N N
X X 1
n 1
S = = −
N (n + 1)! n! (n + 1)!
n=1 n=1
µ ¶ µ ¶ µ ¶
1 1 1 1 1
= 1 − + − + − + ...
2! 2! 3! 3! 4!
µ ¶ µ ¶
1 1 1 1
... + − + −
(N − 1)! N ! N ! (N + 1)!
1
=1 − (N + 1)!
e quindi ∞
X n
lim S = 1 =⇒ = 1.
N (n + 1)!
N →+∞ n=1
32
(2) Sia a = 1/[n(n + 3)] il termine generale della serie. Allora
n 1 = 0.
lim n(n + 3)
n→+∞
Inoltre 1 1
∼ ,
2
n(n + 3) n
per cui la serie converge per il criterio del confronto asintotico. Possiamo scrivere
A B An + Bn + 3A
1 = + =
n(n + 3) n n +3 n(n + 3)
da cui 1 1
A + B = 0, 3A = 1 =⇒ A = , B = − ,
3 3
e quindi µ ¶
1 1 1 1
= − .
n(n + 3) 3 n n +3
Ne segue che µ ¶
N
N X
X 1 1 1
1
S = = −
N n(n + 3) 3 n n + 3
n=1
n=1
½µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= 1 − + − + − + − + − + ...
3 4 2 5 3 6 4 7 5 8
µ ¶ µ ¶ µ ¶
1 1 1 1 1 1
... + − + − + −
N − 4 N − 1 N − 3 N N − 2 N +1
µ ¶ µ ¶¾
1 1 1 1
+ − + −
N − 1 N +2 N N +3
½ ¾
1 1 1 1 1 1
= 1+ + − − −
3 2 3 N +1 N +2 N +3
e quindi µ ¶ ∞
X
1 1 1 11 11
1
lim S = 1+ + = =⇒ = .
N 3 2 3 18 n(n + 3) 18
N →+∞ n=1
(3) Poiché 2n + 1 2n
lim = lim = 0,
2 2 2 2
n (n + 1) n · n
n→+∞ n→+∞
e che 2n + 1 2n 2
∼ = ,
2 2 2 2 3
n (n + 1) n · n n
la serie converge per il criterio del confronto asintotico. Osserviamo che
2 2 2 2
(n + 1) = n + 2n + 1 =⇒ 2n + 1 = (n + 1) − n ,
33
per cui 2 2 2 2
2n + 1 (n + 1) − n (n + 1) n 1 1
= = − = − .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
n (n + 1) n (n + 1) n (n + 1) n (n + 1) n (n + 1)
Ne segue che, essendo la serie telescopica, ¶
µ
N N
X X
2n + 1 1
1
S = = −
N 2 2 2 2
n (n + 1) n (n + 1)
n=1 n=1
µ ¶ µ ¶ µ ¶
1 1 1
1 1
= 1 − + − + − + ...
4 4 9 9 16
µ ¶ µ ¶
1 1 1 1
... + − + −
2 2 2 2
(N − 1) N N (N + 1)
1
=1 − 2
(N + 1)
da cui ∞
X 2n + 1
lim S = 1 =⇒ = 1.
N 2 2
n (n + 1)
N →+∞ n=1
(4) Osserviamo che 1 1
∼ ,
2 2
4n − 1 4n
e quindi la serie converge per il criterio del confronto asintotico. Inoltre
1 A B 2n(A + B) + A − B
= + = ,
2 2
4n − 1 2n − 1 2n + 1 4n − 1
da cui 1 1
A + B = 0, A − B = 1 =⇒ A = , B = − ,
2 2
e quindi µ ¶
1 1 1 1
= − .
2
4n − 1 2 2n − 1 2n + 1
Ne segue che, essendo la serie telescopica ¶
µ
N N
X X
1 1 1
1
=
S = −
N 2
4n − 1 2 2n − 1 2n + 1
n=1 n=1
½µ ¶ µ ¶ µ ¶
1 1 1 1 1
1 1 − + − + − + ...
= 2 3 3 5 5 7
µ ¶ µ ¶¾
1 1 1 1
... + − + −
2N − 3 2N − 1 2N − 1 2N + 1
µ ¶
1 1
= 1 −
2 2N + 1
da cui ∞
X 1 1
1 =⇒ = .
lim S =
N 2
2 4n − 1 2
N →+∞ n=1
34
(5) Osserviamo che
√ √
√ √
1 1 n +1 − n n +1+ n n +1 − n
√ √ √ √ √ √
− = · = =
√ √ √ √
n n +1 n n +1 n +1+ n n n + 1( n + 1 + n)
n +1 − n 1 1
√ √ √ √ √
= ∼ = ,
√
√ 3/2
n n · 2 n 2n
n n + 1( n + 1 + n)
per cui la serie converge per il criterio del confronto asintotico. Ora la serie si
presenta già in forma telescopica, per cui
¶
µ
N
X 1
1
√ √
S = −
N n n +1
n=1
µ ¶ µ ¶ µ ¶
1 1 1 1 1
√ √ √ √ √
= 1 − + − + − + ...
2 2 3 3 4
¶ µ ¶
µ 1 1 1 1
√ √ √ √
... + − + −
N − 1 N +1
N N
1
√
=1 − N +1
e quindi µ ¶
∞
X 1 1
√ √
lim S = 1 =⇒ − = 1.
N n n +1
N →+∞ n=1
(6) Indichiamo con a = 1/[n(n + 1)(n + 2)] il termine generale. Poiché
n 1 1
a ∼ = ,
n 3
n · n · n n
la serie converge per il criterio del confronto asintotico. Abbiamo poi
A B C A(n + 1)(n + 2) + Bn(n + 2) + Cn(n + 1)
a = + + = ,
n n n +1 n +2 n(n + 1)(n + 2)
da cui 2
(A + B + C)n + (3A + 2B + C)n + 2A
a = ,
n n(n + 1)(n + 2)
e quindi 1
1 , B = −1, C = .
A + B + C = 0, 3A + 2B + C = 0, 2A = 1 =⇒ A = 2 2
Ne segue che µ ¶
1 1 2 1
a = − + .
n 2 n n +1 n +2
35
1
Si ha allora µ ¶
N N
X X
1 1 1 2 1
S = = − +
N n(n + 1)(n + 2) 2 n n + 1 n + 2
n=1 n=1
½µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶
1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1
= 1 − + + − + + − + + − + + ...
2 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6
¶ µ ¶
µ 2 1 2 1
1
1 − + + − +
... + N − 3 N − 2 N − 1 N − 2 N − 1 N
µ ¶ µ ¶¾
2 1 2 1
1 1
+ − + + − +
N − 1 N N +1 N N +1 N +2
µ ¶
2 1
1 1
= − +
2 2 N +1 N +2
e quindi ∞
X 1
1 1
lim S = =⇒ = .
N 4 n(n + 1)(n + 2) 4
N →+∞ n=1 2
Esercizio 8 Determinare il carattere delle seguenti serie µ ¶
∞ ∞ ∞
X X X
1 log n n +1
(1) , (2) , (3) log ,
4 2
log(1 + n) n n
n=2 n=1 n=1
√
√
∞ ∞ ∞
X X X
n +2 − n − 2 1 1
√ √ ,
(4) , (5) log , (6) log
n n 3
n
n=2 n=1 n=1
∞ ∞
∞
X X
X
1 1 2n
(7) , (9) 3 · cos(nπ),
, (8)
log n log(n!)
2 2
n=1 n=1
n=1
∞ ∞ ∞
X X X
2
n 43
3 n 1
µ ¶
(10) , (11) , (12) ,
n n
(n!) 6 4n
n=1 n=1 n=1 3n
µ ¶
∞ ∞ ∞
X X X n
2 1 1
µ ¶ √
(13) , (14) , (15) ,
n +2
log n
3n + 2 n
n=1 n=2 n=1
3n
1 Possiamo calcolare la somma con le proprietà delle sommatorie. Infatti si ha
( )
µ ¶ N N
N N X X
X X 1 1
1 1 2 1 1
1
S = − + − 2 +
=
N 2 n n +1 n +2 2 n n + 1 n + 2
n=1 n=1
n=1 n=1
( )
N +1 N +2
N X X
X 1 1
1 1
= − 2 +
2 n n n
n=2 n=3
n=1
( )
N N
N X X
X 1 1
1 1 1 1 1 1
1 +1+ − 2 − 2 · − 2 + + +
= 2 n 2 n 2 N + 1 n N +1 N +2
n=3 n=3
n=3
½ ¾ µ ¶
1 1 1 1 1 1 1
1 1
= − 1 − 2 + + − +
1+ = .
2 2 N +1 N +1 N +2 2 2 N +1 N +2
36
µ ¶ µ ¶
2 2
∞ ∞ ∞
X X X
n n n
1 n
n +2 n − 2
n
(16) , (17) 3 , (18) ,
n
5 n n (2n)!
n=1 n=1 n=1
r
∞ ∞
X X 1
n+
4 n n
µ ¶
n 1 + .
(19) , (20) n
3
n 1
n +
n=1 n=1 n
−1
Soluzione. (1) Sia a = [log(n + 1)] > 0. Allora la serie converge o di-
n
verge positivamente. Essendo lim a = 0 non possiamo concludere niente sul
n
n→+∞
carattere. Tuttavia 1
n ≥ 2 =⇒ n + 1 ≥ 3 =⇒ log(n + 1) < n + 1 =⇒ a > .
n n +1
Ne segue che ∞ ∞ ∞ ∞
X X X X
1 1 1 1 1
> = = − 1 − ,
log(1 + n) 1 + n n n 2
n=2 n=2 n=3 n=1
che diverge, essendo l’ultima la serie armonica. Quindi la serie diverge per
confronto. 4
(2) Sia a = (log n)/n ≥ 0. Allora la serie converge o diverge positivamente.
n
Essendo lim a = 0 non possiamo concludere niente sul carattere. Tuttavia,
n
n→+∞
avendosi log n < n per ogni n ≥ 1, si ha pure
log n n 1
< = ,
4 4 3
n n n
per cui ∞ ∞
X X
log n 1
< ,
4 3
n n
n=1 n=1
ed essendo l’ultima serie convergente (serie armonica generalizzata con espo-
nente α = 3), la serie data converge per il criterio del confronto.
¡ ¢
n+1
(3) Sia a = log . Poiché, se n ≥ 2,
n 2
n 1 1 1 1 3
n +1 = + ≤ + = < 1,
2 2
n n n 2 4 4
allora µ ¶
n +1
log < 0, ∀ n ≥ 2,
2
n
per cui la serie converge o diverge negativamente. Essendo
n 1
lim a = lim log = lim log = lim (− log n) = −∞,
n 2
n n
n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞
la serie diverge negativamente. 37
√ √
n+2− n−2
(4) Sia a = . Possiamo scrivere
n n
√ √ √ √
n +2 − n − 2 n +2+ n − 2
√ √
a = · =
n n n +2+ n − 2
n +2 − n +2 4
¡√ ¢ ¡√ ¢
√ √
= > 0,
= n n +2+ n − 2 n n +2+ n − 2
e quindi la serie converge o diverge positivamente. Essendo lim a = 0 non
n
n→+∞
possiamo concludere niente sul carattere. Tuttavia, per quanto abbiamo scritto
sopra si ha 4 2
√
a ∼ = ,
n 3/2
n · 2 n n
e quindi la serie converge per il criterio del confronto asintotico essendo asintot-
ica alla serie armonica generalizzata di esponente α = 3/2.
(5) Abbiamo 1 1
−1/2
√
a = log = log n = − · log n ≤ 0, ∀ n ≥ 1,
n 2
n
per cui la serie converge o diverge negativamente. Essendo lim a = −∞, la
n
n→+∞
serie diverge negativamente.
(6) Abbiamo 1
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