Test esame Matematica finanziaria - banca dati aggiornata 2023

Formule finanziarie

Fattore montante: Presto un capitale pari a C e mi viene restituita una cifra S.

Formula base: S = C * e^6t

Interesse: I = C * (e - 1) * 6t

Fattore di capitalizzazione: I = C * (e - 1)^6t

Tasso di interesse: C = e - 1 / 6t

Intensità di interesse: y = (e - 1) / t

CAPITALIZZAZIONE - 6 t

Fattore di sconto: eESPONENZIALE - 6 t

Tasso di sconto: d = 1 - e - 6 t

Intensità di sconto: (1 - e) / t

EQUIVALENZA: →Capitalizz composta esponenziale 6 = log(1 + i)

6Capitalizz. Esponenziale composta i = e - 1

Un'operazione finanziaria è detta equa, in un dato istante (di valutazione) T, se W (T, x) = 0

quando il valore delle somme incassate è uguale al valore delle somme pagate e per essere equa almeno un importo deve avere segno diverso dagli altri

Proprietà invariantiva se un'operazione finanziaria è equa in un dato istante T, essa è equa anche in qualsiasi altro

Proprietà additiva: se due operazioni sono eque in un medesimo istante, lo è anche l'operazione finanziaria somma.

Proprietà di uniformità nel tempo: se un'operazione finanziaria è equa, lo è anche l'operazione finanziaria con gli stessi importi e le scadenze traslate di un medesimo fattore.

Proprietà di scindibilità: la somma di due operazioni eque in istanti (non necessariamente identici) è un'operazione equa in qualsiasi istante.

Funzione W(T,x) = W(0,x)exp(6T): il valore dell'operazione in T > 0 è pari al valore attuale in 0, capitalizzato da 0 in T.

VALORE ATTUALE = RATA = R

MONTANTE = M

Rendita - n tR*(1 - (1+i))/i [(1 + i) - 1] / it

Rendita posticipata R*V/[(1- [1 / (1 + i)] )/i]

Rendita anticipata R* [(1- (1+ i) + i) - 1] /R* {[(1V/[(1+i)* [(1- [1 / (1 + i)] )/i]])/i]*(1+i) i}*(1+i)R.

posticipata 1/iperpetuaR. anticipata * (1+ i)/iperpetuaRendita differita Valore attualedi m anni della rendita Non risente delscontato di m anni differimento-> moltiplicando V-mper (1+i) →*Per passare da posticipata a anticipata moltiplico per (1+i) la formula della posticipataRATA QUOTA CAPITALE A DEBITO RESIDUO ATZ TZ-(t-tz)– t RATA/ (1+i) è pari valore attuale delleDebito /((1 –(1+ i)RATE ANNUE )/i)→ è COSTANTE. al rapporto tra il debito rate da versare =POSTICIPATE – t-tzRata*((1 –(1+ i)Corrisponde al iniziale e il montante diCOSTANTI rapporto tra il debito una rendita unitaria )/i)iniziale e il valore posticipata al tasso D(k) =attuale di una annuo i (di durata pari (1+i)D(k-1) - R(k),dove R(k) indica larendita unitaria alla durataposticipata al tasso dell'ammortamento). rata pagataannuo i (di durata Si può anche esprimere all'istante k→pari alla durata come il prodotto tra la D(k) = D(k-1)

-dell’ammortamento) rata e il fattore di C, dove C indica lail numero minimo di sconto relativo ad una quota capitaleannualità del piano, durata pari a quellatali che la rata non dell'ammortamento osuperi una certa cifra anche fattore diR* è: Log(1- sconto (1+i)* quotaPi/R*)/log(1/(1+i)) capitale dell'annoprecedente oppurequota cap dell’annoprecedente/ fattore disconto

AMMORTAMENTO La quota capitale finaleè rata* 1/(1+i) -(t-tz-1)-1 RATA/ (1+i) La valore attuale delleRATE ANNUE Debito* (1+i) /((1 –– t(1+ i) )/i)→ è quota capitale rate da versare =ANTICIPATE – t-tzCOSTANTE all'istante 0, in un Rata*((1 –(1+ i)COSTANTI piano di )/i) oppure D(k) =ammortamento (a rate (1+i)D(k-1) –annue anticipate (1+i)R(k-1) dove R(k)costanti) in un regime indica la quota capa capitalizzazione pagata all’istante kcomposta al tassoannuo i, è pari a debitoiniziale / montante diuna rendita

unitariaposticipata al tassoannuo i (di durata parialla duratadell'ammortamento).

La quota capitale C(k)al generico istante k, èpari: alla differenza trail debito in k e il debitorelativo all'istante k+1(o relativo all'annosuccessivo) oppure C(k)= D(k) - D(k+1),dove D(k) indica ildebito residuoall'istante k.

La quotacapitale all'istante 1sipuò anche esprimerecome rata* fattore disconto relativo ad unadurata pari a quelladell'ammortamentodiminuita di un anno

DEBITO INIZIALE/N DI valore attuale delleQUOTA RATA IN Z: Debito*{1/N DI RATE + [i - RATE→ è COSTANTE rate da versare =CAPITALE Debito * (1- z/n)1/n(z-1)}

COSTANTE QUOTA CAPITALE: oppure : D(k) = S(1k/n), dove S è ilcapitale prestatooppure D(k)=S– kC,dove S è il capitaleprestato e C è laquota capitale

VAN attualizzo tutti i flussi a un certo tasso dato e trovo il valore attuale netto

Risolvo l'equazione in modo da trovare quel tasso i per cui i

Flussi di cassa attesi hanno TIR valore zero. Si definisce valore atteso di una variabile aleatoria la somma dei possibili valori attuali moltiplicata per la loro probabilità. Date due operazioni finanziarie, V e Z, diremo che V è valore preferibile a Z, se E(V) > E(Z).

Paradosso di San Pietroburgo: il valore atteso è infinito. Si integra la sommatoria del valore moltiplicato per la probabilità con una funzione che esprime l'utilità attesa, che si moltiplica per il valore atteso e per la probabilità. L'utilità attesa può avere diverse forme a seconda che il soggetto sia avverso (funzione concava) o propenso al rischio (funzione convessa) → Calcolo il valor medio dell'operazione e la sua varianza. Dati due investimenti R ed S, si dirà che R è preferibile ad S se R ha una media maggiore o uguale alla media di S ed una

varianzaMEDIA VARIANZA minore o uguale alla varianza di “ (è preferibile l’investimento con media maggioree varianza minore)

L'equivalente certo di una variabile casuale in economia politica è l'ammontare di guadagnosicuro che un individuo considera equivalente al guadagno aleatorio. L'utilità attesa è pari a17. Per trovare l'equivalente certo è necessario risalire alla variabile indipendente dellaEQUIVALENTE funzione di utilità.

CERTO • Data l'operazione finanziaria (aleatoria) V = (1, 2), p= (1/2, 1/2), l'equivalente certo,secondo la funzione di utilità logaritmica, è pari a: 1.4142

RENDIMENTO DI (Valore di rimborso – prezzo acquisto) /prezzo acquistoUN TITOLO se t0 è data di inizio di godimento della cedola, t1 è data di esigibilità della cedola successiva,t è istante di vendita dell’obbligazione e I è il valore della cedola (tO < t

< t1), si ha:

RATEO DI UNOBBLIGAZIONE

ARBITRAGGIO Gli arbitraggi sono: operazioni di compravendita, con profitto sicuro, non rischiose

VITA A SCADENZA t – tnmedia ponderata delle vite a scadenza per i singoli importi.

SCADENZA MEDIAARITMETICA • Consideriamo un’operazione finanziaria che preveda un flusso di n importi costantied equidistanti del tempo: la scadenza media aritmetica è pari a: (n + 1) /2la duration è una media ponderata delle vita a scadenza e i pesi sono proporzionali ai valoriattuali dei singoli importi esigibili alle varie scadenze.

DURATION

DURATIONSECONDACONVEXITY –VARIAZIONERELATIVA –ELA“TICITA’

Operazioni finanziarie

Una operazione finanziaria è detta a pronti (o spot) se la data di stipula del contratto coincide con l’istante incui avviene il primo scambio di denaro. Viceversa, una operazione finanziaria viene detta a termine se il primoscambio di importi monetari avviene in un istante successivo a

quello in cui viene stipulato il contratto.

• Un'operazione finanziaria si rappresenta con: Due vettori della stessa grandezza

Data l'operazione finanziaria X=(2,4,6), t=(1,2,3) e l'operazione Y=(2,4,6) t=(1,2,4), l'operazione somma S è pari a: (4,8,6,6,)(1,2,3,4)

PRESTITI

Consideriamo un capitale C prestato ad un soggetto all'istante 0. Si pattuisce che il prestito potrà essere estinto all'istante t > 0 mediante il pagamento di una somma S (ovviamente è S > C). Si definisce interesse I la quantità I = S - C. L'interesse è quindi la differenza tra il capitale rimborsato alla fine e il capitale inizialmente prestato. Esso è in qualche modo correlato al profitto del soggetto che elargisce il prestito. Si noti che l'interesse non può mai essere zero, altrimenti nessuno avrebbe motivazioni a concedere prestiti (il termine "interesse" infatti non è casuale).

• Il TAEG (…): è una misura del costo complessivo del finanziamento. Il TAEG è comprensivo di eventuali oneri accessori, quali spese di istruttoria, e spese assicurative, che sono a carico del cliente.

In molti casi l'operazione di pronti contro termine con obbligo di retrocessione è effettuata mediante una vendita accompagnata dal duplice impegno, dell'acquirente a rivendere e del venditore a riacquistare una certa attività. In altre parole, un soggetto (venditore) cede una determinata quantità di un bene ad un altro soggetto (acquirente) (operazione a pronti - prima compravendita) e contemporaneamente vengono pattuite le seguenti operazioni elementari:

1. l'acquirente si impegna a rivendere ad un termine convenuto, con la

1. Il venditore si impegna a vendere una determinata quantità del bene in oggetto ad un prezzo prestabilito (operazione a termine - prima compravendita).
2. Il venditore si impegna a riacquistare al termine convenuto con la stessa controparte la stessa quantità del bene in oggetto ad un prezzo prestabilito (operazione a termine - seconda compravendita).

CONTRATTI DERIVATI

• Generalmente, quando si valuta un contratto derivato, si utilizza una funzione valore relativa ad una legge: esponenziale