Analisi matematica 1 - Teoria

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Appunti di Analisi matematica 1 per il Corso della professoressa Liliana Curcio, teoria svolta a lezione sui seguenti argomenti: ordinamento e completezza, l'insieme, estremo superiore e …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria dell'informazione

Dal corso del Prof. Curcio Liliana

Università Politecnico di Milano

A.A. 2011-2012

77 pagine

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Insiemi numerici

Ordinamento e completezza

L'insieme può essere rappresentato graficamente come una retta. Associano ad un punto di essa arbitrariamente il punto 0 e un punto 1 ad una certa distanza che chiamiamo unità di misura. L'insieme è un insieme ordinato, di conseguenza valgono le relazioni d'ordine cioè valgono le seguenti tre proprietà:

∀a → a≤a riflessivo
∀a,b, se a≤b e b≤a allora a=b antisimmetrica
∀a,b,c se a≤b e b≤c allora a≤c transitiva

Presi a e b qualsiasi è sempre possibile confrontarli per mezzo della relazione d'ordine. Un insieme in cui sono definite 2 operazioni e una relazione d'ordine che soddisfano tutte le proprietà dette precedentemente si dice ordinato. Se regolano le 2 operazioni ma nessuna relazione d'ordine si dice campo. Q ed ℝ sono campi ordinati.

Estremo superiore ed inferiore di un insieme

Consideriamo un insieme qualsiasi totalmente ordinato e sia un insieme contenuto in: ⊆ . Si dice limitato superioriamente se esiste un numero per cui vissuti ≤. Limitato inferioriamente se ∃ per cui vissuti ≥ - ∀ ∈.

Insiemi numerici: ordinamento e completezza

L’insieme Q può essere rappresentato graficamente come una retta. Associamo ad un punto di essa arbitrariamente il punto 0 e un punto 1 ad una certa distanza che chiamiamo unità di misura. L'insieme Q è un insieme ordinato, di conseguenza valgono le relazioni d'ordine cioè valgono le seguenti tre proprietà:

∀a a≤a riflessiva
∀a,b, se a≤b e b≤a allora a=b antisimmmetrica
∀a,b,c se a≤b e b≤c allora a≤c transitiva

Presi a e b qualsiasi è sempre possibile confrontarli per mezzo della relazione d'ordine. Un insieme in cui sono definite 2 operazioni e una relazione d'ordine che soddisfano tutte le proprietà dette precedentemente si dice campo ordinato. Se valgono le 2 operazioni ma nessuna relazione d'ordine si dice campo. Q ed ℝ sono campi ordinati.

Estremo superiore ed inferiore di un insieme

Consideriamo un insieme X qualsiasi totalmente ordinato e sia E un insieme contenuto in X: E ⊆ X. E si dice limitato superiormente se esiste un numero M per cui vissuth x ≤ M ∀x ∈ E. E limitato inferiormente se ∃ m per cui vissuth x ≥ m _ ∀x ∈ E. E si dice limitato se esistono due numeri m e M tali che: x si dice massimo di E se: x ∈ E ∧ x ≤x ∀x ∈ E. x si dice minimo di E se: x ∈ E ∧ x ≥x ∀x ∈ E. Se esiste un max è ovvio che sia superiormente limitato. Se è superiormente limitato non è detto che ci sia un massimo. Vale anche per il minimo.

Valore assoluto o modulo

Preso un numero x ∈ ℝ il |x| si definisce in questo modo:

|x| = { x se x>0
-x se x ≤ 0 }

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