Formulario Meccanica delle macchine

Formulario macchine

Cinematica

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗̅̅̅̅⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ∗ ⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Cioè ricaviamo che la cinematica generica di un punto nel piano:

La velocità di un punto è uguale ad una velocità traslatoria ed una velocità angolare rispetto all’origine del Sistema di Riferimento.

L’accelerazione di un punto è uguale alla somma di un’accelerazione traslatoria e delle componenti di un’accelerazione generica (normale e tangenziale) che costituiscono un’accelerazione angolare rispetto al punto O.

Per il calcolo della Cinematica possiamo usare il metodo del Centro di istantanea rotazione:

Definiamo il Centro di istantanea Rotazione come il punto del piano rispetto al quale ogni punto del corpo in moto è sottoposto unicamente ad una velocità angolare ω.

Rispetto a questa situazione troviamo quindi il sistema:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗̅̅̅̅̅̅⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∗ ... ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗̅̅̅̅̅̅⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∗ {

Moto relativo

Un altro concetto fondamentale per lo studio della Cinematica delle macchine è il concetto di Moto Relativo, che richiama le definizioni:

Moto relativo: Moto rispetto ad un sistema di riferimento non-fisso Axy

Moto assoluto: Moto rispetto ad un sistema di riferimento fisso OXY

Moto di Trascinamento: Moto del sistema Axy rispetto ad OXY

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = +

Per cui definiamo le equazioni che descrivono i:

{ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = + + = + + 2 ∗ ⃗ ^ moti di un punto P all’interno di un sistema sottoposto a moto relativo.

Condizioni di Puro rotolamento: ̈̈ =

Meccanismi articolati

I Meccanismi sono Catene Cinematiche dotate di un corpo rigido fisso chiamato Telaio.

Sono costruite attraverso diversi vincoli, che devono però lasciare sempre un grado di libertà secondo l’Equazione di Grüber: dove m è il numero di corpi nel = 3( − 1) − 2 − 1 2 meccanismo, e i coefficienti sono rispettivamente il numero di vincoli che impediscono 2 g.d.l e che ne impediscono solamente 1.

Vincoli

• Incastro: Vincola 3 g.d.l
• Cerniera: Vincola 2 g.d.l. (consente la rotazione)
• Slitta: Vincola 2 g.d.l. (consente la traslazione lungo una direzione)
• Carrello: Vincola 1 g.d.l. (consente la traslazione lungo una direzione e la rotazione)

Statica

Le Forze sono azioni di un corpo su di un altro corpo, dotate di 4 caratteristiche:

• Modulo
• Direzione
• Verso
• Punto di applicazione

Le forze applicate sullo stesso punto sono suscettibili al Principio di sovrapposizione:

“Ogni vettore risultante giacente su una direzione ha come modulo la somma algebrica dei moduli dei vettori applicati lungo quella direzione”

I Momenti sono le azioni che generano le rotazioni dei corpi rigidi, definiti attraverso modulo e direzione delle rotazioni che causano. Possono essere generate da una forza applicata ad un corpo rigido o da una coppia di forze, cioè da due forze uguali in modulo con direzioni parallele e versi opposti.

Una forza può essere trasportata fuori dalla sua direzione, sfruttando il Momento di trasporto: dove d è la distanza per cui trasportiamo la Forza.

⃗⃗ = ∗

Grazie a queste nozioni procediamo a calcolare le equazioni di equilibrio dei sistemi che andremo a studiare.

Consideriamo gli Accoppiamenti tra Corpi Rigidi, configurazioni che consentono solamente determinate tipologie di moti relativi tra componenti del sistema:

• Coppia Prismatica: Consente un moto relativo in direzione orizzontale.
• Coppia Rotoidale (Cerniera): Consente la rotazione attorno all’asse della cerniera.
• Vite-Madrevite: Consente la traslazione attraverso l’accoppiamento e la rotazione attorno all’asse del foro. In questa situazione si rimane ad un unico grado di libertà, perché la rotazione dipende dalla traslazione e viceversa, secondo il sistema: = = 2 = 2 = {

Tre regole grafiche

Per calcolare l’equilibrio dei corpi e sistemi di corpi rigidi, analizzando le forze e i momenti in azione sul sistema, utilizziamo tre regole grafiche:

I regola

Analizziamo un corpo rigido su cui vengono applicate due forze risultanti, che devono essere:

• Uguali in modulo
• Stessa retta di azione
• Verso opposto

Perché siano rispettate le equazioni di equilibrio.

II regola

Analizziamo un corpo rigido su cui viene applicato un momento e due Forze. Stabiliamo allora che queste due forze debbano essere applicate formando una coppia tale che il momento applicato sul corpo sia nullo. Quindi essendo una coppia devono essere applicate su direzioni parallele, con modulo uguale e verso opposto tale che: = ∗ ⫽ −{ =| | | |

III regola

Analizziamo un corpo rigido su cui vengono applicate tre forze, su punti e direzioni generiche. Conoscendo una forza completamente, la direzione di un’altra ed il punto di applicazione della terza possiamo allora ricavarle tutte e tre, in maniera tale da calcolare lo stato di equilibrio del sistema. Seguendo l’algoritmo:

1. Troviamo il “Punto di Stella” del corpo, come l’intersezione delle due direzioni note delle forze applicate.
2. Da questo tracciamo la direzione della terza forza.
3. Tracciamo allora il triangolo delle forze conoscendo le direzioni ed il modulo di una delle forze. Da questo conosciamo poi i versi delle forze, dovendo formare un triangolo orientato chiuso perché ci sia l’equilibrio.
4. Identifichiamo il modulo delle forze attraverso il teorema dei seni. (geometria nota)

Equazioni cardinali della dinamica

1. Principio d’inerzia

Un sistema sottoposto a nessuna Forza rimarrà in stato di quiete, con accelerazione nulla.

2. Principio della conservazione

Un sistema sottoposto ad una forza acquisirà un’accelerazione secondo la relazione: dove m rappresenta l’inerzia del sistema.

∑ =

3. Principio di azione e reazione

Un sistema sottoposto ad una forza da parte di un corpo, genera sul corpo stesso una Forza uguale in modulo e direzione ma opposta in verso.

Applicando il secondo principio su di un sistema in moto rotatorio accelerato abbiamo:

⃗⃗∑ = ∑ =

Possiamo quindi definire in completezza le Azioni di inerzia:

{ ⃗⃗∑ =

Attriti

Una delle categorie più comuni delle forze sono gli Attriti, divisi in:

• Attrito statico (Aderenza)
• Attrito dinamico (Strisciamento)
• Attrito volvente

A seconda delle condizioni in cui si verificano e delle cause che le generano.

Tutti gli attriti sono Forze reattive e intervengono solo in alcune condizioni.

Le prime due condizioni si verificano in base alle forze Normali applicate sul corpo, mentre la terza si applica quando delle ruote scorrono su dei piani.

Le condizioni di attrito statico e dinamico sono matematicamente identiche, ma nel primo caso si ha una situazione di quiete nel sistema, con nessun corpo in moto, mentre nel secondo si verifica del movimento.

: ≤ { : =

Possiamo osservare il fenomeno da una prospettiva geometrica immaginando la costruzione di un