Circuiti con memoria

ESERCITAZIONE 3A

ES 1

Data

• R: 1Ω
• C: 1F
• L: 1H

a) Calcolare la funzione di rete I_u/V_g valutandone la stabilità

b) La risposta I_u(t) per t>0 con V_g=I_g=0 sapendo che il circuito era a regime per t=0 con I_g=1 e V_g=0

Per calcolare I_u, I_g, tutte le altre eccitazioni ai giunti di V_g devono essere azzerate (I_g=0)

Trasformo il circuito nel dominio di Laplace

• CONDESATORE: 1/SC
• INDUTTORE: SL

I_u=b 1/detA

V_g [ 1/s | 4 ] [V_b| 0 ]

V_b 1/s+3

Sistemi stabile asintoticamente

Per valutarne la stabilità calcolo i poli.

• S1,2=3 ±√9-4/2=3±√5/2

Con queste condizioni il circuito diventa:

I_g

V_C(0)

| 1 -1 || a | | = | V_x |

|

-13 || b || 2V_R

2 eq, 2 incognite

=> 2 vincoli

a = I_g (1)

V_R = - R b - b (2)

| 1 -4 || I_g | | V_x |

|

-1 3 || b || 2b

| 1 1 || V_x | | I_g |

0 1 || b || I_g

I_oo = b + a

b = 1/det || 0 I_g ||

detA || I_q I_g || + I_g

= >

b = I_g

detA = 1

detA₁ = I_g

=> I_oo = I_g - I_g = 0

V_co = V_R - b = - I_g x hp dalle c.i. => V_co := -1

Per calcolare I_mult per t > t_o, sapendo che:

{

• V_g: I_g = 0 x t < t_o
• I_io = 0
• V_co: = -1

riscriviamo il circuito in Laplace e calcolo I_u(s)

| 1/s V_co

I_u = s/ (s² + 3s + 1)

V_g = s/ (s² + 3s + 1)

(A/s) 1/(s² + 3s + 1)

Effettuo l'antitrasformata utilizzando lo sviluppo in frazioni parziali:

s² + 3s + 1 = 0 = >

s_1,2 = 3 ± √5

Imult = (s_{1, 2})

L{1}

= (s - s₁)^-1 | s, 1/(s² + 3s + 1)

1

= (s - s₁)(s - s₂) |

L^-1[A B]

1

= A . lim 1

s -> s₁ (s - s₁) I_u(s) = (s - s₂)

= A . lim 1

s-> s - s₂

=>

A = 1/√5

B: lim

s -> s₂ (s - s₂) I_u(s) = (s - s₁)

1 =>

s -> s₁

I_ub = ¹/_det | 0 -V_th | I_g2 - ^I_gS/_2-0.5A J_e5 S

Calcolare I_u(1) per t>0 sapendo che I_g1=2A u_(t) e I_g2=0 nell’ipotesi in cui I_g1!=0

• Calcolo le condizioni iniziali

I₁₀=I_g2=1V_C0=-R.I_g2=-1

• Calcolo I_u(1) considerando t>0

Essendo 3 generatori completamente funzionanti, utilizzo il principio di Sovrapposizione degli effetti.

1. Funzione I_g1 -> I_L(0) = 0 e V_C(0) = 0 Dal punto b, posso usare la funzione di rete. I_u(t) = e^-t/2 u_(t)
2. Funzione i_l(0) -> I_g2 = 0 V_C0 = 0

=> I_u(0)(t) = -g^-t/2 u_(t) - 5C(t)

3. Funzione V_C0 -> I_g2 = 0 e i_L(0) = 0