Indice II
Coseguenze del teorema di Lagrange
Teoremi di de l’Hospital
Calcolo differenziale La formula di Taylor
Matematica Generale, a.a. 2008/09 Natura dei punti stazionari
Michele Longo Funzioni concave e convesse
Punti di flesso
Università Cattolica di Milano
Facoltà di Economia Primitive
Metodi di integrazione
Integrazione per scomposizione
Integrazione per parti
Integrazione per sostituzione
Integrazione di alcune funzioni razionali
Indice I
Derivata
Rapporto incrementale
Funzione derivabile
Interpretazione geometrica della derivata
Continuità e derivabilità
Derivata destra e sinistra
Punti di non derivabilità
Funzione derivata e derivate successive
Algebra delle derivate
Derivata della funzione composta
Derivata della funzione inversa
Differenziale
Teoremi fondamentali del calcolo differenziale
Teorema di Fermat
Teorema di Rolle
Teorema di Lagrange
Teorema di Cauchy Definiamo ∆x := h l’incremento della variabile indipendente;
mentre, la quantità , −
h) := f (x + h) f (x )
∆f (x 0 0 0
rappresenta l’incremento di f (x) corrispondente ad un incremento
Derivata ∆x = h della variabile indipendente.
Osservazione
Se poniamo x := x + h, il rapporto incrementale (*) può anche
0
scriversi −
f (x) f (x )
0 (**)
−
x x 0
Rapporto incrementale Esempio ⎧
Sia x <
Definizione ⎨ se x 2
2
→ R, .
Sia f : (a, b) chiamiamo rapporto incrementale di f in 5 se x = 2
f (x) = ⎩
∈ − >
(a, b) la quantità
x 3 x se x 2
x
0 − = 2 è:
Allora il rapporto incrementale di f in x
+ h) f (x )
f (x 0
0 0 , (*)
h
∈
+ h (a, b).
con h = 0 e tale che x 0
Per esempio, il rapporto incrementale della funzione
√ 2
f (x) = x + 1 nel punto x = 3 è dato da:
0
Funzione derivabile f (x +h)−f (x )
0 0
Se ora facciamo tendere h a 0, il coefficiente angolare
Definizione h
→ R ∈ di r tenderà, se f è derivabile in x , a f (x ). Diremo anche che la
Sia f : (a, b) e x (a, b). Diciamo che la funzione f è h 0 0
0 “tende” alla “retta limite”r di equazione
retta secante r
se esiste, finito, il limite
derivabile in x h
0 − − −
f (x + h) f (x ) f (x) f (x ) ) + f (x ) (x x )
y = f (x
0 0 0 . 0 0 0
(x ) := lim = lim
f 0 −
x→x
h x x
h→0 0
0
(x ) si chiama derivata di f in x .
Il numero f 0 0
Diciamo che f è derivabile in (a, b) se lo è in ogni punto
∈
x (a, b). si indica anche con i simboli
La derivata di f in x 0 df
, .
) )
Df (x (x
0 0
dx
Interpretazione geometrica della derivata Retta tangente
Il rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare della
,
secante il grafico di f nei punti (x f (x )) e
retta r
h 0 0 Definizione
+ h, f (x + h)). L’equazione di r è
(x h
0 0 Se f è derivabile in x , la retta di equazione
0
−
f (x + h) f (x )
0 0 .
− −
) + )
(x x
y = f (x ) + f (x ) (x x )
y = f (x
0 0 0 0 0
h ,
è detta retta tangente al grafico di f nel punto (x f (x )).
0 0
Osservazione
Abbiamo definito la retta tangente usando la derivata. Perciò,
è il coefficiente angolare della
l’affermazione “la derivata di f in x 0 , f (x ))” è vera, ma
retta tangente al grafico di f nel punto (x 0 0
non è la definizione di derivata bensı̀ un modo di interpretarla
geometricamente
Significato geometrico del segno della derivata x x
→
3. f (x) = e f (x) = e
x+h x h
− −
e e e 1
x x
lim e
= lim = e
h h
h→0 h→0
1
→ >
4. f (x) = ln x f (x) = , x 0
x
x+h
− ln
ln (x + h) ln x x
lim = lim
h h
h→0 h→0
h
ln 1 + 1 1
x
= lim =
h x x
h→0 x
Derivate di alcune funzioni elementari
→
5. f (x) = sin x f (x) = cos x
Le formule di prostarefesi permettono di scrivere
→
1. f (x) = c f (x) = 0 (c funzione costante)
− h
sin (x + h) sin x 1 h
2 sin
= cos x +
− −
f (x + h) f (x) c c h h 2 2
lim 0 = 0
= lim = lim
h h
h→0 h→0 h→0 sin (h/2) h
= cos x +
h/2 2
e quindi
→
2. f (x) = ax + b f (x) = a (retta)
−
sin (x + h) sin x sin (h/2) h
− − lim = lim cos x +
f (x + h) f (x) a (x + h) + b (ax + b) h h/2 2
h→0 h→0
lim = lim
h h
h→0 h→0 = cos x
ah
= lim = a
h
h→0
→ −
6. f (x) = cos x f (x) = sin x
Esempio (retta tangente) Derivabilità Continuità
Calcoliamo la retta tangente al grafico di f (x) = ln x nel punto di
= 1. Allora,
ascissa x 0 Una funzione può essere continua in un punto senza essere ivi
f (x ) = ln 1 = 0 |x|
derivabile. Per esempio, la funzione f (x) = è continua ma non
0 1 = 0.
derivabile in x
⇒
0
f (x) = (x ) = 1
f 0
x
e dunque −
) + f (x ) (x x ) =
y = f (x 0 0 0
⇒
Derivabilità Continuità Derivata destra e sinistra
Definizione
Teorema → R ∈
Se f : (a, b) è derivabile in x (a, b) allora è continua in x . 1. Diciamo che la funzione f è derivabile da destra in x se
0 0 0
esiste, finito, il limite
Dimostrazione. −
f (x + h) f (x )
0 0
f (x ) := lim
0
+ h
h→0 +
−
lim f (x) = lim f (x) f (x ) + f (x )
0 0
x→x x→x
0 0 se
2. Diciamo che la funzione f è derivabile da sinistra in x 0
−
f (x) f (x )
0 − esiste, finito, il limite
(x x ) + f (x ) = f (x )
= lim 0 0 0
−
x→x x x 0
0 −
f (x + h) f (x )
0 0
f (x ) := lim
poiché − 0 h
−
h→0
−
f (x) f (x )
0 .
lim = f (x )
0
−
x→x x x (x ) e f (x ) si chiamano, rispettivamente, derivata
Il numeri f
0
0 −
0 0
+ .
destra e sinistra di f in x 0
Punti di non derivabilità
Proposizione Se la funzione f è continua ma non derivabile in x , il limite, finito
0
→ R ∈
La funzione f : (a, b) è derivabile in x (a, b) se e solo se è
0 o infinito, (eventualmente da destra e/o da sinistra) del rapporto
(x ) = f (x ). In tal caso
ivi derivabile da destra e da sinistra e f −
0 0 può darci delle informazioni sul
incrementale di f in x
+ 0
si ha comportamento della funzione (e del suo grafico) in un intorno di
.
(x ) = f (x ) = f (x )
f −
0 0 0 .
x
+ 0
Definizione
Se f è definita nell’intervallo chiuso e limitato [a, b], la derivata di
f in x = a è la derivata destra, mentre la derivata di f in x = b è
la derivata sinistra.
Derivata infinita Esempio (tangente verticale)
√
La funzione f (x) = x non è derivabile (da destra) in x = 0.
0
Infatti, −
f (x + h) f (x )
0 0
(x ) = lim
f 0
+
Introduciamo le seguenti convenzioni: se f è continua in x e h
h→0 +
0 √
√ −
0+ h 0 1
− √
f (x + h) f (x ) = +∞
= lim = lim
0 0 − ∞)
lim = +∞ (oppure h
h→0 h→0
+ + h
h
h→0 Tuttavia, la retta r secante il grafico di f nei punti (0, 0) e
h
−∞) √
è +∞ (oppure e scriviamo
diciamo che la derivata di f in x 0 h, h “tende” alla “retta limite” x = 0 parallela all’asse delle
− ∞)
(x ) = +∞ (oppure
f ordinate (parliamo di punti con tangente verticale)
0
Analoghe convenzioni valgono per le derivate destra e sinistra
Punti angolosi Flessi a tangente verticale
,
Diciamo che (x f (x )) è un punto di flesso a tangente verticale
0 0 e
per il grafico della funzione f se essa è continua in x 0
,
Diciamo che (x f (x )) è un punto angoloso per il grafico della
0 0
(x ) = f (x ) = +∞ (cioè f (x ) = +∞)
f
, esistono le derivate destra e
funzione f se essa è continua in x − 0 0 0
0 +
e
sinistra di f in x 0 oppure
(x ) = f (x )
f
− 0 0
+
−∞ −∞ −∞)
Una delle derivate può anche essere +∞ o (x ) = f (x ) = (cioè f (x ) =
f
− 0 0 0
+
Cuspidi Esempio
Infine, sono punti di non derivabilità quelli in cui almeno una delle
derivate destra o sinistra non esiste. Per esempio,
,
Diciamo che (x f (x )) è una cuspide per il grafico della funzione
0 0 ⎧
e
f se essa è continua in x ⎪ 1
0 ⎨
x cos se x = 0
x
f (x) =
−∞ ⎪
(x ) = +∞ e f (x ) =
f ⎩
− 0 0
+ 0 se x = 0
oppure = 0 poiché
non è derivabile in x
0
−∞ (x ) = +∞
(x ) = e f
f
− 0 0
+ 1 −
h cos 0 1
h
(0) = lim cos
= lim =
f h h
h→0 h→0
k
Funzione derivata Funzioni di classe C
Definizione
Definizione (funzione derivata) k
∈ N.
Sia I un intervallo e k Indichiamo con C (I ) l’insieme (o la
→ R
Se f : (a, b) è derivabile in (a, b), la funzione che associa ad classe) di tutte le funzioni derivabili k volte in I con derivata
∈ (x), viene detta
ogni x (a, b) la derivata di f in x, cioè f k-esima continua; più brevemente diremo l’insieme delle funzioni k
.
funzione derivata di f e si indica con il simbolo f volte derivabili con continuità
Derivate successive Algebra delle derivate
Definizione (derivate successive) Teorema
→ R
Se f : (a, b) è derivabile in (a, b) e la funzione derivata f è a , → R ∈
Siano f g : (a, b) derivabili in x (a, b). Allora le funzioni
∈ f
sua volta derivabile in un punto x (a, b), chiamiamo derivata
± (g (x) = 0) sono derivabili in x e si ha:
f g , fg e g
in x e la indichiamo con uno dei
seconda di f in x la derivata di f
seguenti simboli: ±
± (x) = f (x) g (x)
1. (f g )
2
d f
, , .
2 2. (fg ) (x) = f (x) g (x) + f (x) g (x)
(x) D f (x) (x)
f 2
dx
−
f (x) g (x) f (x) g (x)
f
Si può ripetere il ragionamento sulla funzione derivata seconda e
, (g (x) = 0)
(x) =
3. 2
g [g (x)]
parlare di derivata terza e cosı̀ via. In questo modo si definisce il
concetto di derivata n-esima e di funzioni derivabili n volte in un
punto. La notazione per la derivata n-esima è la seguente: ∈ R
In particolare, se c è una costante e f è derivabile allora
n f
d
, , .
(n) (n)
(x) D f (x) (x)
f (x)
D (cf (x)) = cf
n
dx Derivata della funzione composta
Regola della catena
Esempio n n−1
→ , ∈ Z
1. f (x) = x f (x) = nx n Teorema → R, → R ∈
Siano f : (a, b) g : (c, d) e g (x) (a, b) per ogni
Applichiamo ripetutamente la 1 e la 2 del teorema precedente. ∈ ∈
x (c, d). Se g è derivabile in x (c, d) e f è derivabile in
∈
g (x) (a, b), allora la funzione composta
1
→ , > >
2. f (x) = log x f (x) = a 0, a = 1, x 0 ◦
a (f g ) (x) := f (g (x))
x ln a è derivabile in x e si ha
Basta applicare la regola 2 del teorema precedente all’identità
◦
ln x (x) = f (g (x)) g (x)
(f g )
x =
log a ln a
1 Esempio
2
→
3. f (x) = tan x f (x) = = 1 + (tan x)
2
(cos x) x x
→ >
1. f (x) = a f (x) = a ln a, a 0, a = 1
x
sin
Se poniamo f (x) = tan x = , allora
x
cos x
x a x a
ln ln
L’identità f (x) = a = e = e e il teorema precedente
−
cos x cos x sin x (− sin x)
implicano
f (x) = 2 x a x
(cos x) ln
(x) = e ln a = a ln a
f
1 2
= = 1 + (tan x)
2
(cos x) α α−1
→ αx , α ∈ R
f (x) =
2. f (x) = x α
α x α x
ln ln
L’identità f (x) = x = e = e e il teorema precedente
Esercizio implicano
Calcolare le funzioni derivate delle seguenti funzioni:
x α α
sin x
1. f (x) = 2x + e α x α α−1
αx
ln
f (x) = e = x =
x cos x x x
2. f (x) = x
e
Esempio
−1
La continuità di f implica che
x +1 . Allora
Sia f (x) = ln 2x + 3 −1 −1
→ →
(y ) f (y ) = x se (e solo se) y y
x = f 0 0 0
× − ×
1 1 (2x + 3) (x + 1) 2
× e dunque
f (x) = x+1 2
(2x + 3)
2x+3 −1 −1
−
f (y ) f (y )
2x + 3 1
1
−1 0
× f (y ) := lim
= = 0 −
y →y
2 y y
x +1 (2x + 3) (x + 1)
(2x + 3) 0
0 1
1
= lim =
−
x→x f (x) f (x ) f (x )
0 0
0
Esercizio −
x x 0
Calcolare le funzioni derivate delle seguenti funzioni: −1 in y := f (x ) è il reciproco della derivata
Cioè, la derivata di f
x 0 0
sin
1. f (x) = e
di f in x
x 0
cos f
2 ln (x)
2. f (x) = 1 + x (si usi l’identità f (x) = e )
Derivata della funzione inversa Derivata della funzione inversa
Se f è una funzione continua e invertibile nell’intervallo I , allora
−1 è continua nell’intervallo J := f (I ). Se poniamo y := f (x),
f −1 −1
(y ) e il rapporto incrementale di f in y := f (x )
allora x = f 0 0
può essere scritto come segue:
−1 −1 −1 −1
− −
f
f (y ) f (y ) (f (x)) f (f (x ))
0 0
=
− −
y y f (x) f (x )
0 0
−
x x 1
0
= = −
− f (x) f (x )
f (x) f (x ) 0
0 −
x x 0 Se poi vogliamo la stessa variabile indipendente in ambo i membri
Teorema della (**), possiamo procedere in due modi:
→ R
Sia f : (a, b) continua e invertibile. Se f è derivabile in
−1
∈
(a, b) e f (x ) = 0, allora la funzione inversa f è derivabile
x 1. sostituiamo la y con f (x) e otteniamo
0 0
= f (x ) e si ha
in y 0 0
1
−1 (f (x)) = ;
f
f (x)
1
−1 (y ) = (*)
f 0
f (x ) −1
0 (y ) e otteniamo
2. sostituiamo la x con f
1
−1 ,
(y ) =
f
Osservazione −1
f (f (y ))
−1
Nella formula (*), gli argomenti delle funzioni f e f sono
−1 ovvero, usando la sol
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