Algebra lineare - concetti generali

Versione 1-12-2005

Lezioni di Algebra Lineare. III Parte

Il determinante

Il determinante det A di una matrice A, reale e quadrata, è un numero reale.

Dunque det è una funzione dall’insieme delle matrici reali quadrate in Se di-

R.

stinguiamo la misura delle matrici, allora per ogni n intero positivo otteniamo una

funzione M →

det : (R) R,

n n ×

restringendo il determinante alle matrici n n.

Il determinante fornisce un criterio utilissimo per stabilire se una matrice è in-

vertibile. Vale infatti il fatto seguente. ×

Proprietà fondamentale. Sia A una matrice n n. A ha rango n se e solo se

6

det A = 0. 6

Quindi A è invertibile se e solo se det A = 0. Inoltre, vedremo che mediante il

determinante possiamo dare una formula per il calcolo dell’inversa di una matrice

invertibile (al momento conosciamo solo un algoritmo di calcolo).

La funzione determinante viene definita attraverso le tre proprietà che stiamo

per descrivere. Dobbiamo prima precisare il contesto. Fissiamo n, intero positivo,

e limitiamoci a considerare det . Per semplificare la notazione omettiamo l’indice

n

n e scriviamo solo det . Possiamo vedere det A come una funzione delle righe della

matrice A. Questo vuol dire vedere det A come una funzione di n variabili, ciascuna

n

in , visto come insieme di vettori riga:

R det A = det (A , . . . , A )

1 n

(dove A , . . . , A sono le righe di A). Tutto quello che diciamo vale ugualmente

1 n

se sostituiamo ovunque “righe” (o riga) con “colonne” (o colonna), perché vale il

fatto seguente, di cui non daremo una dimostrazione.

1

2 t

Proposizione 1. Per ogni matrice A, det A = det A.

Proprietà che definiscono il determinante.

(1) det è una funzione multilineare delle righe di A;

(2) det è una funzione alternante delle righe di A;

×

(3) det I = 1 (dove I è la matrice identità n n).

n n

Spieghiamo il significato delle prime due proprietà.

(1) Per ogni i compreso tra 1 e n, se fissiamo le righe diverse dalla i-esima e facciamo

n

variare solo la riga A , otteniamo una funzione di in La proprietà di

R R.

i

multilinearità vuol dire che ognuna di queste funzioni è lineare, cioè:

0 00 0

det (A , . . . , A + A , . . . , A ) = det (A , . . . , A , . . . , A )

1 n 1 n

i i i

00

+ det (A , . . . , A , . . . , A )

1 n

i

0 00 n

e A in

per ogni A e

R

i i , . . . , λA , . . . , A ) = λdet (A , . . . , A , . . . , A ),

det (A 1 i n 1 i n

n ∈

per ogni A in e λ

R R.

i

(2) La proprietà di alternanza vuol dire questo: se due righe della matrice A sono

uguali, allora il determinante di A è nullo, cioè

≤ 6 ≤

se esistono i, j tali che 1 i = j n e A = A , allora det (A , . . . , A ) = 0.

i j 1 n

|A|.

Notazione. Indicheremo talvolta det A con Se A è data esplicitamente come

|a |,

tabella (a ), scriveremo semplicemente omettendo le parentesi tonde.

ij ij

Esempi.  

1 2 3

1. Consideriamo la matrice 4 5 6 . La sua prima riga è uguale a 1(1 0 0) +

 

7 8 9

2(0 1 0) + 3(0 0 1), quindi utilizzando la linearità rispetto alla prima riga abbiamo

che 1 2 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1

4 5 6 =1 4 5 6 +2 4 5 6 +3 4 5 6 .

7 8 9 7 8 9 7 8 9 7 8 9 3

     

1 1 2 2 2 4

1 1 2

2. Sia A = 0 2 0 , B = 0 2 0 , C = 0 4 0 .

     

1 0 1 3 0 3 2 0 2

A e B hanno le prime due righe uguali, mentre la terza riga di B è uguale a 3

per la terza riga di A, quindi det B = 3det A.

Si ha inoltre C = 2A, ovvero ogni riga di C è uguale alla anologa riga di A

mltiplicata per 2. Dalla proprietà di omogeneità, applicata a ciascuna riga, si

ottiene quindi 3

detC = 2 det A.

 

1 1 2

3. Sia A = 1 2 1 . Allora per la proprietà di alternanza det A = 0.

 

1 1 2

Le tre proprietà scritte sopra definiscono il determinante nel senso chiarito dal

seguente Teorema. M

Teorema. Esiste un’unica funzione da (R) in che soddisfa le proprietà (1)

R

n

(2) e (3) scritte sopra.

Questa unica funzione è il determinante. Anche di questo teorema non daremo

una dimostrazione completa.

Conseguenze delle proprietà (1), (2) e (3). Elenchiamo alcune proprietà che

sono conseguenze dirette delle proprietà (1), (2) e (3).

0

≤ 6 ≤ ∈ ×

(4) Sia 1 i = j n, λ e sia A la matrice n n ottenuta dalla matrice

R,

A sostituendo la riga A con A + λA . Allora

i i j

0

det A = det A.

Dimostriamo come questa proprietà segua da (1) e (2). Possiamo supporre