Vettori e matrici

Vettori e Scalari

Grandezze Scalari:

Valore numerico

• es: lunghezza di un segmento
• temperatura di una stanza

Grandezze Vettoriali:

• Valore numerico, direzione e verso
• es: velocità e forza

Vettori:

Sono una grandezza fisica, per definirla completamente è necessario fornire un modulo o intensità (entità), una direzione ed un verso.

• Modulo
• Direzione
• Verso

- Al segmento AB si può associare un numero reale non negativo, la misura rappresenta il modulo o l'intensità del vettore.

- Un segmento orientato di estremi A e B nel quale si ha assegnato un ordine e quindi si distingue il punto iniziale e finale, cioè espresso da una freccia.

Vettori Paralleli e Perpendicolari

I segmenti orientati si dicono paralleli (‖) se esiste una linea retta r alla quale entrambi risultano paralleli.

Vettori Equipollenti

Un segmento orientato può essere posto in corrispondenza con un altro segmento orientato per mezzo di:

• Lunghezza
• Collinearità → giacenti sulla stessa retta
• Verso

L'insieme dei segmenti orientati del piano è definibile attraverso la relazione: AB‖CD ^⟺ AB = CD

NUOVA DEFINIZIONE DI VETTORE

• Un vettore nel piano o nello spazio è definito come l'insieme di tutti i segmenti orientati equipollenti = stessa direzione, verso e lunghezza

OPERAZIONI CON I VETTORI: metodo grafico

La SOMMA di due vettori a e b è c = a+b, la cui direzione e verso si ottengono così:

Unisco l'origine di a con l'estremo di b, ottengo la somma c = a+b

• SOMMA VETTORIALE = mettere i vettori uno dietro l'altro metodo punto-coda

PROPRIETÀ DELLA SOMMA

• Proprietà commutativa: a+b = b+a
• Proprietà associativa: (a+b)+c = a+(b+c)
• Elemento neutro: a+0 = a

Da qua discende la regola del parallelogramma

REGOLA DELLA POLIGONALE

DIFFERENZA TRA DUE VETTORI

La differenza a-b è la somma del vettore a con l'opposto del vettore b, ossia a-b = a+(-b)

Sia quindi che:

a x b = î (a_yb_z - a_zb_y) + ĵ (a_zb_x - a_xb_z) + k̂ (a_xb_y - a_yb_x)

a x b =

• î ĵ k̂
• a_x a_y a_z
• b_x b_y b_z

APPLICAZIONE

L'area = Base (B) per l'altezza (Asenθ):

Area = BAsenθ

MINORE COMPLEMENTARE

di un elemento di una matrice di ordine n è il determinante che si ottiene sopprimendo dalla matrice data la riga e la colonna alle quali l’elemento appartiene.

Il minore complementare di una matrice di ordine n risulta quindi di ordine n - 1.

COMPLEMENTO ALGEBRICO

di un elemento a_ik di una matrice A di ordine n è il minore complementare di a_ik preceduto dal segno ±0, a seconda che (i + k) sia pari o dispari.

Esempio:

se A =

| 1 2 -3 || 5 0 1 || 3 -1 2 |

• il complemento algebrico di a₁₁ risulta A₁₁ = +0 | 0 1 || -1 2 |
• il complemento algebrico di a₂₁ risulta A₂₁ = -1 | 2 -3 || -1 2 |

DETERMINANTE DEL 3^o ORDINE

Esso è la somma dei prodotti degli elementi di una riga o di una colonna qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici. Il valore numerico ottenuto è indipendente da riga e colonna scelta.

Esempio:

A =

| 2 -1 3 || -2 4 0 || 3 -1 4 |

il determinante risulta, sviluppando la 3^a colonna:

det A = +3 | 0 -2 | +1 | -2 1 | +4 | 2 -1 || -1 4 | | 3 4 | | 3 -1 |

= 3(0-3) - 2(2 + 3) + 1(2 - 0) = -3

2^a colonna:

det A = -2 | 4 1 | -0 | -1 3 | +3 | -1 3 || -1 2 | | 3 4 | | 2 4 |

= 2(1 + 2) + 3(-2 - 3) = -3

REGOLA DI SARRUS

Valida solo per le matrici quadrate di ordine 3^o: a destra della matrice si iscrivono la prima e la seconda colonna; calcolo il prodotto delle diagonali principali e quello degli elementi delle due diagonali parallele; la somma si fa con la diagonale secondaria e le sue parallele ma prendendo i prodotti con il segno cambiato: la somma algebrica dei 6 prodotti fornisce il determinante.

Metodo di Calcolo

Risoluzione tramite l'uso delle matrici:

Tramite matrice inversa, possibile se il numero delle equazioni = numero delle incognite

A · X = B

La matrice dei coefficienti è quadrata

X = A^-1 · B

A · X = B, A(A^-1 B) = B

(A · A^-1) B = B → B = B, quindi il sistema è possibile

Esempio:

X + 2Y = 11

-X + 3Y + Z = 0

X + Y + 2Z = -11

A = | 1 2 0 |

   | -1 3 1 |

   | 1 1 2 |

A^-1 = 1/det A

  | 5 -2 -2 |

  | 3 2 -1 |

  | 2 1 1 |

X = A^-1 · B

X | 3 |

Y | 4 |

Z | 9 |

5 · 11 + -4 + 0 + 2 · (-11) = 3

3 · 11 + 2 + 0 + (-11) = 4

7 · 11 + 4 + 0 + 5(-11) = 9

Regola di Cramer

Altro metodo per risolvere un sistema lineare:

1. Si scrive la matrice A con le incognite del sistema e si calcola il determinante.
2. Si scrive per il calcolo di X una matrice in cui vengono inseriti i coefficienti delle altre incognite, meno quelle di X, al posto dei quali si inseriscono i termini noti. Per tutte le incognite.
3. Calcolo i determinanti di ogni incognita e li divido per il primo determinante per trovare le incognite.