Elaborato 1 Analisi Matematica

Risposta esercizio 7

Per applicare il teorema di Lagrange nell'intervallo (-2; 2) alla funzione f(x) = x^4 - 1, dobbiamo verificare se la funzione è continua su quell'intervallo e derivabile su quell'intervallo aperto.

1. Continuità: La funzione f(x) = x^4 - 1 è una funzione polinomiale, e tutte le funzioni polinomiali sono continue su tutto il loro dominio, quindi f(x) è continua nell'intervallo (-2;2).
2. Derivabilità: La funzione f(x) = x^4 - 1 è anche derivabile su tutto il suo dominio, poiché è una funzione polinomiale. La sua derivata è f'(x) = 4x^3.
3. Applicazione del teorema di Lagrange: Il teorema di Lagrange afferma che se una funzione è continua su un intervallo chiuso [a, b] e derivabile su quell'intervallo aperto (a, b), allora esiste almeno un punto c compreso tra a e b tale che la derivata istantanea della funzione in c sia uguale al rapporto incrementale della funzione tra a e b.

funzione è uguale a zero.

funzione è uguale a zero. In altre parole, c'è un punto di minimo o massimo locale della funzione f(x).

RISPOSTA A ESERCIZIO 8

Se una funzione è continua e derivabile in un intervallo (a, b), ma la derivata f'(x) non cambia segno nell'intervallo (a, b), allora non possiamo essere certi che esista un punto c appartenente a (a, b) tale che la derivata f'(c) sia uguale a zero.

Il teorema di Rolle afferma che se una funzione è continua su un intervallo chiuso [a, b], derivabile su quell'intervallo aperto (a, b), e f(a) = f(b), allora esiste almeno un punto c appartenente all'intervallo aperto (a, b) in cui la derivata istantanea della funzione f'(c) è uguale a zero.

In altre parole, per garantire l'esistenza di un punto c appartenente a (a, b) in cui la derivata f'(c) sia uguale a zero, è necessario che la funzione abbia gli stessi valori ai punti di inizio e fine dell'intervallo.

Quindi, se la funzione è

x è decrescente nell'intervallo (1, +∞).x è decrescente per x > 1, poiché la sua derivata è negativa in quell'intervallo. RISPOSTA DESERCIZIO 10−2 x( )=xef x Per trovare il punto di massimo della funzione f(x) = x * e^(-2x), dobbiamo determinare il valore di x in cui la derivata della funzione si annulla. Calcoliamo la derivata di f(x) rispetto a x: f'(x) = d/dx(x * e^(-2x)) = e^(-2x) - 2x * e^(-2x) = e^(-2x) * (1 - 2x) Per trovare il punto di massimo, dobbiamo trovare il valore di x per cui f'(x) = 0. Quindi, risolviamo l'equazione: e^(-2x) * (1 - 2x) = 0 Ci sono due fattori nell'equazione: e^(-2x) = 0 e (1 - 2x) = 0. Per il primo fattore, e^(-2x) = 0 non ha soluzioni reali poiché l'esponenziale non si annulla. Per il secondo fattore, risolviamo l'equazione (1 - 2x) = 0: 1 - 2x = 0 2x = 1 x = 1/2 Quindi, l'unico valore di x che soddisfa l'equazione f'(x) = 0 è x = 1/2. Per determinare se è un punto di massimo, dobbiamo analizzare il

segno della derivata f'(x) a sinistra e a destra di x = 1/2. Scegliamo un valore a sinistra di x = 1/2, ad esempio x = 0. Sostituendo nella derivata: f'(0) = e^(-20) * (1 - 20) = e^0 * 1 = 1. La derivata f'(x) è positiva per x = 0.

Scegliamo un valore a destra di x = 1/2, ad esempio x = 1. Sostituendo nella derivata: f'(1) = e^(-21) * (1 - 21) = e^(-2) * (1 - 2) = e^(-2) * (-1). La derivata f'(x) è negativa per x = 1.

Quindi, a sinistra di x = 1/2, la derivata è positiva, e a destra di x = 1/2, la derivata è negativa. Questo indica che x = 1/2 è un punto di massimo per la funzione f(x) = x * e^(-2x).

Il punto di massimo corrisponde quindi a (1/2, f(1/2)), in cui f(1/2) rappresenta il valore della funzione in x = 1/2.

RISPOSTA BESERCIZIO 11

Il polinomio di Taylor di secondo grado per la funzione ln(x) con centro nel punto x = 1 può essere calcolato utilizzando la formula generale del polinomio di Taylor:

P(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + (1/2)f''(a)(x - a)^2

a) + (f''(a)/2!)(x - a)^2

Dove f(a) rappresenta il valore della funzione nel punto di centro a, f'(a) rappresenta la derivata prima della funzione valutata nel punto di centro a, f''(a) rappresenta la derivata seconda della funzione valutata nel punto di centro a, e n! rappresenta il fattoriale di n.

Per la funzione ln(x), la derivata prima è f'(x) = 1/x e la derivata seconda è f''(x) = -1/x^2.

Sostituendo questi valori nella formula del polinomio di Taylor, con centro in x = 1, otteniamo:

P(x) = ln(1) + (1/1)(x - 1) + (-1/2)(x - 1)^2

Semplificando ulteriormente:

P(x) = 0 + (x - 1) - (1/2)(x - 1)^2 = (x - 1) - (1/2)(x^2 - 2x + 1) = x - 1 - (1/2)x^2 + x - 1/2 = -1/2x^2+ 2x - 3/2

Quindi, il polinomio di Taylor di secondo grado per la funzione ln(x) con centro in x = 1 è P(x) = -1/2x^2 + 2x - 3/2.

RISPOSTA DESERCIZIO 12 2 2(6-ln )F(x)= x x

La funzione f(x) = x^2 * (6 - ln^2(x)) è definita per valori di x che soddisfano due condizioni:

Il termine x² è definito per tutti i valori di x, poiché elevare al quadrato un numero reale restituisce sempre un valore reale. Il termine (6 - ln²(x)) richiede che il valore di x sia tale che il logaritmo naturale di x, ln(x), sia definito e l'espressione ln²(x) sia un valore reale non negativo. Il logaritmo naturale è definito solo per valori positivi di x, quindi dobbiamo assicurarci che x sia maggiore di zero. Inoltre, l'espressione ln²(x) richiede che il logaritmo di x sia definito, quindi x deve essere maggiore di zero. Quindi, la funzione f(x) = x² * (6 - ln²(x)) è definita per tutti i valori di x maggiori di zero. In sintesi, il dominio della funzione f(x) è l'insieme di tutti i numeri reali positivi, ovvero l'intervallo (0, +∞). RISPOSTA BESERCIZIO 13+∞: lim(x→0+) 2x(6-ln(x))⁶ quando x tende a 0+ è 0 * 6 = 0.3. Limite di (x^2 - 2x + 1) quando x tende a 0+: Possiamo semplificare questa espressione come (x - 1)^2. Quando x tende a 0+, il termine (x - 1)^2 si avvicina sempre di più a 1^2 = 1.4. Limite di (sin(x) / x) quando x tende a 0+: Questo limite è noto come il limite fondamentale del calcolo differenziale. Il limite di (sin(x) / x) quando x tende a 0+ è 1.5. Limite di (e^x - 1) / x quando x tende a 0+: Possiamo semplificare questa espressione come (e^x - 1) / x = (e^x / x) - (1 / x). Quando x tende a 0+, il primo termine (e^x / x) tende a +∞, mentre il secondo termine (1 / x) tende a -∞. Quindi, il limite di (e^x - 1) / x quando x tende a 0+ è indeterminato.

(6 - ln^2(x)) quando x tende a 0+ è 0* (6 - indefinito) = 0.

Quindi, il limite della funzione f(x) = x^2 * (6 - ln^2(x)) quando x tende a 0+ è 0.

RISPOSTA DESERCIZIO 142 2(6−ln )lim x xx→∞

Per calcolare il limite della funzione f(x) = x^2 * (6 - ln^2(x)) quando x tende all'infinito, possiamo analizzare i singoli termini della funzione.

1. Limite di x^2 quando x tende all'infinito: Quando x tende all'infinito, il termine x^2 diverge verso l'infinito.
2. Limite di (6 - ln^2(x)) quando x tende all'infinito: Il termine ln^2(x) diverge verso l'infinito quando x tende all'infinito. Poiché il logaritmo naturale cresce molto lentamente rispetto alle potenze di x, il termine ln^2(x) diventa insignificante rispetto al termine x^2 quando x diventa sufficientemente grande.

Quindi, il limite di (6 - ln^2(x)) quando x tende all'infinito può essere approssimato a 6, poiché il termine ln^2(x) diventa trascurabile rispetto.

x^2. Ora, moltiplichiamo il limite dei due termini: Limite di x^2 * (6 - ln^2(x)) quando x tende all'infinito è infinito * 6 = infinito. Quindi, il limite della funzione f(x) = x^2 * (6 - ln^2(x)) quando x tende all'infinito è infinito. RISPOSTA BESERCIZIO 152 2(6−ln )x x La funzione f(x) = x^2 * (6 - ln^2(x)) non ha asintoti verticali né orizzontali. Tuttavia, possiamo verificare se esistono eventuali asintoti obliqui calcolando il limite della funzione quando x tende all'infinito. Per calcolare l'asintoto obliquo, consideriamo il termine dominante della funzione quando x tende all'infinito, ovvero il termine x^2. Gli altri termini, come 6 e ln^2(x), diventano trascurabili rispetto a x^2 quando x diventa sufficientemente grande. Quindi, calcoliamo il limite della funzione.