Simmetria rispetto ad una retta ed equazione della curva

Complementi di matematica

Trasformazioni geometriche

In questa sezione esploreremo le trasformazioni geometriche, concentrandoci sulla simmetria e la rotazione delle figure.

Esercizi svolti

Simmetria rispetto a una retta

Consideriamo l’equazione di una parabola simmetrica rispetto a una retta e l’equazione della curva simmetrica.

Problema

Determina l'equazione della parabola γʹ, simmetrica rispetto alla retta r, e della parabola γʺ, immagine di γʹ, che si ottiene con una rotazione di centro C e angolo di π/2.

Determinazione dell’equazione della parabola γ sostituendo le coordinate dei punti A(−3; 0), B(0; −3) e C(2; 0) nell’equazione y = ax² + bx + c:

• 0 = 9a − 3b + c
• −3 = c
• 0 = 4a + 2b + c

Risolviamo il sistema:

• 9a − 3b = c
• c = −3
• b = −2a + 3
• 9a + 6a − 9 = 3
• b = −2a + 3
• 15a = ¹⁵/₂
• b = −2a + ³/₂
• a = ¹/₂
• c = −3

L’equazione della parabola γ è y = ¹/₂ x² + ¹/₂ x − 3.

Simmetria rispetto all'asse x = 2

Determiniamo le equazioni della simmetria s di asse x = 2 e ricaviamo le equazioni della trasformazione inversa s⁻¹.

s: {xʹ = 4 − x, yʹ = y}

x = 4 − xʹ

y = yʹ

Per trovare γʹ, sostituiamo le equazioni di s⁻¹ nell’equazione di γ e svolgiamo i calcoli:

yʹ = ^{(4 − xʹ)}/₂ + ^{4 − xʹ}/₂ − 3

− yʹ = ^{16 + (xʹ)2 − 8xʹ}/₂ + ^{2 − xʹ}/₂ − 3

L’equazione di γʹ è yʹ = ¹/₂ (xʹ)² − ⁹/₂ xʹ + 7.

Rotazione di centro C e angolo π/2

Scriviamo le equazioni della rotazione r(C, ^π/₂) di centro C(−2; 0) e angolo α = ^π/₂. Ricordiamo che sin ^π/₂ = 1 e cos ^π/₂ = 0, e determiniamo le equazioni della trasformazione inversa.

r(C, ^π/₂): {xʹ = (xʹ + 2)cos ^π/₂ + yʹsin ^π/₂ , yʹ = (xʹ + 2)sin ^π/₂ + yʹcos ^π/₂}

r⁻¹ (C, ^π/₂): {xʹ = −yʹ − 2, yʹ = −xʹ − 2}