Algebra e geometria - strutture algebriche e sottogruppi

In genere si usa (G,*) però

se il gruppo è commutativo

si usa (G,+)

Def. sia (G,*) un gruppo

H

e ⊆G

H è SOTTOGRUPPO di G se:

x , y => x∗ y∈H

se ∈H

– (chiusura) −1

se x => H H

– ∈H ∈

1∈H

– ( ,+ )

Esempio ℤ

2 è un sottogruppo ?

ℤ⊆ℤ o∈2

Elemento neutro ℤ

– simmetrico

– 2h , 2k∈2

se ℤ

2h + 2k = 2 (h + k) ∈2 ℤ

2 un sottogruppo

SI ℤè

2 1insieme dei numeri dispari

Es. ℤ+ ,+) ?

è un sottogruppo di ( ℤ

2

NO perchè O ∈ ℤ+1

inoltre la somma di due numeri dispari non è dispari

3 è sottogruppo ?

Esercizio ℤ

{ z | }è sottogruppo ?

∈ ℤ| ℤ|≤10

( 4,+)

Esempio ℤ

4={ [0]4,[1]4,[2]4,[3]4}

ℤ

[2]4 + [3]4 = [5]4 = [1]4

[1]4 + [-1] = [0]4

[-1]4 = [3]4 -1 = 4*(-1) + 3

[-2]4 = [2]4 4 è un sottogruppo

{[0]4, [2]4} ⊆ℤ

{[0]4,[1]4,[3]4} è un sottogruppo?

H

[1]4 + [1]4 = [2]4 ∉

=> H NON è un sottogruppo

3={[0]3, }

Es. ℤ [1]3,[2]3

3,∗) è un gruppo

( ℤ 0 1 2

•

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 1

“

{[1]3, [2]3}

{[1]3} è un sottogruppo

3, {o} ,∗)

di { ℤ

{[2]3} non è un sottogruppo

3, {o} ,∗)

di ( ℤ

In genere H sottogruppo di G H ≤G

– G≤G per ogni gruppo (G,*)

– {1G <= G (l'elemento neutro è sempre un sottogruppo)

– H3 , H2≤G∈genere

se

– H1∪H2 !⊆G

Es. R )

{ (a b) | a,b,c,d } GL2(

∈ ℝ

(c d) ad – bc ∉0

(m,*) * operazione righe per colonne

(1 2) * (3 0) = (3 +2 1=0+2)

(0 1) (1 1) = (1 1)

= (5 2)

(1 1)

(M,*) è un gruppo

Elemento neutro

(1 0) Matrice Identica

(0 1)

Infatti

(a b) * (1 0) = ( a b)

(c d) * (0 1) (c d)

(1 0) * (a b) = (a b)

(0 1) * (c d) = (c d)

Nota: il prodotto righe x colonna

non è commutativa

ogni matrice (a b) con

(c d)

!=0

ad – bc è invertibile

d b )

(a b)^-1 = ( −

dar(A) dat(A)

d b )

(c d) ( −

dar(A) dat(A)

Es.

A = (2 1) datA = 2

(0 1)

A^-1 = ( 1/2 -1/2)

( -0/2 1 )

(2 1) * (½ - ½ ) = (1 -1+1) = (1 0)

(0 1) (0 1) = (0 1) = (0 1)

Quindi ogni matrice di M

è invertibile

=> (M,*) è un gruppo

a∈ R }

H = { ( 1 a) | ⊆M

è un sottogruppo

sia (1 a) (1 b) ∈H

(0 1), (0 1) H

(1 a) * (1 b) = (1 b+a) ∈

(0 1) (0 1) (0 1)

(1 0) ∈H

(0 1) H

(1 x)^-1 = (1/1 -x) = (1 -x) ∈

(0 1) (-0 1/1) = (0 1)

=> H <= M

Teorema (caratterizzazione dei sottogruppi)

H

sia (G,*) un gruppo a ⊆G

allora

H <= G Se e solo se per ogni

x , y ∈H

−1

x , y ∈H

Dim. Due parti

1 => supponiamo H <= G