Funicolare_ism

ESERCITAZIONI DI INGEGNERIA DEI SISTEMI

MECCANICI 1

ESERCITAZIONE 1 (funicolare)

1.1 DESCRIZIONE DEL PROBLEMA:

Una piccola vettura di un impianto funicolare viene trainata da una fune traente che esercita una forza

variabile in funzione della velocità secondo la tabella seguente:

velocità [m/s] 0 2 4 6 8 10 12 14

forza [kg] 1800 1780 1650 1380 1050 780 550 350

Determinare la velocità massima raggiunta dalla vettura. Se, a partire dalla condizione precedente, la

°

vettura affronta un secondo tratto di pendenza pari a 20 , determinare l’accelerazione massima e la

velocità limite in tale tratto; stimare il tempo necessario a raggiungere la nuova situazione di regime.

DATI:

m = 2000kg

°

α = 30 : pendenza iniziale del tratto inclinato

1 °

α = 20 : pendenza finale del tratto inclinato

2

Trascurare tutte le resistenze passive e supporre che il percorso sia sufficientemente lungo affinché siano

raggiunte le condizioni di regime.

1.2 ASPETTI TEORICI E RISULTATI:

v

F

a Mg N

α

Ma: forze di inerzia

Mg: forza peso associato alla massa M

N: reazione del piano in direzione normale

Fm: forza motrice

Equazioni di equilibrio: α1 = N

()

− α1 = Ma

A regime a=0 quindi: ()

=

L’intersezione tra la curva della forza motrice ( ) e quella della forza resistente ( ) rappresenta la

velocità massima raggiunta dalla funicolare. Il flusso di potenza è diretto.

v = v = 8,3704 m/s

La condizione di regime, e quindi la velocità massima è max1 reg1 2

Facendo un’interpolazione lineare a tratti è possibile approssimare la curva a una linea spezzata

congiungente i punti. Questo procedimento permette di calcolare i valori di forza anche per velocità

differenti da quelle assegnate.

la velocità di regime in seguito al cambio di pendenza (α → α ) risulta v = 10.8344 m/s

reg2

1 2

Avendo una nuova velocità di regime è necessario definire un nuovo punto di funzionamento.

Per calcolare l’accelerazione massima e il tempo di transitorio è sufficiente integrare l’equazione

differenziale del moto imponendo come condizione iniziale .

(0) =

()

−

()

= =

È sostituendo alla derivata della velocità rispetto al tempo il seguente rapporto incrementale:

( + ) − ()

=

Da cui: (1)

( + ) ≈ () + ()

Posto all’istante velocità e accelerazione assumono i seguenti valori:

= ℎ, = ∗ ℎ, ( )

= ( ) = ( ) =

Quindi la (1) diventa: = + ℎ

Con: = ( + ℎ).

L’accelerazione massima risulta: = 1.5498

Mentre il tempo necessario per raggiungere le nuove condizioni di regime è: t = 2.5650 s. 3