I
D VER A
E
x y
e
y tutti ta
reali t.ie
qualiesiste
IMMAGINE i un
che che x
reale
y
inumeri x
contiene numero
insieme y
per
ID
Axe
IR
Im A
FIDI x E
e y
e
è
Una
funzione ad
che del l'elemento
d ominio
x
associa
unaregola y
ogni
F D La f è
IR r
D
fix rexlex
te
funzione x nota identita
funzione
g come
y
Quando il di
funzione introdotta
una viene più
si dominio
una suo sottoinsieme numeri
considera
regola come grande
specificando
la
c he definita
reali data
attraverso
ammettono
un'immagine regola
OPERAZIONI CON LE FUNZIONI R
R
ID C tali
f flat c f
the
date e di
due
Funzione e
funzioni funzione
si
dice e
g
imposta g
composta
la
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si indica got
con R è
D fin
of Non che
x in
i vero fog
g g
g generale
è a got
uguale
A a
l'insieme
diIR
data di voi
Funzione invertibile
variabilereale se
reale si
inversa un
una
funzione dice
sottoinsieme questo A
il
è In
A A
E funzione funzione
x dice
si
caso
una sottoinsieme
y
y questo
di
inversa a f
f f
IR
flat f
f
f identità
s
y funzioni
e
o sono
y o
f 1kt
La IR
è e
IR f IRT X
la
invertibili
funzione e funzione
te x
x e inversa
iniettivo D IR
f
Funzioni Ad
funzione se
dice
una iniettiva ed
si si sola
una g
associa una
ogni
fin
D è
fin
K Va Per
K iniettiva
si
funzione
se
e controllaregraficamente una posson
rette
d elle
tracciare orizzontali
Dimostrazione flat
D R f
tali b
b
II
X E
1 che
due i
a
punti
prendo fill
flat è
una inietti
Gif invertibile
s funzione e
gf otica
Catullo n
a
aka d bta
tb
y dn
ggyapue.ie
26 2
a
PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI
Per le funzioni reali di variabile reale, poicheˋ sono de nite in sottoinsiemi di numeri reali, eˋ possibile non solo riconoscere se due elementi sono diversi, ma anche il loro
.
ordinamento: scelti x e y si sa riconoscere se x ≤ y o x ≥ y IR
f id
m onotone funzione dire
Funzioni una si FIA
fix
Xi E
s
se sflx.la fin
strettamente
istante se xncxa
crescente 1
Il
i
X 1
1 fin
fin
X
x
decrescente se flat fin
strettamente _s
x
se ex
decrescente è
Una invertibile
monotona
funzione strettamente
R
f I I
Funzioni funzione dellaretta
reale sidice
una
lontane intervallo concava
V7
LEI
fa 17
CO
se e E IA I
flat
F da FIG
In
b I
fa
fa I e
6 1
Funzioni o
E e
convesse FIA FIG
Fla
11 7 A
E
716 A
at
Massimi minimi
e IR
f è
Il
ID variabile
di ella
funzione
Sia reale
reale
una punto
di assoluto se
max o
punto globale
FIX FXED
fix
e
di se
min assoluto
o
punto globale
FIX fin Held
e K
di k x.tk
I so
x
un
intervallo
locale esiste
a relativo se
mar con
o
punto fix K
FIN
tale ID
che In
E I K
k
di X.tk
t
intervallo
esiste
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se
locale
min con
o
punto FIX In
FIX tre
tale ID
e
che il
di
di è
max locale
e mentre
min non
anche max min contrario
vero
Ogni
p unto globale sempre
Sia R
f E
dellaretta louie
di
ed
I
I reale funzione
intervallo convessa
coniava massimo
una minimo
punto
ogni
è di
un
anche massimo minimo
punto globale in fini
maxlocali
di
Dimostrazione assurdo sia ma
un non
globali per
punto
per suppongo
fini fin
ICI k
Esiste x tt
un intervallo flats
fin
I
Poithi X e
un
esiste
di max
none punto
globale
il J
Se E è
f
7 chi si
a
1 ottiene
x
considero concava
poi
punto FINI
FAX AIFINI
XIX FINI
27FIN aFix 1
a
1 A Assurdo
Funzionilimitate In inf
limitatosup
limitata e
insieme
limitata In limitato
superiormente
superiormente In limitato
limitato inferiormente inferiormente
SISTEMI LINEARI
4
CAP inntins.i
isionetraomr.ae
axtby c s.is
rette o
incidenti
c
I
f
arte o 10s
rette
per.net
di lineari
Generino sistema man
equazioni
anxn.ba
tanta
aux t taanxn.ba
aznxntaa.at t
t ama
OPERAZIONI CON I VETTORI
5
CAP IR
R del
è
una elementi
e
xml tu Ken gli prodottocartesiano
xk e n costituisce
x v2
rupia XIR
IREIRXIRX
dove
La le
trek
x vettore
si
xexe chiama sue
x
rupi gli
elementi costituiscono
e componenti
I
e
oppure
Somma
tra
vettori
Datidue Irn il
dei
x vn
vettori di vettori
e yn si definiscesomma
yo ty
incinta con vettore
xe x
xe e
y y
yn
y tatya
xntyn Xntyn
Altre della
somma
proprietà commutati
prop
x x
y y
e il nullo
A vettore
X associativa
z
y z
y prop è del
e vettore
e l'opposto
_µ
x
o x n
dell'addizione
neutro
o elemento
o elemento simmetrico
di
Prodotto vettore
un un scalar
per il
der
1k
il
Dato di
reale si
x
a xe xn
e definisce
xe delloscalare
vettore indicato
un ax
numero vettore con
prodotti per
il axe
vettoreottenuto axn
axa
axa
ponendo
Altr del
proprietà p rodotto
altri ab
x
1 x
x
0 O
x
xtyl
al
axta catbixeaxt.br
tra
Prodotto
solare vettori IR il
di
si
lyn
siano di reale
yn
xn
xexe
v e
solare
d efinisce x
y
e yo y numero
prodotto
xnyn.I.my
x y my xp R
axe
0x
del solare
Proprietà prodotto
x y y
ytzt
x.ytx. caxi.y
acx.gl lineare
e
Dipendenza indipendenza
v Irn Si il
Siano va vi
w
va dei
di v ci
r scalari
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se
n
lineare vettori ca
vettori e
vettore esistono
combinazione
tali en
w della
Corr
c Carat
che ci lineare
un a i combinazione
coefficienti
sono
IR è
di
I va linearmente
va ur
vettori siviverealmeno
se di lineare
uno essi
sono combinazione
come
dipendenti possibile
dei detti
Altrimenti
rimanenti linearmente
sono indipendenti
IR
I la
VaVa di cru c
v cava o
sonolinearmente
vettori cavar
e o
o
o con
o
indipendenti
R
I h dei
di c
v
va linearmente corte
vale
vettori cucken
uno
almeno
sono con
l'uguaglianza
dipendenti precedente da
zero
diverso
1. Ogni insieme di vettori contenente il vettore nullo 0 eˋ costituito da vettori linearmente dipendenti.
2. Due vettori sono linearmente dipendenti se e solo se uno eˋ multiplo dell’altro.
3. I vettori {e1 = (1,0,··· ,0),e2 = (0,1,0,··· ,0),··· ,en = (0,··· ,0,1)} sono linearmente indipendenti (sono detti vettori fondamentali).
4. Sottoinsiemi di insiemi di vettori linearmente indipendenti sono costituiti da vettori linearmente indipendenti.
5. Insiemi ottenuti aggiungendo vettori ad insiemi di vettori linearmente dipendenti sono costituiti da vettori linearmente dipendenti.
si fa
Per 2 va
va
1,21
1 1,3 n
un linearmente
se si
e o sono
vedere dipendenti
ftp y
a.c.t
MATRICI E OPERAZIONI TRA MATRICI
Matrice di di
tabella colonne
man n
mrighe
dimensione e
numeri nella i
l'elemento nella j
colonna
esima
ai e esimo
riga
rappresenta né
matrice non della
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quadrata
matricenulla ai is
o per
ogni tutti
matrice fuori o
elementi dalladiagonale
con a
matrice u guali
principale
q uadrata
diagonale matrice
identità sulla
matrice elementi 1
con
gli ugualia
diagonale diagonale la 0
tutti
sotto
matrice elementi
interiore a
triangolare sopra u guali
principale
superiore diagonale
le At bij
6 ha
matrice le elementi
colonne
ottenuta scambiando
trasposta con aji
righe At
A la
matrici una
matrice
simmetriche Quindi
sua
con ai a
coincide
quadrata trasposto
tra
matri
Operazioni di
Si
tra
matricid elle elementi
somma solo indice
stessedimensioni gli
sommano uguale
A Bta
B
valgonoanimo A Btc
B
A O A
A A
O
Al
A O
C tutti lo
di a
di permatric elementi
si
scolaro gli
u no a
scalare
prodotto moltiplicano per
al
6 aba
a
valgonoanche A
A
1 O
0A
LA Arab
B
a a
atti 6A
A AA
tra A la 6
di di
la B
data e
matric xp
matrici n
man sidefini
dimensione
ai matrice dimensione sia
prodotto prodott
la
A B e AB
di il
il
dellematrini mattina element
dimensioni mi
m si
e xp rappresenta
generino
del A
fra B
la
matric
la
solare i della
risultato colonna
della
j mattina
esima e esimi
prodotto riga
Matrix matite
man n
xp m
matrice xp
Aluna del prodotto
proprieta è l
In di
ordine
identità
mattino n
fa 1g
C
AB Be
A
il
e tramatri del
di
nongodedella
proprietà
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