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Fattorizzazione

Le regole della fattorizzazione

E io lo dico a Skuola.net

La fattorizzazione dei polinomi

Somma o differenza di potenze di esponenti uguali:

  • Differenza:
    • Esponente dispari


Es.:
Guardando gli esponenti, ci si rende conto che x6 y3 è un cubo (sia 6 che 3 sono divisibili per 3), quindi:

Adesso questo è uguale alla differenza delle due basi (3x2 y e 43), si prende la prima base e la si eleva alla seconda, poi si somma il prodotto, poi si somma il quadrato della prima base:

    • Esponente pari

Vale la stessa cosa. Inoltre però si può dividere per la somma delle basi:

ma si può anche scrivere:

(Segni alternati)

  • Somma:
    • Esponente dispari:

È divisibile per la somma delle basi:

N.B.: se possibile, è meglio non partire da una potenza alta, ma dalla più bassa possibile

Es.: 4096x12y24 Non si fa la differenza di due potenze di grado 12, ma si parte da due:

* Qui la più bassa comune era
2, ma mentre la somma di due
quadrati non è fattorizzabile, la
somma di due cubi sì

Raccoglimento a fattor comune

Se c’è una parte in comune in tutti i monomi di un polinomio, si possono tirare fuori:
AB + AC + AD + A = A(AB/A+AC/A+AD/A+A/A) =
= A(B + C + D + 1)

Un caso particolare è il raccoglimento a fattor parziale: in quattro monomi ritornano sempre gli stessi pezzi:
AC + AD + BC + BD
Es.: 4x3 y + 4a2 x3 – 2c3 y – 2a2 c3 =
Raccogliamo a fattor comune secondo 4x3 da una parte e secondo –2c3 dall’altra

adesso raccogliamo secondo y + a3:

Fattorizzazione dei trinomi

Ci possono essere due tipi di trinomi che possiamo fattorizzare facilmente:

  • Quadrato di un binomio
    Quindi dobbiamo avere due quadrati concordi e un doppio prodotto di qualunque segno:
    4a2 – 6ax + 9x2 il primo e l’ultimo sono due quadrati, quello di mezzo è il doppio prodotto: (2a + 3x)2
    –4a2 – 6ax – 9ax2 togliamo i meno: –(4a2 + 6ax + 9ax2) e procediamo –(2a + 3x)2
  • Somma e prodotto
    In un qualunque trinomio x2 + ®x + @ (dove ® ed @ sono dei numeri) possiamo effettuare una fattorizzazione se troviamo due numeri la cui somma sia ® e il cui prodotto sia @
    Es.: x2 – 6x + 8 = x2 + [(–4) + (–2)]x + [(–4)(–2)] =
    I due numeri sono i termini noti dei binomi lineari risultanti:
    = (x – 4)(x – 2)

Quadrato di un trinomio

È un polinomio della forma A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC. Bisogna individuare i quadrati e i doppi prodotti. I quadrati sono sempre positivi.
Es.: 9x2 + 25y4 + x6 – 30xy2 – 6x4 + 10x3 y2 = (–3x + 5y2 + x3)2

Potenze di un binomio

An + ©An–1 B + ©An–2 B2 + ... + ©A Bn–1 + Bn = (A + B)n
Bisogna trovare prima le potenze pure (An e Bn), risalire al binomio originale e controllare che i prodotti siano quelli giusti (i coefficienti © sono dati dal triangolo di Tartaglia).

Es.: x8 – 12x6 y + 54x4 y2 – 108x2 y3 + 81y4 =
Essendo il polinomio formato da cinque monomi, può essere una potenza quarta di binomio. Si risale alle potenze pure, cioè quarte potenze di un monomio: x8 = (x2)4 e 81y4 = (3y)4. Poi si controllano i vari prodotti. Dato che i conti tornano, si può fattorizzare come la differenza (perché i segni sono alternati, altrimenti la somma) di x8 e 3y4 alla quarta potenza.
= (x2 – 3y)4

In altri casi

Se non possiamo applicare nessuno di questi casi procediamo con il teorema del resto: si prova con i numeri relativi divisori del termine noto del polinomio:
x3 + 3x2 – 6x – 8
P(1) = 13 + 3·12 – 6·1 – 8 = 1 + 3 – 6 – 8 = –10
Non va bene
P(–1) = (–1)3 + 3·(–1)2 – 6·(–1) – 8 = –1 + 3 + 6 –8 = 0 Va bene

Quindi x3 + 3x2 – 6x – 8 = (x + 1 *)(x2 + 2x – 8)

* Ricordati di cambiare il segno

E si continua.

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