Analisi matematica - Appunti

Riepilogo concetti teorici e pratici. 7)BIIETTIVITA': se: 1) S<=alpha per ogni alpha appart.

1)TEOREMA SULLA Sia ha quando una funzione è a R; 2) per ogni eps. >0 esiste alpha

CONTINUITA': contemporaneamente iniettiva e appart. a A tale che(da adesso lo

f:XR, XcR, x°cX°(ovvero punto suriettiva indico con :) A<=alpha<s+eps.

interno al dominio), f derivabile L'estremo inferiore non è altro che il

ovvero fcC^1(X) allora f è anche 8)DEFINIZIONE DI massimo dei maggioranti.

continua ed anche la sua derivata SUCCESSIONE:

prima è continua. f: NR, NcR. 11)INSIEME LIMITATO:

L'unico limite che posso calcolare è Se un insieme A è lim. sia inf. che

2)DERIVABILITA': per n+ inf. sup. ed un n° reale a appartenente a

Se fcC^1(X) allora f è continua e la In Z " " " " " " " tale insieme allora è di massimo o

f'(x) : l'unico punto di discontinuità n+/-inf. minimo allora ci si rifà al teorema di

può essere quello di seconda specie. In Z gli unici punti di accumulazione Weielstrass ipotizzando che la

sono +/- inf. funzione si continua ovvero fcC^°(A)

3)INTORNO: Sia N sia Z sono radi ovvero formati e che la funzione sia definita su un

Si chiama intorno di un numero reale da tutti punti isolati dunque per compatto o intervallo chiuso o

finito a un qualunque intervallo(a-r, definizione in un punto isolato la restrizione di R.

a+r) di centro a e semi ampiezza r e si funzione è continua.

indica con U(a). Le successioni sono un caso 12)MAGGIORANTE:

Gli intorni godono della proprietà di particolare di funzione reale di KcR e K>=X dove XcR allora K è

separazione degli intorni stessi dunque variabile reale in quanto ci si maggiorante se >= di qualsiasi

l'intorno di x° intersecato l'intorno di comporta come con esse , tranne elemento dell'insiem XcR.

x1 è uguale all'insieme vuoto. tranne che nel calcolo dei limiti. Se trovo un maggiorante ne trovo

Ciò suddetto è alla base della Le successioni sono definite in N ed infiniti.

dimostrazione del teorema di unicità hanno valori in R.

del limite. Le funzioni reali sono definite in R(se 13)MINORANTE:

a due variabili in R^2R) ad hanno KcR e k<=0 e XcR allora K è

4)INTERVALLO: valori in R. minorante <= di qualsiasi elemento

Ve ne sono di 4 tipi, aperti, chiusi, Nelle successioni vi è il dominio, il dell'insieme XcR.

aperti a destra e chiusi a sinistra, aperti codominio, l'immagine e il grafico Se trovo un minorante ne trovo

a sinistra e chiusi a destra. della funzione(f(n)) ma in termini di infiniti.

L'intervallo è un segmento di retta R. G(n) cambia qualcosa e quel qualcosa

che varia è dovuto al fatto che l'unico 14)INSIEME SUPERIORMENTE

5)INIETTIVITA': punto di accumulazione per N è + inf. LIMITATO:

Si verifica con il test di iniettività: tali dunque l'unico limite calcolabile e per Si ha quando l'ins. XcR ammette

funzioni sono tutte iniettive: y=x, n + inf. almeno un maggiornate;

y=e^x, y=x^3, y=src(scr vuol dire Una successione si indica con [An] (al

sotto radice cubica e srq vuol dire posto delle quadre vi sono le graffe) 15)INSIEME INFERIORMENTE

sotto radice quadrata) x^2,; dove An è il termine generale della LIMITATO:

Iniettività: se x1 è diverso da x2 allora successione. Si ha quando l'ins. XcR ammette

f(1) è diverso da f(2) ovvero a punti In N ogni punto è punto isolato almeno un minorante.

distinti presi sul dominio dunque non ha senso parlare di intorno

corrispondono immagini distinte nel di un punto ovvero di punto di 16)INSIEME LIMITATO:

codominio. accumulazione come per le funzioni Si ha quando l'ins. XcR ammette

Iniettività: se f(x1)=f(x2) allora x1 è reali di variabile reale , per il calcolo almeno un maggiorante e un

uguale a x2. dei limiti. minorante.

Una funzione iniettiva è: la funzione

identità ovvero f(x)=x. 9)ESTREMA SUPERIORE: 17)ESTREMO SUPERIORE:

Sia a un insieme di numeri reali non Date le condizioni : 1)XcR, 2)x

6)SURIETTIVITA': vuoto e limitato tale cioè che esista un diverso da ins. Vuoto; 3) X lim.

La ottengo se x1 è diverso da x2 allora beta appartenente a R maggiore di tutti superiorm. Allora ScR si dice estremo

f(x1)= (fx2) ovvero presi punti distinti gli elementi di A. il valore S superiore del'ins. X se è il minimo dei

sul dominio ottengo immagini uguali. appartenente a R si dice estremo maggiorantis=Sup X se poi

Tramite il test di iniettività verifico superiore di A(S=Sup A) se: 1) s>= l'estremo superiore è compreso

che una funzione è suriettiva se alpha per ogni alpha appartenente ad nell'ins. X è massimo assoluto e ci

tracciando delle rette parallele all'asse A; 2)per epsilon strettam. Maggiore di si rifa sempre al teorema di

delle ascisse(ovvero il test di 0 esiste alpha appart. ad A : S- Weielstrass(sempre sotto le sue

iniettività) ottengo che queste eps<alpha<S. condizioni).

intersecano il grafico(che si indica con Estremo superiore non è altro che il

G(f)) della funzione almeno in due minimo dei maggioranti. 18)ESTREMO INFERIORE:

punti. date le stesse condizioni che valgono

Una funzione suriettiva esaurisce 10)ESTREMO INFERIORE: per l'estremo superiore ScR si dice

l'insieme immagine infatti vale la Sia A un insieme di n° reali non vuoto estremo inferiore dell'ins. X se è il

seguente: aincluso deb(lo indico con e lim. inferiormente tale cioè che massimo dei minoranti S=inf Xse

c)in R e non a=R. esista un elemento minore di tutti gli poi l'estremo superiore è compreso

Una funzione suriettiva è: f(x)=x^2. elementi di A. il valore S appart. a R si nell'ins. X è minimo assoluto.

dice estremo inferiore di A(S=infA)

19)INSIEME ILLIMITATO appart. ad A ed inoltre esiste un suo 37)SERIE ARMONICA:

SUPERIORMENTE: intorno contenuto in A. Somme da 0 a + inf di 1/(n)^alpha

Esso si indica nel segunete modo: S Se alpha<=1serie divergente

Sup X=+ inf. 28)PUNTO ESTERNO: positivamente a + inf.

Un p.to a dell'ins. AcR si dice esterno Se alpha >1serie convergente

20)INSIEME ILLIMITATO ad A se non appartiene ad A ed esiste

INFERIORMENTE: un suo intorno U(a) tale che U(a) 38)COMBINAZIONI SEMPLICI:

Esso si indica nel seguente modo: S intersecato A è diverso dall'ins. Vuoto. Dn,k /K != n(n-1)……..(n-k+1)/K!

=al

inf X=-inf. *(n-k)! binomio di Newton.

21)DEFINIZIONE DI ESTREMO 29)PUNTO ISOLATO:

SUPERIORE: Il contrario di punto isolato è punto di 39)BINOMIO DI NEWTON:

Dato ScR e S>=x, per ogni x appart. accumulazione. (a+b)^n=somme con n da 0 a n di( n

X per ogni eps. >0 esiste x* appart. Un p.to a appart. ad un insieme AcR è su k)a^k*b^n-k

a X: s-eps.<x*, ovvero se tolgo detto isolato di A se esiste un intorno

qualcosa (eps.) non è più maggiornate. al quale non appartiene alcun 40)COEFFICIENTE BINOMIALE DI

elemento di A distinto da a(come per NEWTON:

22)EQUIPOTENZA O UGUALE esempio in N, Z, Q e non in R). (n su 0)b^n+(n su 1)ab^n-1+(n su

CARDINALITA': 2)a^2b^n-2……….(n su n)^a^n

Se ad ogni elemento di N corrisponde 30)PUNTO DI FRONTIERA:

sempre un elemento di Z i due insiemi Un p.to a si dice di frontiera per l'ins. 41)TRIANGOLO DI TARTAGLIA:

hanno uguale cardinalità. AcR se rispetto a tale ins. Non è né (a+b)^n=

N,Z,Q, sono tutti è tre numerabili interno né esterno ovvero appartenga o n=0------------1

dunque hanno uguale cardinalità. meno ad A; ogni suo intorno contiene n=1------- 1 1

R non è numerabile. almeno un punto di A e un punto di n=2---- 1 2 1

R\A ………………………

23)POTENZA DEL CONTINUO:

se preso un qualsiasi insieme esso ha 31)INSIEME APERTO: 42)COEFFICIENTE BINOMIALE:

la stessa numerabilità di R. Un ins. Si dice aperto se ogni suo p.to (n su k)=n!/k!*(n-k)!=(n /0)= n!/n!

è p.to interno. Per convenzione si pone 0!=1

24)PERMUTAZIONI SEMPLICI:

Pn,k=n! 32)INSIEME CHIUSO: 43)LEGGE DI EVOLUZIONE O

Un ins. Si dice chiuso se il MODELLO RICORSIVO O

25)PERMUTAZIONI CON complementare è aperto. SISTEMA DINAMICO DISCRETO:

RIPETIZIONE: 1+2+2^2+……..2^62= somme con k

P*n,k: n!/k1!*k2!*… 33)INSIEMI SIA APERTI SIA da 1 a 63 di 2^k=1-2^64/1-2=(2^64-

Si utilizza tale formula, tra le altre CHIUSI : 1)= progressione geometricaquando

cosa, per calcolare il numero degli Essi sono rispettivamente R e l'ins. il rapporto tra i ternimi consecutivi è

anagrammi di una parola in cui si Vuoto. sempre costante il rapporto prende

ripetono una o più lettere. il nome di ragione della progressione.

34)PUNTO DI ACCUMULAZIONE:

26)COMPLETEZZA DI R: Un p.to a appart. a R è di 44)DEFINIZIONE DI FUNZIONE:

Ogni insieme non vuoto e limitato accumulazione per l'ins. AcR se ogni f(x)=y

superiorm. Ammette in R estremo suo intorno contiene almeno un p.to di Ovvero legame tramite la f che ad un

superiore e se non vuoto e lim. inf. A distinto da a. punto preso sulle ascisse o dominio

ammette in R estremo inf; allora se Non si considera il centro dell'intorno associa uno e un solo valore sulle

l'insime è lim. sup. e lim. inf. l'insieme per il calcolo dei limiti, mentre lo si ordinate o codominio.

è limitato mentre se è lim. solo inf o considera per la studio della Vi è dunque una relazione biunivoca .

solo sup quindi ho estremo sup e non continuità.

inf o viceversa allora l'insieme è Ogni p.to interno è anche di 45)CODOMINIO:

illimitato o limitato a destra e non a accumulazione. E' uguale all'insieme delle immagini;

sinistra e viceversa lim a sinistra e non