Tracce svolte quaderno esercizi Microeconomia

Utilità marginali del bene 0

A00 0 00e (cioè: utilità marginali del bene0, v (x ) < 0 v (x ) > 0, v (x ) < 01A 1B 1BA B B1 positive e decrescenti per entrambi i soggetti). Come al solito, indichiamo le dotazioni come . Vogliamo qui dimostrare che,! ; ! ; ! ; !1A 2A 1B 2Bdiversamente che nel caso generale, vi è questa volta una unica allocazionePareto-efficiente per quanto riguarda il bene 1. Per dimostrarlo, ricordiamoche l’applicazione delle condizioni per un ottimo Paretiano (si veda il Varian)conduce al seguente sistema di equazioni:

@u (x ; x )=@x@u (x ; x )=@xA B1A 2A 1A 1B 2B 1B=@u (x ; x )=@x @u (x ; x )=@xA B1A 2A 2A 1B 2B 2B (1)x + x = ! + !1A 1B 1A 1Bx + x = ! + !2A 2B 2A 2B 00 In questaNel caso presente, la prima equazione diventa (x ):(x ) = vv 1B1A BAequazione compaiono due variabili e (mentre nel caso generale nex x1A 1Bcompaiono quattro). Queste due variabili si riducono a una tenendo contodella seconda equazione del sistema (1), ciò che ci consente di scrivere,

peresempio: 0 0v (x ) = v (! + ! x )1A 1A 1B 1AA B

Pertanto, il livello di in una allocazione Pareto-e¢ ciente (chiamiamolox 1A) è la soluzione (che è unica) della precedente equazione nell’incognitax 1A . Sostituendo nella seconda equazione del sistema (1) si trova il livellox x1A 1APareto-e¢ ciente di , cioè . Rimane così la terzax x = ! + ! x1B 1A 1B1B 1Aequazione del sistema (1) nelle due incognite e , dal che desumiamox x2A 2Bche l’e¢ cienza Paretiana non impone alcuna restrizione circa il modo in cuiil bene 2 deve essere allocato tra A e B.

In conclusione, con preferenze quasi-lineari, in una allocazione Pareto-e¢ ciente il bene 1 deve essere allocato in modo univoco tra A e B; al contrario,qualunque allocazione del bene 2 tra A e B è compatibile con l’e¢ cienzaParetiana. In termini gra…ci, lo studente può agevolmente veri…care che, con1preferenze quasi-lineari, la curva dei

contratti nel diagramma a scatola di Edgeworth è una linea orizzontale (se le quantità del bene 1 sono rappresentate sull'asse verticale) ovvero una linea verticale (se le quantità del bene 1 sono rappresentate sull'asse orizzontale)

ESEMPIO

Si consideri un'economia di puro scambio con due individui, A e B, e due beni, 1 e 2. Le preferenze siano rappresentabili mediante le seguenti funzioni di utilità: u_A(x_1A, x_2A) = 4 ln x_1A + x_2A e u_B(x_1B, x_2B) = 2 ln x_1B + x_2B

Le dotazioni sono: x_1A = 10, x_2A = 12, x_1B = 2, x_2B = 8.

Si determini l'insieme delle allocazioni Pareto-efficienti e lo si rappresenti graficamente.

SOLUZIONE

Il sistema (1) è nel nostro esempio 24 = x_1A + x_1B (2) x_2A + x_2B = 12 (3) x_1A + x_2A = 20 (4) x_1B + x_2B = 8.

Dalla seconda equazione si ha che x_2A = 12 - x_2B, sostituita nella prima equazione si ha x_1A = 12 - x_1B.

4(12 - x_1B) + x_1B = 20

48 - 4x_1B + x_1B = 20

3x_1B = 28

x_1B = 28/3

Quindi, l'insieme delle allocazioni Pareto-efficienti è:

ricchezze iniziali pari rispettivamente a w = 5 e1w = 5, possono dotarsi di un bene pubblico in una quantità variabile G. Lep p2funzioni di utilità sono u (x ; G) = x + 2 G e u (x ; G) = x + 2 G, dove x1 1 1 2 2 2 1e x rappresentano quantità di denaro per l’individuo 1 e per l’individuo 2. Il2costo per l’acquisto di una quantità G del bene pubblico è c(G) = G:

(a) Si determinino allocazioni e¢ cienti (x ; x ; G) e si dimostri che la quan-1 2tità e¢ ciente del bene pubblico risulta determinata in modo univoco.

(b) Si supponga ora che i due soggetti adottino il seguente meccanismo perdeterminare la quantità del bene pubblico da acquistare: ciascuno scrive inbusta chiusa la somma g che intende o¤rire per l’acquisto del bene pubblico.iAperte le buste e lette le o¤erte, ciascuno pagherà quanto o¤erto e il bene verràacquistato nella quantità G = g + g : Si determini

L'insieme di equilibri di Nash di questo gioco e se ne discutono le caratteristiche.

Si dimostri che, tra gli infiniti equilibri di Nash, esiste un equilibrio NNN; g) tale che g = 0, cioè tale che il soggetto 1 agisca da free rider e ne(g121NNN; g), in cui g = 0; cioè in cui è il soggetto 2 ad agire da free rider.

RISPOSTE

(a) Come spiegato dal Varian, in presenza di un bene pubblico, condizione necessaria affinché un'allocazione (x; x; G) sia Pareto efficiente è che in corrispondenza di essa la somma dei saggi marginali di sostituzione tra bene pubblico e bene privato per i due soggetti sia uguale al costo marginale per l'acquisto del bene pubblico, cioè: @u(x; G)/@G = @u(x; G)/@G = MC: (1) @u(x; G)/@x = @u(x; G)/@x

Nell'esempio, tale condizione è 11pp = 1;+GG da cui si ricava G = 4. In conclusione, ogni allocazione (x; x; G = 4) tale che

x = 5 g , x = 5 g , g + g = 4 è una allocazione Pareto e è efficiente:1 1 2 2 1 2 l'allocazione è efficiente risulta perciò univocamente determinata per quanto attiene al bene pubblico (ma non alle quantità di denaro dei soggetti). Incidentalmente, va notato come l'unicità del livello efficiente del bene pubblico scaturisca dall'ipotesi di quasi linearità delle funzioni di utilità, ipotesi che a sua volta comporta assenza di effetti ricchezza (in presenza di livelli di ricchezza sufficientemente elevati dei soggetti). Si noti ancora come, data la quasi linearità delle funzioni di utilità, la condizione (1) altro non è che la condizione del primo ordine per la massimizzazione dell'utilità totale dei due consumatori. In altre parole, la quantità efficiente del bene pubblico è univocamente determinata dalla massimizzazione dell'utilità totale. Verifichiamolo.

L'utilità totale è pu = u +u = x +2 G+x +2 G. In tale funzione si deve porre G = g +g ,T 1 2 1 2 1 2x = w g e x = w g . Mediante sostituzioni il problema di massimo può1 1 1 2 2 2essere allora riscritto come p pmax 5 g + 2 g + g + 5 g + 2 g + g :1 1 2 2 1 2Si noti che l'utilità totale dipende da g + g anziché da g e g separatamente;1 2 1 2il problema di massimo dell'utilità totale può infatti essere riscritto comepmax 10 G + 4 G:Imponendo la condizione del primo ordine per un massimo si ottiene G = 4,la stessa soluzione che era stata trovata in precedenza applicando la condizionegenerale fornita da Varian. N N N

(b) Un equilibrio di Nash è un profilo di strategie (g ; g ) tale che g1 2 1N N Nsia una risposta ottima a g e g sia una risposta ottima a g . Vediamo di2 2 1determinare qual è, per il giocatore 1, la sua risposta ottima g in corrispondenza1Edi ogni livello di contribuzione g che egli si

dovesse aspettare da parte del giocatore 2. Dato g, g deve essere tale da

12 pmax x + 2 G;

1g 1

sotto i vincoli:

x = 5 g1 1

EG = g + g1 2

Sostituendo i vincoli nella funzione obiettivo, il problema di massimizzazione

può essere riscritto come q Emax 5 g + 2 g + g :1 1 2g 1

Imponendo la condizione del primo ordine per un massimo, du =dg = 0, si

E Eottiene g (g ) = 1 g ; che possiamo indicare come la "funzione di risposta

1 2 2ottima" dell'individuo 1: questa ci dice qual è l'offerta ottima dell'individuo 1

data l'offerta g che il giocatore 1 si aspetta venga effettuata dal giocatore 2.

Lo stesso procedimento si applica al soggetto 2 per determinare la sua

E che egli si dovesserisposta ottima in funzione di ogni livello di contribuzione g1

Easpettare da parte del giocatore 1. Dato g, la risposta ottima per il giocatore

12 è tale da 2 pmax x + 2 G;

2g 2

sotto i vincoli:

x = 5 g2 2

EG = g + g21

Tenendo conto dei vincoli mediante sostituzione,

Il problema di massimo diventa: E5g + 2g + g : max 2 21g 2

Dalla condizione del primo ordine per un massimo, du = dg = 0, si ricava:

Eg(g) = 1g ; la "funzione di risposta ottima" dell'individuo 2.2 1 1

Si ha un equilibrio di Nash quando le aspettative di entrambi i soggetti risultano verificate, vale a dire quando g = g e g = g :

Facendo tali sostituzioni nelle due funzioni di risposta ottima, si ottiene una singola equazione: g + g = 1.1 2

Abbiamo perciò ottenuto il seguente risultato:

Ogni profilo di strategie (g ; g ) tale che g + g = 1 costituisce un equilibrio di Nash.1 2 1 2

Ci sono quindi infiniti equilibri di Nash: lo sono tutte le combinazioni di contribuzioni che comportano una quantità del bene pubblico pari a 1. Per esempio, (g = 0; 5; g = 0; 5) è un equilibrio di Nash così come lo è (g = 10; 4; g = 0; 6); oppure (g = 0; 2; g = 0; 8); eccetera.2 1 2

Si noti come in ogni equilibrio