Appunti degli studenti per corsi ed esami del Prof. Morigi Marta

Dal corso del Prof. M. Morigi

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Viene trattato il cambio di base nelle applicazioni lineari, con l'obiettivo di descrivere come si possa modificare la rappresentazione matriciale di un'applicazione lineare passando da una base a un'altra. Dopo una breve introduzione, gli argomenti nel dettaglio sono: - Generalizzazione delle applicazioni lineari: definizione più generale di un'applicazione lineare con basi diverse rispetto a quelle canoniche; - Dimostrazione dell'esistenza della matrice: dimostrazione che è sempre possibile costruire una matrice che rappresenti l'applicazione lineare in basi differenti; - Composizione di applicazioni lineari: spiegazione di come si compongono le applicazioni lineari in basi non canoniche, con la costruzione della matrice risultante dalla composizione; - Inversa di un'identità: relazioni tra matrici di identità e loro inverse nel contesto del cambio di base; - Calcolo alternativo delle coordinate: metodi alternativi per calcolare le coordinate di un vettore rispetto a una base diversa dalla canonica, utilizzando matrici inverse; - Formula per il cambio di base: formula generale per il calcolo della matrice di un'applicazione lineare tra due basi arbitrarie. Segue quindi un esempi pratico di applicazione di quanto esposto attraverso un esempio concreto di cambio di base e calcolo delle matrici associate, e infine la risoluzione di un esercizio che richiede la determinazione di un'applicazione lineare con specifiche caratteristiche e la costruzione della matrice associata.

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Determinante

Dal corso del Prof. M. Morigi

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Viene trattato il concetto di determinante di una matrice quadrata, introdotto come una funzione definita da proprietà specifiche, la cui esistenza e unicità sono dimostrate. Viene sottolineata l'importanza del determinante nel determinare l'invertibilità di una matrice e nell'analizzare come l'applicazione lineare associata influisca su aree, volumi e iperspazi. Gli argomenti trattati includono: - Proprietà del determinante: una serie di corollari che descrivono il comportamento del determinante in base a manipolazioni delle righe di una matrice; - Calcolo del determinante: viene spiegato come il determinante possa essere calcolato in modo metodico attraverso l'algoritmo di Gauss, con esempi specifici per matrici 2x2 e 3x3; - Teoremi: vengono presentati vari teoremi collegati al determinante, tra cui il Teorema di Binet, che è cruciale per dimostrare l'invertibilità di una matrice, e il Teorema di Laplace, metodo standard per il suo calcolo; - Invertibilità di una funzione: viene approfondito il legame tra il determinante e l'invertibilità di una funzione lineare, dimostrando che l'invertibilità di una funzione è equivalente al fatto che il determinante della matrice associata sia diverso da zero; - Equivalenze: viene discusso un teorema importante che collega diverse proprietà di una matrice quadrata, dimostrando che condizioni come l'iniettività, la suriettività e l'indipendenza lineare delle colonne sono equivalenti alla non nullità del determinante.

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Sottospazi generati

Dal corso del Prof. M. Morigi

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Viene fornita una trattazione dettagliata dei concetti legati ai sottospazi generati in algebra lineare: definizione di sottospazio generato come l'insieme di tutte le combinazioni lineari di un dato insieme di vettori, e l'approfondimento della nozione di spazio vettoriale finitamente generato. Successivamente, vengono presentate alcune proposizioni, con relative dimostrazioni: il sottospazio generato sia il più piccolo sottospazio che contiene i vettori considerati; il sottospazio generato rispetta le proprietà di chiusura rispetto alla somma e al prodotto per scalari. Attraverso esempi concreti, si mostrano applicazioni pratiche di questi concetti negli spazi vettoriali R2 e R3, risolvendo sistemi lineari per identificare le combinazioni lineari dei vettori generatori. Infine, viene discussa l'importanza dell'indipendenza lineare per identificare il minimo insieme di vettori generatori e si esplorano diversi casi particolari di sottospazi generati in contesti specifici, come rette e piani.

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Diagonalizzabilità: tutto ciò che c'è da sapere

Dal corso del Prof. M. Morigi

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Un insieme completo di tutto ciò che interessa la diagonalizzabilità nell'algebra lineare: definizioni, spiegazioni, proposizioni con altrettante dimostrazioni e soprattutto tanti esercizi pratici su uno dei più intriganti e astratti concetti dell'algebra lineare. Nel dettaglio si discute di: - legame con autovettori; - legame con matrici diagonalizzabili; - lineare indipendenza di autovettori con autovalori distinti; - legame con autovalori; - legame con molteplicità algebrica e geometrica;

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Teorema della dimensione

Facoltà Ingegneria ii

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Spiegazione, dimostrazione e conseguenze dirette di uno dei teoremi più importanti dell'algebra lineare, utile per la dimostrazione del famoso teorema di Rouché-Capelli. La dimostrazione fa largo uso di concetti e proposizioni sulle applicazioni lineari, tra cui nucleo e immagine.

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Esercizi di Algebra lineare - Matrici, vettori e spazi vettoriali

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