Algebra lineare - Appunti

Algebra lineare

Dato un insieme V e potendo definire:

• Addizione: sommando ad un elemento di V un altro di V si ottiene un altro elemento di V
• Moltiplicazione: moltiplicando un elemento di V con uno scalare (un numero reale) si ottiene un altro elemento di V.

(V, +, -): tale terna è detta spazio vettoriale se sono soddisfatte alcune proprietà. Gli elementi di V prenderanno allora il nome di vettori.

Proprietà dell'addizione

Le proprietà da soddisfare riguardo all'addizione sono:

• Associativa: (x+y)+z = x+(y+z)
• Commutativa: (x+y) = (y+x)
• Esistenza dell'elemento neutro: x+0 = x
• Esistenza dell'opposto: x+y = 0

Proprietà della moltiplicazione

Le proprietà da soddisfare riguardo alla moltiplicazione sono:

• Associativa: a*(b*x) = (a*b)*x
• Esistenza dell'elemento neutro: x*1 = x
• Distributiva: (a+b)*x = a*x + b*x

È importante notare che: 0*x = 0 e a*0=0.

Proprietà comune all'addizione e alla moltiplicazione

La proprietà comune all'addizione e alla moltiplicazione è:

• Distributiva: a*(x+y) = a*x + a*y

L'insieme IR può essere considerato come uno spazio vettoriale: dato a IR, posso moltiplicare/sommare a con uno scalare, ottenendo un altro numero reale, e valgono tutte le proprietà sopra elencate. Ogni numero reale può essere visto come un vettore che appartiene allo spazio vettoriale dei numeri reali.

Coordinate e punti nel piano

La coppia ordinata (x₁, y₁) individua il punto P, ma ogni punto è caratterizzato da due coordinate. Ogni punto del piano può essere visto come un vettore, caratterizzato da due coordinate.

P₁ = (x₁, y₁)

P₂ = (x₂, y₂)

Addizione: (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂)

Moltiplicazione: a*(x, y) = (ax, ay)

Dimostrazione delle proprietà nello spazio vettoriale

Perché sia uno spazio vettoriale dimostro che valgono le proprietà:

• Esistenza dell'elemento neutro: (x, y) + (0, 0) = (x, y)
• Esistenza dell'opposto: (x, y) + (-x, -y) = (0, 0)
• Vale la commutativa: (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₂, y₂) + (x₁, y₁)

IR è uno spazio vettoriale, i cui vettori sono le coppie di scalari. Anche lo spazio tridimensionale è uno spazio vettoriale, i cui vettori sono triplette ordinate. Un generico punto P è dato da una tripletta di coordinate (x, y, z).

Somma: (x₁, y₁, z₁) + (x₂, y₂, z₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂)

Moltiplicazione: a*(x, y, z) = (ax, ay, az)

Le proprietà sono dimostrabili come per lo spazio bidimensionale.

IR = IR è, quindi, uno spazio vettoriale. Saranno spazi vettoriali anche IR, IR, IR, ... con punti P composti da (x₁, x₂, x₃, x₄, ..., x_n), cioè insiemi composti da ennuple.

Matrici e spazio vettoriale

Un elemento sarà caratterizzato da a_ij con i = indice di riga e j = indice di colonna.

Esempio:

Una tabella di questo tipo è una matrice m×n. Le matrici si indicano con lettere maiuscole. L'insieme delle matrici m×n è uno spazio vettoriale, poiché ogni matrice può essere pensata come un vettore.

Addizione e moltiplicazione di matrici

Addizione: somma di matrici con uno stesso numero di righe e colonne.

+

Date due matrici A e B, A+B darà luogo a una matrice C, il cui generico elemento sarà c_ij = a_ij + b_ij.

Moltiplicazione: moltiplicare uno scalare per una matrice qualsiasi.

3 *

Dimostrazione delle proprietà per le matrici

Per dimostrare che una matrice è uno spazio vettoriale bisogna a questo punto dimostrare le proprietà.

1. Esistenza dell'elemento neutro.

2. Esistenza dell'opposto.

a_mn - a_mn...

È uno spazio vettoriale perché valgono tutte le proprietà.

Polinomi e spazio vettoriale

Si considerino ora tutti i polinomi di grado minore o uguale a 2, cioè del tipo:

ax² + bx + c

Addizione: (a₁x² + b₁x + c₁) + (a₂x² + b₂x + c₂) = (a₁ + a₂)x² + (b₁ + b₂)x + c₁ + c₂
(è un altro polinomio di 2° grado)

Moltiplicazione: d*(ax² + bx + c) = (da)x² + (db)x + dc
(è un altro polinomio di 2° grado)

Le proprietà valgono tutte, quindi i polinomi di grado minore o uguale a 2 sono dei vettori dello spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2.

Invece i polinomi di grado uguale a 2 non sono uno spazio vettoriale, perché potrebbe non esistere l'elemento neutro e perché si potrebbe ottenere in seguito ad addizione un polinomio di grado minore.

Generalizzando il discorso, tutti i polinomi di grado minore o uguale a m costituiscono uno spazio vettoriale.

Sottospazio vettoriale

Dato S ⊆ V (S sottoinsieme proprio di V), S ⊆ V è un sottospazio vettoriale se e solo se S è spazio vettoriale.

Dato S ⊆ V, S è spazio vettoriale se e solo se sono verificate queste tre condizioni indispensabili:

• S ≠ ∅
• x, y ∈ S implica x+y ∈ S
• Se x ∈ S e a ∈ IR allora a*x ∈ S

Se l'insieme S non è vuoto e se è chiuso rispetto all'addizione e alla moltiplicazione, allora è un sottospazio vettoriale. Basta dimostrare queste tre condizioni per dimostrare che S sia un sottospazio vettoriale.

Si dimostra ora che una matrice triangolare alta (cioè quella matrice che sotto una diagonale presenta solo 0) è un sottospazio vettoriale dell'insieme delle matrici.

Esempio

Dimostriamo che valgono le tre condizioni di sottoinsieme.

1. B ≠ 0
2. Sommando due matrici triangolari alte ottengo un'altra matrice triangolare alta.

3. Moltiplicando una matrice triangolare alta per uno scalare si ottiene un'altra matrice triangolare alta.

Si dicono sottospazi banali di V: V stesso e il sottoinsieme vettore nullo (0).

Sottospazi banali

Riguardo a IR², sono sottospazi banali il vettore nullo (0,0) e IR² stesso. Ma oltre a questi due sottospazi, IR² ne ammette un altro.

y = mx

Dati i due vettori P₁ (x₁, y₁) e P₂ (x₂, y₂).

Addizione: (x₁ + x₂, m(x₁, x₂))

Moltiplicazione: a*(x, mx) = (ax, amx)

La retta passante per l'origine degli assi è un sottospazio di IR². Invece, una retta non passante per l'origine degli assi non è un sottospazio di IR², perché non incontra il vettore nullo.

Combinazione lineare finita

Considerando n vettori x₁, x₂, x₃, x₄, ... x_n ∈ V e considerando n numeri reali, detti combinatori c₁, c₂, c₃, c₄, ... c_n ∈ IR si può affermare che:

x = c₁x₁ + c₂x₂ + c₃x₃ + ... + c_nx_n

è una combinazione lineare finita. È finita, perché di n elementi. È una combinazione perché gli elementi sono combinati tra loro attraverso le operazioni di somma e moltiplicazione. È lineare, perché ogni vettore che compare, compare linearmente (non ci sono quadrati).

La stessa scrittura può essere vista come:

∑ c_ix_i

Si ottiene attraverso una combinazione lineare finita un sottospazio vettoriale S di V, perché valgono le tre condizioni:

• S ≠ ∅ (contiene almeno il vettore nullo).
• ∑ c_ix_i + ∑ d_ix_i = ∑ (c_i + d_i)x_i
• (c₁x₁ + c₂x₂ + c_nx_n)*a = ac₁x₁ + ac₂x₂ + ac_nx_n

Questo particolare sottospazio prende il nome di sottospazio generato dai vettori x₁, x₂, x₃ e si indica con la scrittura: <x₁, x₂, x₃, x_n> che è l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari finite di n vettori.

x₁, x₂, x_n sono i generatori del sottospazio generato S: infatti, le loro possibili combinazioni danno S. Ogni elemento di S è, quindi, esprimibile come una particolare combinazione finita.

Esempio

S = <x₁, x₂, x_n>

x₁ = (1, 0) ∈ IR²
x₂ = (0, 1) ∈ IR²

Il punto V(x, y) può essere espresso come combinazione di x₁ e x₂.

V = x*(1, 0) + y*(0, 1) (x e y saranno i combinatori)
V = (x, 0) + (0, y) = (x, y)

Esempio V(3, 7)
V = 3*(1, 0) + 7*(0, 1)
V = (3, 0) + (0, 7) = (3, 7)

IR² = <(1, 0), (0, 1)>, perché ogni punto del piano può essere espresso come combinazione di questi vettori.
IR³ = <(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)>, perché ogni punto nelle tre dimensioni può essere espresso come combinazione di questi vettori.

Si definisce a questo punto lo spazio finitamente generato come spazio creato da un numero finito di vettori generatori.

Dipendenza e indipendenza lineare di vettori

Dati dei vettori: x₁, x₂, x₃, x_n

Dati dei numeri reali: c₁, c₂, c₃, c_n

I vettori x₁, x₂, x₃, x_n sono linearmente dipendenti se esiste una loro combinazione lineare finita con combinatori non tutti nulli tale che

c₁x₁, c₂x₂, c₃x₃, c_nx_n = 0

Quindi, se riesco a ottenere lo 0 come combinazione lineare usando combinatori non tutti nulli, i vettori sono linearmente dipendenti. Viceversa: se l'unico modo per ottenere il vettore nullo è quello di porre tutti i combinatori uguali a 0, allora i vettori sono linearmente indipendenti.

Esempio: Vettori linearmente indipendenti

c₁ *

L'unico modo perché l'operazione sia uguale a 0 è che tutti i combinatori siano uguali a 0. Di conseguenza i vettori sono linearmente indipendenti.

Esempio: Vettori linearmente dipendenti

c₁ *

c₁ + 2c₂ = 0
2c₁ + 4c₂ = 0
3c₁ + 6c₂ = 0

Se c₁ = 1 ⇒ c₂ = -1/2
I vettori sono linearmente dipendenti perché la loro combinazione è uguale a 0 per c ≠ 0.

Base di uno spazio vettoriale finitamente generato

Una base di uno spazio vettoriale V è un insieme di vettori x₁, x₂, x_n tali che:

• V è lo spazio generato da x₁, x₂, x_n (cioè i vettori sono generatori di V).
• x₁, x₂, x_n sono linearmente indipendenti.

È importante l'“Una” perché di basi ce ne sono infinite.