , con α > 0 è derivabile

R, R

0 α−1 ∀x ∈]0,

in tutti i punti di ]0, +∞[ e risulta f (x) = αx +∞[. G.Di Fazio

Infatti, α α

h

h − −

1+ 1 1+ 1

α α

− −

f (x + h) f (x ) (x + h) x x x

0 0 0 0 0

0 α−1 α−1

α →

= = x = x αx .

0 0 0

h

h h h x

0

x

→ ∀x ∈ 6

Esempio 1.4 f : definita mediante la legge f (x) = a , con a > 0, a = 1 è

R R, R

0 x ∀x ∈

derivabile in tutti i punti di e risulta f (x) = a log a

R R.

Infatti, x +h x h

− − −

f (x + h) f (x ) a a a 1

0 0

0 0 x x

→

= = a a log a.

0 0

h h h ∀x ∈]0,

Esempio 1.5 f :]0, +∞[→ definita mediante la legge f (x) = log x, +∞[ con a >

R, a

0 1

6 ∀x ∈]0,

0, a = 1 è derivabile in tutti i punti di ]0, +∞[ e risulta f (x) = +∞[.

x log a

Infatti, − −

− log (x + h) log x 1 log (x + h) log x 1

f (x + h) f (x )

0 0 0 0 0 0

a a a a →

= = .

h h x h x log a

0 0

→ ∀x ∈

Esempio 1.6 f : definita mediante la legge f (x) = sen x, è derivabile in tutti i

R R, R

0 ∀x ∈

punti di e risulta f (x) = cos x

R R.

Infatti, − − −

f (x + h) f (x ) sen(x + h) sen x sen x cos h + cos x sen h sen x

0 0 0 0 0 0 0

= =

h h h

−

1 cos h sen h

− →

= sen x + cos x cos x .

0 0 0

h h

→ ∀x ∈

Esempio 1.7 f : definita mediante la legge f (x) = cos x, è derivabile in tutti i

R R, R

0 − ∀x ∈

punti di e risulta f (x) = sen x

R R.

Infatti, − − − −

f (x + h) f (x ) cos(x + h) cos x cos x cos h sen x sen h cos x

0 0 0 0 0 0 0

= =

h h h

− sen h

1 cos h

− − → −

= cos x sen x sen x .

0 0 0

h h

∈]a,

Teorema 1.1 Sia f :]a, b[→ sia x b[ e sia f derivabile nel punto x . Allora f è continua in

R, 0 0

x .

0 Dim. Infatti, −

f (x) f (x )

0 0

− − → ·

f (x) f (x ) = (x x ) f (x ) 0 = 0.

0 0 0

−

x x

0

2

Appunti di Analisi Matematica I |x|,

Naturalmente il teorema non è invertibile come testimonia la funzione f (x) = nell’origine.

1.2 Algebra delle derivate ∈]a,

Teorema 2.1 Siano f, g :]a, b[→ e supponiamole entrambe derivabili nel punto x b[. Allora:

R, 0

1. la funzione f + g è derivabile nel punto x e risulta

0

0 0 0

(f + g) (x ) = f (x ) + g (x ),

0 0 0

·

2. la funzione f g è derivabile nel punto x e risulta

0

0 0 0

·

(f g) (x ) = f (x )g(x ) + f (x )g (x ),

0 0 0 0 0 1

3. se la funzione f è diversa da zero in x e derivabile nel punto x allora la funzione è derivabile

0 0 f

e risulta 0 0

1 f (x )

0

−

(x ) = .

0 2

f f (x )

0

Dim. Immediata dalla definizione di derivata.

→ ∈ →

Teorema 2.2 Sia f :]a, b[⊂ x X e g :]c, d[⊂ y = f (x ). Supponiamo che la

R R, R R,

0 0 0

funzione f (x) sia derivabile in x e che la funzione g(y) sia derivabile in y . Supponiamo inoltre che

0 0

⊆]c, ∀x ∈]a,

f (]a, b[) d[. Allora la funzione u :]a, b[→ definita ponendo u(x) = g(f (x)), b[ risulta

R,

derivabile nel punto x e si ha:

0 0 0 0

·

u (x ) = g (f (x )) f (x ).

0 0 0

Dim. Dimostriamo il teorema ricorrendo alla definizione di derivata. Calcoliamo cioé il limite

del rapporto incrementale relativo alla funzione u(x) nel punto x . Ponia