Algebra lineare - Appunti

Richiami di algebra lineare

November 22, 2008

Richiamiamo alla memoria alcune nozioni di algebra lineare che ci serviranno per capire il metodo PCA.

Vettori, applicazioni lineari e basi

Uno spazio vettoriale reale è un insieme V (i cui punti si dicono vettori) dotato di due operazioni (la somma tra due vettori e il prodotto di un vettore per uno scalare c con le solite proprietà commutativa, associativa, distributiva, ...).

Le funzioni interessanti tra gli spazi vettoriali, che si chiamano applicazioni lineari, sono quelle che "si comportano bene" rispetto alle due operazioni sopra citate, cioè quelle funzioni L : V → V per le quali si ha L(v + w) = L(v) + L(w) e L(cw) = cL(w) (chiaramente esistono anche le applicazioni lineari V → W tra spazi vettoriali diversi, ma per il nostro scopo non ci interessano).

Una base di V è un insieme B = {v₁, ..., v_n} di n vettori di V (a noi interessano solo gli spazi vettoriali a dimensione finita!) che ha la seguente speciale proprietà: qualsiasi vettore w ∈ V si può scrivere, in modo unico, come combinazione lineare di v₁, ..., v_n, cioè, detto altrimenti, esistono n numeri reali w₁, ..., w_n (determinati univocamente da w, e che si dicono coordinate di w rispetto alla base B) tali che w = w₁v₁ + ... + w_nv_n.

Facciamo notare che si può dimostrare che ogni base di V ha sempre lo stesso numero n di vettori: n, che risulta quindi essere una caratteristica intrinseca dello spazio V, si dice dimensione di V.

Fissata una base di V, possiamo quindi associare ad ogni vettore una n-upla di numeri reali (le sue coordinate), e viceversa ad ogni n-upla di numeri reali (cioè ad ogni punto di ℝⁿ) corrisponde un preciso vettore di V:

w = (w₁, ..., w_n)

Allo stesso modo, fissata una base, possiamo associare ad ogni applicazione lineare L : V → V una matrice quadrata A n × n, e viceversa ad ogni matrice quadrata n × n corrisponde una precisa applicazione lineare:

A = \[ \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \]

Cambi di base

Uno spazio vettoriale V ha moltissime (infinite) basi: ad esempio, nel piano bidimensionale V = ℝ², qualsiasi coppia di vettori non paralleli costituisce una base di V! Ora, siccome l’associazione che abbiamo appena visto tra vettori e applicazioni lineari da un lato e n-uple di coordinate e matrici dall’altro dipendeva dall’aver scelto una certa base di V...