Teoria dei Segnali - Esercitazione

T

2π 1

−j k k

X = Z e = (−1) Z Z z(t)

, dove sono i coefficienti di Fourier di calcolati nell’esempio 6.50.

T 4

0

k k k k |H(ν)| ∈

= 2, ν

In questa forma, è immediato constatare che per ogni ossia il sistema in questione è un

R,

∈

x(n) = cos(2πν n), ν

filtro passatutto. Pertanto, posto con si ottiene che la potenza del corrispondente

R,

0 0

P 2

|H(ν

= )| /2 = 2, ν

segnale di uscita è data da indipendentemente dalla frequenza del segnale sinusoidale

y 0 0

ν = 1/4).

di ingresso (nell’esercizio proposto 0

ESERCIZIO 3 (10 punti) α + β = 1.

(a) Dalla condizione di normalizzazione, si trova Dalla condizione sulla varianza, si ricava

3

α = 1/8. α = β = 1/2.

Pertanto, risulta

(b) Applicando la relazione tra CDF e pdf (aiutandosi con il grafico della pdf) si ha

12

 −

0 , x < ;





x 12

1 2

 − − ≤

Z x , x < 0 ;

 4

F (x) = f (u) du = 12

3 2 ≤

+ x , 0 x < ;

−∞  4



 12

≥

1 , x .



(c) Mista.

(d) Utilizzando il teorema fondamentale della media, si ha:

+∞

Z 1

|x|f

E(|X|) = .

(x) dx =

X 6

−∞

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PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL 15.10.2007.

Tempo: 2.5 ore. È consentito l’uso di libri ed appunti propri.

ESERCIZIO 1 (10 punti)

1 f

π

−j −1

e

(f ) =

H 2 f

0

1 2

z(t) u(t)

y(t)

- - - -

H (f ) H (f )

x(t) S πf

1 2

0 H (f ) = sin

2 2f

0

S è sollecitato in ingresso dal

Con riferimento allo schema riportato in figura, il sistema non lineare 0 2

t) z(t) = 1 + x(t) + x (t).

x(t) = cos(2πf ed il suo legame ingresso-uscita è il seguente:

segnale 0 z(t).

(a) Calcolare la serie di Fourier del segnale

y(t)

(b) Determinare il segnale e calcolarne valor medio, potenza ed energia.

ESERCIZIO 2 (10 punti) x(n)

Si consideri il segnale periodico caratterizzato dalle seguenti proprietà:

n A, B

x(n) = A + B (−1) , con numeri reali;

(1) x(n) = 2;

(2) la media temporale del segnale è uguale a

P = 5;

(3) la potenza del segnale è uguale a x

x (n)

(4) la componente alternata del segnale assume valori positivi negli istanti di tempo dispari.

ac

x(n)

Determinare l’unico segnale che verifica le quattro proprietà sopra elencate e rappresentarlo

graficamente.

ESERCIZIO 3 (10 punti) C up

C middle

C down

A B

Con riferimento allo schema riportato in figura, il computer A può comunicare con il computer B

C C

C (quello superiore), (quello intermedio) e (quel-

mediante tre distinti collegamenti up middle down

lo inferiore). I tre collegamenti sono funzionanti indipendentemente l’uno dall’altro con probabi-

P (C = 3/5, P (C = 1/5, P (C = 3/10,

lità funzionante) funzionante) funzionante)

up middle down

rispettivamente. I due computer sono connessi se almeno uno dei tre collegamenti è funzionante.

(a) Calcolare la probabilità che i due computer A e B siano connessi.

(b) Sapendo che i due computer sono connessi, calcolare la probabilità che il collegamento superiore

C sia funzionante.

up

N.B. Esprimere tutti i risultati (intermedi e finali) in forma frazionaria.

BIO/INFO (DF-M) (vecchio programma)

PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL 15.10.2007.

Tempo: 2.5 ore. È consentito l’uso di libri ed appunti propri.

ESERCIZIO 1 (10 punti)

1 f

π

−j −1

e

(f ) =

H 2 f

0

1 2

z(t) u(t)

y(t)

- - - -

H (f ) H (f )

x(t) S πf

1 2

0 H (f ) = sin

2 2f

0

S è sollecitato in ingresso dal

Con riferimento allo schema riportato in figura, il sistema non lineare 0 2

t) z(t) = 1 + x(t) + x (t).

x(t) = cos(2πf ed il suo legame ingresso-uscita è il seguente:

segnale 0 z(t).

(a) Calcolare la serie di Fourier del segnale

y(t)

(b) Determinare il segnale e calcolarne valor medio, potenza ed energia.

ESERCIZIO 2 (10 punti) t) + sin(4πf t)

x(t) = cos(2πf (ampiezze in V) viene campionato con frequenza di

Il segnale 0 0

= 3f

f e successivamente quantizzato mediante un quantizzatore uniforme e

campionamento c 0

simmetrico. x(n) = x(t)| .

(a) Determinare la potenza del segnale campionato t=n/f c X = 2

(b) Supponendo che il massimo valore di restituzione del quantizzatore sia V, determinare

max

b

il numero di bit necessari ad ottenere un rapporto segnale-rumore di quantizzazione non inferiore

60

a dB.

ESERCIZIO 3 (10 punti) C up

C middle

C down

A B

Con riferimento allo schema riportato in figura, il computer A può comunicare con il computer B

C C

C (quello superiore), (quello intermedio) e (quel-

mediante tre distinti collegamenti up middle down

lo inferiore). I tre collegamenti sono funzionanti indipendentemente l’uno dall’altro con probabi-

= 3/5, P (C = 1/5, P (C = 3/10,

P (C funzionante) funzionante) funzionante)

lità up middle down

rispettivamente. I due computer sono connessi se almeno uno dei tre collegamenti è funzionante.

(a) Calcolare la probabilità che i due computer A e B siano connessi.

(b) Sapendo che i due computer sono connessi, calcolare la probabilità che il collegamento superiore

C sia funzionante.

up

N.B. Esprimere tutti i risultati (intermedi e finali) in forma frazionaria.

PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL 15.10.2007 (soluzione).

ESERCIZIO 1 (10 punti) S

(a) Utilizzando le formule di bisezione per sviluppare il coseno al quadrato, il segnale in uscita dal sistema 0

2 2

z(t) = 1 + x(t) + x (t) = 1 + cos(2πf t) + cos (2πf t) assume la seguente forma:

0 0

3 1 1 1 3 1 1

−j4πf −j2πf

t t j2πf t j4πf t

z(t) = + cos(2πf t) + cos(4πf t) = e + e + + e + e ,

0 0 0 0

0 0

2 2 4 2 2 2 4

da cui, per confronto con l’equazione di sintesi della serie di Fourier, è immediato ricavare che si tratta di

f Z = 3/2,

un segnale periodico avente frequenza fondamentale , con soli cinque coefficienti non nulli

0 0

Z = 1/2 Z = 1/4.

e

±1 ±2 y(t)

(b) Per determinare il segnale è sufficiente osservare che esso è l’uscita della cascata dei due sistemi con

H (f ) H (f ) z(t).

risposta in frequenza e quando in ingresso è applicato il segnale Pertanto, ricordando

1 2

che la risposta in frequenza della serie di due sistemi è data da πf πf

−j

j

−

πf

1 e e

j

2f 2f

f

π πf 0 0

−j −1 −j

sin

H(f ) = H (f ) H (f ) = e e

=

2 f 2f

0 0

1 2 2 2f 2 2j

0

1 πf

−j

− )

= (1 e f

0

4 H(f )

e ricordando le relazioni ingresso-uscita dei sistemi LTI per segnali sinusoidali (applicabile in quanto

1

gode della simmetria hemitiana), si ottiene: |H(2f

3 )| 1

0

|H(f

y(t) = H(0) + )| cos [2πf t + )] + cos [4πf t + )] = cos(2πf t) ,

]H(f ]H(2f

0 0 0 0 0 0

2 2 2

P = 1/8

la cui media è nulla, la potenza è pari a e l’energia è infinita.

x

ESERCIZIO 2 (10 punti) 1)

– Il segnale (condizione

Svolgimento 1 (utilizzando la DFS) )

( 1 n

j2π

n

x(n) = A + B (−1) = A + B e 2

N = 2

è manifestamente periodico di periodo e, per confronto con l’equazione di sintesi della DFS, è altret-

0 X(0) = 2A X(1) = 2B.

tanto immediato ricavare i due coefficienti di Fourier e Trattandosi di un segnale

periodico, la media temporale si può calcolare considerando solo un arbitrario periodo come segue:

−1

N

0

1 1

X

hx(n)i −

= x(n) = (A + B + A B) = A ,

N 2

0 n=0

2) A = 2.

da cui si ricava (condizione che deve essere Utilizzando l’uguaglianza di Parseval, la potenza del

segnale è data da: −1

N

0

1 1

X

P 2 2 2 2 2 2

|X(k)|

= = (4A + 4B ) = A + B = 4 + B ,

x 2

N 4

0 k=0

1 u(t) y(t),

Se anzichè ragionare sulla serie dei due sistemi, si considera un sistema per volta, calcolando prima e poi

H (f ) H (f )

occorre tener conto che le risposte in frequenza e godono singolarmente della proprietà di simmetria

non

1 2

hermitiana, e quindi non è possibile applicare direttamente le relazioni ingresso-uscita dei sistemi LTI per segnali sinusoidali

u(t) y(t).

(cfr.§ 4.7.3 del libro di testo) per calcolare e È invece possibile applicare la relazione ingresso-uscita per i fasori,

§

in quanto quest’ultima relazione (cfr. 4.7.1 del libro di testo) non richiede l’ipotesi di simmetria hermitiana. Per cui se si

vuole seguire questa strada (peraltro non consigliata), bisogna esprimere tutte le sinusoidi come somma di fasori e ragionare

separatamente sui fasori a frequenze positive e negative. ±1.

3) B = B,

da cui si ricava (condizione che deve essere Per risolvere l’ambiguità sul segno della costante

osserviamo che la componente alternata del segnale assume la seguente forma:

n

− hx(n)i

x (n) = x(n) = B (−1) ,

ac −B

x (n) = 4

da cui si evince che negli istanti di tempo dispari e, pertanto, affichè anche la condizione sia

ac

−1.

B =

soddisfatta deve essere n

x(n) = A + B(−1)

– Calcoliamo direttamente la media temporale di

Svolgimento 2 (senza utilizzare la DFS)

1).

(condizione Applicando la proprietà di linearità, si ha

n n n

hx(n)i hA i hAi hB(−1) i h(−1) i

= + B(−1) = + = A + B = A ,

n

h(−1) i hx(n)i

= 0 2 = 2, A = 2.

in quanto (si tratta di un fasore). Poiché per la condizione risulta si ricava

n

x(n) = 2 + B(−1)

Calcoliamo ora la potenza di . Utilizzando la proprietà di linearità e la formula per lo

sviluppo del quadrato di un binomio, si ha:

P 2 2 n 2 n 2

h4i h(−1) i

= x (n) = 4 + B + 4B(−1) = + B + 4B = 4 + B .

x

P 2 ±1.

= 5 3) B = 1, B = 4

Imponendo (condizione si ricava ovvero Ragionando sulla condizione come

x −1.

B =

nello svolgimento precedente, si ottiene che

ESERCIZIO 3 (10 punti)

(a) Applicando le proprietà elementari della probabilità e sfruttando il fatto che i tre collegamenti sono funzio-

nanti indipendentemente l’uno da