Il condensatore e la corrente di spostamento - problema svolto

Condensatori e correnti di spostamento

Un condensatore piano ideale, con armature circolari di raggio R, viene collegato a un generatore di corrente continua.

1. Dimostra che il campo magnetico indotto a distanza r < R dall'asse del condensatore può essere espresso dalla formula

B = μ₀ ε₀ ^r⁄₂ ⁢ ^dE⁄_dt

dove il termine ^dE⁄_dt rappresenta la variazione istantanea del campo elettrico tra le armature.

2. Le armature del condensatore hanno raggio R=10 cm. Sapendo che il condensatore può dirsi completamente carico dopo Δt = 5 τ = 1,5 s e che Q₀ = 5,6 · 10⁻⁷C, calcola il campo magnetico indotto a distanza r = ^R⁄₂ dall'asse del condensatore dopo Δt’ = 1,0 s.

Condensatori e correnti di spostamento

Un condensatore piano ideale, con armature circolari di raggio R, viene collegato a un generatore di corrente continua.

1. Dimostra che il campo magnetico indotto a distanza r < R dall’asse del condensatore può essere espresso dalla formula

B = μ₀ ε₀ ^r/₂ ^dE/_dt

dove il termine ^dE/_dt rappresenta la variazione istantanea del campo elettrico tra le armature.

2. Le armature del condensatore hanno raggio R=10 cm. Sapendo che il condensatore può dirsi completamente carico dopo Δt = 5 τ = 1,5 s e che Q₀ = 5,6 • 10⁷C, calcola il campo magnetico indotto a distanza r = R/² dall’asse del condensatore dopo Δt' = 1,0 s.

Svolgimento punto 1.

Il campo magnetico indotto è generato dalla corrente di spostamento, che è data dalla derivata del flusso campo elettrico rispetto al tempo t:

i_s = ε₀ · ^dΦ(E)⁄_dt

Consideriamo un cerchio di raggio r con il centro sull’asse del condensatore e perpendicolare ad esso, e calcoliamo il flusso del campo elettrico che l’attraversa. In condizioni ideali, il campo elettrico all’interno del condensatore è uniforme e si possono trascurare gli effetti di bordo. Il flusso vale:

Φ(E) = E · S = E · πr²

Ora ne facciamo la derivata rispetto al tempo:

^dΦ(E)⁄_dt = πr² · ^dE⁄_dt

Sostituiamo nella corrente di spostamento:

i_s = ε₀ · ^dΦ(E)⁄_dt = ε₀πr² · ^dE⁄_dt

Dal teorema di Ampère-Maxwell sappiamo che la circuitazione di B è:

C(B) = μ₀i_s = μ₀ε₀πr² · ^dE⁄_dt

Il campo magnetico indotto ha intensità costante sulla circonferenza di raggio r centrata sull’asse del condensatore, che ne costituisce una linea di forza. Pertanto la circuitazione è anche:

C(B) = ∮ B · dl = B · 2πr

Eguagliando le due espressioni della circuitazione

B · 2πr = μ₀ε₀πr² · ^dE⁄_dt

⇓

B = μ₀ε₀ ^r⁄₂ · ^dE⁄_dt

Abbiamo dimostrato quanto chiesto.