Analisi matematica I - Appunti

Name: Analisi matematica I - Appunti
Brand: Skuola.net
Rating: 4.3 (3 reviews)

Aggiornato il 28/03/2026

di nirvanakurt

Publisher

Vota 4,3/5 (3)

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Appunti di Analisi matematica 1 per l'esame del professor Iovane sulle successioni, teorema Bolzano Weierstrass, limite di una funzione, intorno, teorema di unicità del limite, teorema …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Iovane Gerardo

Università Università degli Studi di Salerno

A.A. 2005-2006

45 pagine

2 download

Appunto

Scarica

Estratto del documento

Per gli studenti di ingegneria

Analisi matematica I

Successioni

Una successione è una legge che ad ogni numero naturale n fa corrispondere uno ed un solo numero reale a_n. Una successione può essere considerata come una funzione da N in R.

Limite di una successione ad un valore del limite

Un numero reale α è limite della successione a_n (si dice anche che a_n tende o converge ad α) e si scrive

lim a_n = α (oppure a_n → α)

n → ∞

se qualunque sia ε>0, esiste un numero ν tale che α - ε < a_n < α + ε per ogni n > ν

∀ε>0 ∃ν: |a_n - α| < ε ∀n > ν

Il limite può esistere o non esistere, se esiste esso è unico.

Divergenza

Una successione a_n ha limite uguale a +∞ (si dice anche che a_n tende o diverge a +∞) e si scrive

lim a_n = +∞ (oppure a_n → +∞)

n → ∞

se, qualunque sia M>0 esiste un numero ν tale che a_n>M per ogni n > ν

Successioni limitate

Una successione a_n si dice limitata se esiste un numero reale M tale che |a_n| < M (o che è lo stesso -M < a_n < M). Non tutte le successioni limitate sono convergenti ma ogni successione convergente è limitata.

Successioni estratte

Sia Q_n una successione di numeri reali e sia n_k una successione strettamente crescente di numeri naturali. La successione Q_{n_k} definita da k ∈ N → Q_{n_k} prende il nome di estratta da Q_n, di indici n_k. Per ogni successione n_k strettamente crescente di numeri naturali, si ha n_k ≥ k ∀ k ∈ N. Se Q_n converge verso Q, allora ogni estratta Q_{n_k} converge verso Q.

Teorema di Bolzano-Weierstrass

Sia Q_n una successione limitata. Allora esiste almeno una sua estratta convergente.

Successioni di Cauchy

Sia Q_n una successione di numeri reali. Si dice che Q_n è una successione di Cauchy se, per ogni ε > 0 esiste un indice ν tale che per h,k > ν risulti |Q_k - Q_h| < ε. Ogni successione convergente è di Cauchy. Una successione di Cauchy è limitata. Se una successione di Cauchy Q_n contiene una estratta Q_{n_k} convergente verso ℓ allora anche Q_n converge verso ℓ.

Criterio di convergenza di Cauchy

Una successione Q_n è convergente se e solo se è di Cauchy.

Punti di accumulazione

DEF Sia A un insieme di numeri reali. Un numero reale x₀ è un punto di accumulazione per l’insieme A se, qualunque sia δ>0, ∃ almeno un numero reale x &in; A tale che |x-x₀|

Anteprima

Vedrai una selezione di 10 pagine su 45