Parabola traslata, vettore ed equazioni della trasformazione

Complementi di matematica

Trasformazioni geometriche

Esercizi Svolti

• Parabola traslata
• Vettore della trasformazione
• Equazioni della trasformazione

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Problema

Sia γ la parabola di equazione y = x² − 4x. Determina l'equazione di γ′, traslata di γ rispetto al vettore vō(−1; 3), e l'equazione di γ″ che si ottiene ruotando γ′ rispetto all'origine di π/4. Scrivi l'equazione della trasformazione che trasforma γ in γ″.

Scriviamo le equazioni della traslazione di vettore vō(1; 3).

t_vō: [ x′ = x − 1 y′ = y + 3

Ricaviamo le equazioni della traslazione inversa:

t_vō⁻¹: [ x = x′ + 1 y = y′ − 3

Per trovare γ′ sostituiamo le equazioni di t_vō⁻¹ nell'equazione di γ e togliamo gli apici.

y′ − 3 = (x′ + 1)² − 4(x′ + 1) − y′ = (x′)² + 2x′ + 1 − 4x′ − 4 + 3 → y′ = (x′)² − 2x′

L'equazione di γ′ è y = x² − 2x.

Scriviamo le equazioni della rotazione di centro l’origine O e angolo α = π/4.

r(O; π/4): [ x′ = x cos π/4 − y sin π/4 y′ = x sin π/4 + y cos π/4

Dobbiamo determinare le equazioni della trasformazione inversa. La rotazione inversa di r(0; α) è la rotazione r(0; − α) di angolo − α, quindi:

r⁻¹(0; π/4): [ x = x′ cos(−π/4) − y sin(−π/4) y = x′ sin(−π/4) + y′ cos(−π/4)

{ x = x′ cos π/4 + y sin π/4 y = −x′ sin π/4 + y′ cos π/4 →

{ x = √2/2 x′ + √2/2 y′ y = − √2/2 x′ + √2/2 y′

Applichiamo ora la trasformazione a γ′; otteniamo l’equazione della curva γ″.

− √2/2 x′ + √2/2 y′ = (√2/2 x′ + √2/2 y′)² − 2 (√2/2 x′ + √2/2 y′)

eliminando gli apici e svolgendo i calcoli

− √2/2 x + √2/2 y = 1/2 x² + xy + 1/2 y² − √2 x + √2 y