Analisi matematica I

Indice

0.1 I numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.2 Estremi di un sottoinsieme di . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

R

0.3 Insiemi numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.3.1 Numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.4 Insieme dei numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

0.5 Insieme dei numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

0.6 Topologia di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

R

0.6.1 Intorni di un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

0.6.2 Punti di accumulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

0.6.3 Denizione di limite per le funzioni reali di variabile reale 18

0.7 Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

0.7.1 Limiti e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

≤

0.7.2 Criteri generali per l'esistenza del limite . . . . . . . . 31

0.8 Successione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

0.8.1 Limite per le successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

0.8.2 Successioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

0.8.3 Il numero e (di Nepero - Eulero) . . . . . . . . . . . . . 38

0.9 Radici (n-esime aritmetiche) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

0.10 Funzioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

0.11 Successioni estratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1

2 INDICE

0.11.1 Successione di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

0.12 Topologia di seguito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

n :

R

0.12.1 Funzioni inverse e continuità . . . . . . . . . . . . . . . 63

Analisi matematica I

0.1 I numeri reali

∈ 6∈

a A, a A ∈ ∈

A = B <=> (x A <=> x B)

⊆ ∈ ∈

A B <=> (x A => x B)

TEOREMA ⊆ ⊇

A = B <=> (A B, B A)

{1, {1,

A = 2} = B = 2, 1}

è pari tale che

{x ∈ } {x ∈ ∈

A = = x = 2p}

N|x N|∃p N

COPPIA ORDINATA

insiemi e ∈ ∈

A, B a A, b B

coppia ordinata di prima coordinata e seconda coordinata

(a, b) = a b

DEFINIZIONE

0 0 0 0

(a, b) = (a , b ) <=> a = a , b = b

6

(1, 2) = (2, 1)

PRODOTTI CARTESIANI

insiemi × {(a, ∈ ∈

A, B => A B = b)|a A, b B}

ESEMPIO: diagramma cartesiano

2

× 3

= => (x, y)

R R R

RELAZIONI 3

4 INDICE

Scrivo e insiemi. Una relazione da a è un sottoinsieme di ×

A B A B R A B.

NOTAZIONE

∈

(a, b) R <=> aRb

RELAZIONE D'ORDINE

Sia un insieme. Una relazione da ad . ⊇ ×

A R A A (R A A).

Si dice ch'è una relazione d'ordine, se verica le seguenti proprietà:

(proprietà riessiva)

∈

1) aRa∀a A (proprietà antisimmetrica)

2) aRb, bRa => a = b

(proprietà transitiva)

3) aRb, bRc => aRc

OSSERVAZIONE oppure (due numeri reali sono sempre

≤)∀x, ∈ ≤ ≤

(R, y => x y y x

R

confrontabili tra loro)

DEFINIZIONE (ORDINE LINEARE O TOTALE)

Sia una relazione d'ordine nell'insieme , ( è un insieme ordinato).

R A (A, R)

Si dice che è una relazione d'ordine lineare o totale, se: ∀a, ∈

R b A => aRb

oppure bRa.

è linearmente ordinato.

≤)

(R,

FUNZIONE

Siano e due insiemi. Si chiama funzione da e ogni relazione da

A B A B f

e ( ) tale che:

⊆ ×

A B f A B (dominio di è )

∀a ∈ ∈ ∈

1) A∃b B : (a, b) f f A

se 0 0

∈ ∈

2) (a, b) f, (a, b ) f => b = b

NOTAZIONE

Per dire che è una funzione da a si usa la seguente notazione −→

f A B f : A

B è univoca

⊆ ×

f A B, D(f ) = A, f

INSIEME DEI NUMERI REALI (la struttura)

somma, prodotto e relazione d'ordine

·, ≤)

(R, +, +

7−→

(x, y) x + y

·

7−→ ·

(x, y) x y

0.1 I numeri reali 5

Le proprietà che caratterizzano sono le seguenti:

·, ≤)

(R, +,

commutativa

∀x, |

yR, x + y = y + x xy = yx associtaiva

|

(x + y) + z = x + (y + z) (xy)z = x(yz)

distributiva

x(y + z) = xy + xz

tale che tale che elemento neutro

∃0 ∈ ∃1 ∈ ·

x + 0 = x| x 1 = x

R R

∀ ∈ | 6 ∈

1 = 0∀

R R elemento inverso

∀x ∈ ∈ |∀x ∈ 6 ∈

x = 0∃z

R∃y R R, R

−1 1

−x |xz

x + y = 0 y = = 1 z = x = x

gruppo commutativo

(R, +) gruppo commutativo

− ·)

(R 0, campo o corpo commutativo

·)

(R, +, è linearmente ordinato

≤)

(R,

≤ ≤ ∀z ∈

x y => x + z y + z R

≤ ≥ ≤

x y, z 0 => xz yz

è un campo ordinato

·, ≤)

(R, +, è completo

≤)

(R,

Conseguenze delle proprietà caratterizzanti di ·, ≤)

(R, +,

sono unici

0, 1

L'opposto e il reciproco sono unici −1

(−x, y )

−

x y = x + (−y)

x −1

·

= x y

y

Legge di cancellazione x + z = y + z => x = y

x+z = y+z => (x+z)+(−z) = (y+z)+(−z) => x+(z+(−z)) = y(z+(−z)) => x = y

6

xz = yz, z = 0 => x = y

−1 −1 −1 −1

6

xz = yz, z = 0 => (xz)z = (yz)z => x(zz ) = y(zz ) => x·1 = y·1 => x = y

6 INDICE

· ∈

x 0 = 0∀x R

· · · ·

x + x 0 = x 1 + x 0 = x(1 + 0) = x 1 = x

· ·

x + x 0 = x => x 0 = 0

−(−x) ∈

= x∀x R −(−x)

x + (−x) = 0 => (−x) + x = 0 => x =

−xy

(−x)y = ·

xy + (−x)y = (x + (−x))y = 0 y = 0

−xy

(−x)y =

(−x)(−y) = xy

−1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1

· · · · · ·

(x y)(x y ) = x y y x = x x = 1 => x y = (xy)

·

x x z ∀z 6

= = 0

·

y y z

NOTAZIONE

≤ ≤

x y <=> y x ≥ −x ≤

x 0 => 0

≥ ≥ ≥ −x −x ≤

x 0 => x + (−x) 0 + (−x) => 0 => 0

≥ −x ≤ −y

x y =>

8

> 2

≥ ≥

x 0 => x 0

<

2 ≥ ∈ ∈

x 0∀ => x

R R > 2 2

: ≤ −x ≥ ≥ ≥

x 0 => 0 => (−x) 0 => x 0

NOTAZIONE ≥ 6

x < y <=> x y; x = y

2

6 ≥

1 > 0, 1 = 0, 1 = 1 0 => 1 > 0

−1 −1

· ≤ · ≤

x > 0 <=> x > 0 => x x x 0 => 1 0

0.2 Estremi di un sottoinsieme di 7

R

Allora per assurdo , ma è assurdo

−1 ≤

x > 0; x < 0 1 0

≤ ≥ ≥

x y, z y => xy xy

8

> −1 −1 −1

·

x > 0 => x > 0 => x (xy) > 0 x => y > 0

<

6

xy > 0 => x, y = 0 = >

: x< 0

8

> x> 0 ey> 0

< x

xy > 0 <=> > 0

<=>

> y

: x< 0 ey< 0

campo linearmente ordinato e completo

·, ≥)

(R, +, ≥ ≥ ∀z ∈

x y <=> x + z y + z R

≥ ≤ ≥

x y, z 0 => xy yz

0.2 Estremi di un sottoinsieme di R

DEFINIZIONE(maggiorante, minorante)

Sia un sottoinsieme di e sia

⊆ ∈

A x

R(A R) R

Si dice che è un maggiorante di se ≥ ∈ ≤

x A a x∀a A, x a

Si dice che è un minorante di se ≤ ∈ ≥

x A a x∀a A, x A

DEFINIZIONE(massimo e minimo)

Sia e sia Si dice che è il massimo di se:

⊆ ∈

A x x A

R R.

∈

1) x A

≥ ∈

2) x a∀ A

Si dice che è il minimo di se:

x A

∈

1) x A

≤ ∀ ∈

2) x A

UNICITA' DEL MASSIMO E DEL MINIMO

8 INDICE

TEOREMA

Se ha massimo, allora questo è unico

A

Se ha minimo, allora questo è unico

A

NOTAZIONE

massimo di

max A = A

minimo di

min A = A

Siano entrambi minimi di , dimostriamo che

0 ∈

x, x A x =

Dimostrazione. R

0

x

Infatti: , dove sono maggioranti allora

0 0 0 0

≥ ∈ ≥ ∈

x x A x x A x, x x = x

DEFINIZIONE(estremo superiore, estremo inferiore)

Sia un sottoinsieme di e sia Si dice che è l'estremo superiore

∈

A λ λ

R R.

di se è un maggiorante di ed è il minimo dei maggioranti di .

A A A

In altri termini:

λ := sup A

≥ ∀x ∈

1) λ x A

∈ ≥ ∀x ∈ ≥

2) µ µ x, A => µ λ

R,

Analogamente, un numero reale si dira' estremo inferiore di :

λ A

λ := inf A

≤ ∀x ∈

1) λ x A

∈ ≤ ∀x ∈ ≤

2) µ µ x, A => µ λ

R,

OSSERVAZIONE:

Sia un sottoinsieme di dotato di massimo. Allora il massimo di

1) A R

A = sup A.

Sia un sottoinsieme di dotato di minimo. Allora il minimo di

2) A A =

R

inf A.

Infatti:

sia ,allora: ∈

λ = max A 1) λ A

≥ ∀x ∈

2) λ x A

0.3 Insiemi numerici 9

Sia ora ne verrà che

∈ ≥ ∀x ∈ ∈ ≥

µ µ x A, λ A, µ λ

R,

In denitiva è un maggiorante e tra i maggiornati il più piccolo

λ ⊆ ∈

A λ = sup A, λ A => λ = max A

R,

DEFINIZIONE (insiemi limitati superiormente o inferiormente)

Sia Si dice che è limitato superiormente se ha almeno un maggio-

⊆

A A

R.

rante, precisamente se ∃x ∈ ≥ ∈

: x a∀a A

R

Sia Si dice che è limitato inferiormente se ha almeno un minorante,

⊆

A A

R.

precisamente se ∃x ∈ ≤ ∈

: x a∀a A

R

PROPRIETA' DI COMPLETEZZA DI R

Dierenza tra e

R Q

Ogni sottoinsieme di limitato superiormente ha estremo superiore.

R

Ogni sottoinsieme di limitato inferiormente ha estremo inferiore.

R

0.3 Insiemi numerici

NOTAZIONE

insieme numeri naturali

=

N insieme numeri interi

=

Z insieme numeri razionali

=

Q insieme numeri reali

=

R ⊆ ⊆ ⊆

N Z Q R

6 6 6

= = =

0.3.1 Numeri naturali

DEFINIZIONE(insieme induttivo)

Sia un sottoinsieme di si dice che è induttivo se:

I I

R

10 INDICE

∈

1) 1 I

∈ ∈

2) x I => x + 1 I

Osservazione cruciale: è induttivo

N

Infatti:

allora induttivo

∈ ∈ ∈

1 1 <=> 1 I∀I

N N

∈ ∈

x => x + 1

N N

induttivo induttivo

∈ ∈ ∀I ∈ ∀I ∈

x => x I, => x + 1 I, => x + 1

N N

è un insieme induttivo ed è contenuto in ogni altro insieme induttivo

N

OSSERVAZIONE:

Fra e non vi sono altri numeri naturali.

1 2

perché

6∈ 6∈ 6∈

0 0 I => 0

N N

1 \

= I

N Iinduttivo

OSSERVAZIONE:

Sia tale che , allora allora allora

⊆ ∈ ∈ ∈ ⊇

M 1 M n M n + 1 M M

N N

= M

N

Principio d'induzione matematica

Disuguaglianza di Bernoulli

Dimostrare che n ≥ ∀x ∈ ≥ −1, ∀n ∈

D(n) = (1 + x) 1 + nx x

R, N

vera

≥

N = 1 => 1 + x 1 + x

Dimostrazione. 2 ≥ ≥ −1

N = 2 => (1 + x) 1 + 2x∀x

allora quindi è vera

2 ≥

x 0

Uso il principio d'induzione matematica, quindi se è vera allora

D(n) D(n+1)

è vera n+1 ≥ ∀x −1

(1 + x) 1 + (n + 1)x >

n+1 n 2

≥ ≥

(1+x) = (1+x) (1+x) (1+nx)(1+x) = 1+(n+1)x+nx 1+(n+1)x

0.4 Insieme dei numeri interi 11

allora: n+1 ≥

(1 + x) 1 + (n + 1)x

Poniamo: n

∈ ≥ −1

M = n + x) 1 + nx∀x >

N|(1

, inoltre

⊆ ∈

M I M

N

Se allora allora insieme per cui la disuguaglianza

∈ ∈

n M (n + 1) M M = N

è vera.

PRINCIPIO D'INDUZIONE MATEMATICA

\ ∈ ∈ ∀I ∈

:= I|x <=> x I, µ

N N

I∈µ

{1,

= 2, 3, ..., n, n + 1, ...}

N famiglia di tutti gli'insiemi induttivi

µ =

OSSERVAZIONE:

è induttivo perché contenuto in tutti gl'insiemi

⊆

M M => M =

N, N

induttivi.

Sia una proprietà signicativa in supponiamo: è vera

P (n) 1) P (1)

N,

Allora l'aermazione è vera ∀n ∈

2) P (n) => P (n + 1) P (n) N

Poniamo è vera

{n ∈ }

M = (n)

Dimostrazione. N|P

Allora: inoltre: ( è vera)

⊆ ∈

M 1 M P (1)

N;

( è vera) allora è vera

∈ ∈

n M P (n) P (n + 1) => n + 1 M

Per il teorema precedente M = N

0.4 Insieme dei numeri interi

∪ {0} ∪

:= (−N)

Z N

12 INDICE

−N {−n|n ∈

:= N}

{0, ±1, ±2, ±n}

= ...,

Z

0.5 Insieme dei numeri razionali

¨ «

p |p ∈ ∈

:=

Q Z, Q N

q

TEOREMA( )( )

6 − 6 ∅

= =

Q R R Q

2

∃ ∈

1) x > 0 : x = 2

R, 2

∈ 6∈

2) x > 0, x = 2 => x

R.x Q

2)

Dimostrazione.

Ragioniamo per assurdo 2

∃x ∈

=> x > 0 : x = 2

Q,

Allora esistono possiamo supporre e primi fra loro, allora:

pq

∈

p, q : x = p q

N xz

x ∀z

= > 0

y yz

Allora: ‚ Œ

2 2

p p 0

2 2 2

x = 2 => = 2 => = 2 => p = 2q allora p e pari

2

q q

2 2 2

− − −

p = 2k 1 => p = 4k + 1 4k = 4k 4k + 1

Per tanto è pari ( è pari)

2

p p

In altri termini ( opportuno)

∈

p = 2k k N

Ne viene che è pari è pari.

2 2 2 2 2

4k = 2q => 2k = q => q => q

Ma questo è assurdo perché e devono essere pari, ma sono primi tra loro

p q

quindi è impossibile nessun numero razionale al quadrato da .

=> 2

1)

Dimostrazione. 2

∃λ ∈ λ > 0 : λ = 2

R,

0.5 Insieme dei numeri razionali 13

Poniamo 2

{x ∈

A = > 0, x < 2}

R|x

( )

6 ∅ ∈

1) A = <= 1 A

è limitato superiormente (ha almeno un maggiorante ∃y ∈ ≥

2) A => : y

R

)

∈

x∀x A 2 2 2 2

∈

x A => x > 0, x < 2 < 4 = 2 => x > 0, x < 2 => x < 2

∈

x < 2∀x A

2 2

∈

a, b a, b > 0, a < b <=> a < b

R,

2 2 2 2

− − −

a < b <=> b a > 0 <=> (b a)(b + a) > 0 <=> b a > 0 <=> b > a

Essendo limitato superiormente, per l'assioma di comple-

⊂ 6 ∅,

A A = A

R,

tezza di esiste estremo in .

≤)

(R, sup A R

Poniamo λ = sup A

Dimostriamo: siccome è un maggiorante di , allora perché

≥

1) λ > 0 => λ A λ 1

∈

1 A => λ > 0

per assurdo oppure

2 2 2 2

6

2) λ = 2 => λ = 2 => λ < 2 λ > 2

Se tale che

2 2

∃

λ < 2 => > 0 (λ + ) < 2

Se tale che

2 2

∃ −

λ > 2 => > 0 < λ : (λ ) > 2

Ne viene che : 2 ∈ ≤ ≤ ≤

λ+ > 0, (λ+) < 2 => λ+ A => λ+ sup A = λ => λ+ λ => 0

2 2 2 2

∀x ∈ ∀x ∈

λ− > 0, (λ−) > 2 > x A => λ− > 0, x > 0, (λ−) > x => (λ− > x, A

− ≥ − ≥ − ≥ ≤

=> λ sup A = λ => λ λ => 0 => 0)

√

2 6∈

2 => λ

λ = 2 => λ = Q

2 2

∃

λ < 2 => > 0 : (λ + ) < 2

2

λ > 0; > 0; < 1 => <

2 2 2 2

(λ + ) = λ + + 2λ < λ + + 2λ < 2

14 INDICE

2

−

2 λ

2 2

λ + + 2λ < 2 => λ + (1 + 2λ) < 2 <=> (1 + 2λ) < 2 <=> < 1 + 2λ

Scegliamo: ¨ «

2

2 −

− 2 λ

2 λ > 0 0 < < min 1,

> 0, < 1, < 1 + 2λ 1 + 2λ

2 2

∃ −

λ > 2 => > 0, < λ, (λ ) > 2

2 2 2 2

− − ≥ −

(λ ) = λ + 2λ λ 2λ > 2 2 −

λ 2

2 2

− −

λ 2λ > 2 <=> λ 2 > 2λ <=> (λ > 0) => < 2λ

Allora basta scegliere tale che 2