Esercizio 3 prof. Custodi. Esame: Metodi numerici

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE, CHIMICA, AMBIENTALE E

DEI MATERIALI

M ’ C

ETODI NUMERICI PER L INGEGNERIA IVILE

A.A. 2016-2017

RELAZIONE ESERCIZIO 3

Docente studenti

Prof. A. Custodi Francesco Tamaro 819687

Francesco De Santis 805231

LISTATO DEGLI ELABORATI ALLEGATI

In allegato a tale relazione inerente lo studio della trasmissione del calore della piastra assegnata si

forniscono i file MatLab e Straus7 utilizzati per la risoluzione del problema. Oltre al materiale fornito

dal docente segue il listato dei file:

Ø Progetto_discretizzazione_1_q0.m

Ø Progetto_discretizzazione_1_qpositivo.m

Ø Progetto_discretizzazione_1_qnegativo.m

Ø Progetto_discretizzazione_2_q0.m

Ø Progetto_discretizzazione_2_qpositivo.m

Ø Progetto_discretizzazione_2_qnegativo.m

Ø Progetto_discretizzazione_3_q0.m

Ø Progetto_discretizzazione_3_qpositivo.m

Ø Progetto_discretizzazione_3_qnegativo.m

Ø Progetto_discretizzazione_4_q0.m

Ø Progetto_discretizzazione_4_qpositivo.m

Ø Progetto_discretizzazione_4_qnegativo.m

Ø Progetto_discretizzazione_5_q0.m

Ø Progetto_discretizzazione_5_qpositivo.m

Ø Progetto_discretizzazione_5_qnegativo.m

Ø convergenza_q0.m

Ø convergenza_qpositivo.m

Ø convergenza_qnegativo.m

Ø err_dis.m

Ø vel_conver.m

1. SVOLGIMENTO

Lo scopo finale dello studio condotto in questo esercizio per la seconda parte del corso di Metodi

Numerici per l’Ingegneria Civile è quello di calcolare le temperature nodali e i flussi di calore

che si generano in una piastra quadrata avente sui lati orizzontali due temperature costanti, in alto

100° C mentre in basso 0° C. Le combinazioni oggetto di studio sono in totale tre così definite:

• Area quadrata in ferro e area tratteggiata in rame con carico termico nullo;

• Area quadrata in ferro e area tratteggiata in rame con carico termico unitario positivo;

• Area quadrata in ferro e area tratteggiata in rame con carico termico unitario negativo;

La discretizzazione della piastra oggetto di studio e il calcolo dei risultati sono stati redatti in

ambiente di calcolo MatLab con gli script e le Function fornite ad hoc dal docente e i risultati

ottenuti sono stati confrontati e verificati con la soluzione calcolata attraverso il programma di

.

calcolo Straus 7

1.1 INTRODUZIONE TEORICA AL CASO DI STUDO

Si vogliono introdurre, brevemente, i concetti teorici che rappresentano il background dello

svolgimento dell’esercizio. In generale le operazioni svolte riguardano il caso della trasmissione

del calore bidimensionale, causata da una differenza di temperatura data tra il lato superiore della

piastra e il lato inferiore orizzontale. Il trasferimento di calore nel corpo considerato dipende dalla

geometria e dalle sue caratteristiche oltre che dalla differenza di temperatura nelle varie regioni

interessate dallo scambio di calore. Per la risoluzione dell’esercizio è stato utilizzato un approccio

FEM - Metodo degli elementi finiti che consiste nell’approssimare la funzione incognita tramite

una discretizzazione (divisione) della regione andando a creare una griglia chiamata mesh nella

quale è possibile ricavare localmente l’approssimazione della funzione incognita per poi

estenderla all’intero dominio rappresentato, nel nostro caso, dalla piastra. Gli elementi nel quale

la mesh è stata suddivisa sono detti elementi finiti che possono essere definiti come entità

geometriche triangolari o quadrangolari descritte da un numero di nodi variabile a seconda del

tipo di elemento. Su ciascun elemento caratterizzato da questa forma elementare, la soluzione del

problema è espressa dalla combinazione lineare di funzioni dette funzioni di base o funzioni di

forma (shape functions). In base al numero di nodi che descrivono la forma geometrica si ottiene

una soluzione più o meno accurata.

1.2 REALIZZAZIONE DELLE MESH

Nello svolgimento del problema si sono realizzate ben cinque discretizzazioni differenti:

• Una prima discretizzazione di massima molto semplice composta da un numero limitato di

elementi lineari a tre e quattro nodi per riuscire ad inquadrare il problema; (figura 1)

• Una seconda discretizzazione realizzata sullo schema della prima ma utilizzando elementi

quad8 e tri6; (figura 2)

• Una terza discretizzazione realizzata raffittendo la seconda mesh che era stata realizzata con

elementi quad8 e tri6;(figura 3)

• Una quarta discretizzazione realizzata raffittendo ulteriormente la terza composta da quad8 e

tri6; (figura 4)

• Una quinta discretizzazione realizzata sullo schema della quarta ma raffittendo nella zona

centrale dove è presente l’interazione ferro – rame; (figura 5)

Figura 1: Discretizzazione 1

Figura 2: Discretizzazione 2

Figura 3: Discretizzazione 3

Figura 4: Discretizzazione 4

Figura 5: Discretizzazione 5

Per approssimazione della soluzione si è voluto valutare in quali punti del dominio il gradiente

di temperatura subisce grandi sbalzi, partendo in primis dalla soluzione iniziale della prima

mesh. Gli sbalzi sono dovuti al cambio di conducibilità del materiale, proprio per questo

motivo in quei punti sono stati raffittiti gli elementi fino ad avere una buona approssimazione

della soluzione. Discretizzando è stata prestata particolare attenzione nel controllare la

compatibilità di ogni elemento utilizzato, pertanto elementi a otto nodi con elementi a sei nodi

o elementi a quattro nodi con elementi a tre nodi, questo perché ad

ogni tipologia di elemento corrisponde una funzione di forma, lineare

per elementi a tre e quattro nodi, quadratica per elementi a sei e otto

nodi. Inizialmente, per le prime tre discretizzazioni si sono voluti

inserire manualmente in vnodi, che rappresenta il vettore posizione

rispetto al sistema di riferimento, le coordinate dei nodi. Per

supportare questa fase iniziale di inserimento si è voluto utilizzare

come supporto il programma Geogebra il quale è un sistema

di geometria dinamica: permette la costruzione di punti, vettori,

segmenti, rette, coniche e funzioni, modificandoli in tempo reale. Per

altro verso, equazioni e coordinate possono essere inserite

direttamente. In questo modo, Geogebra ha la possibilità di trattare

variabili numeriche, vettori e punti.

Figura 6: inizializzazione con programma Geogebra

L’iter logico di costruzione delle mesh è stato quello, inizialmente, di disegnare su Geogebra,

leggere le coordinate dei punti e copiarle a mano su MatLab confrontandole con i modelli

realizzati in Straus7. Questo, in particolare, per la prima e la seconda mesh.

Per realizzare, invece, le restanti discretizzazioni si sono volute

realizzare inizialmente in Straus7 per poi importarle su MatLab. In

particolare in MatLab bisogna prestare attenzione alla fase di

connessione. In particolare la connessione degli elementi viene

descritta dalla matrice di connettività LCOG, avente numero di

righe pari al numero di elementi che compongono la piastra e

numero di colonne pari ai nodi che compongono il singolo

elemento. La connessione dei nodi con l’elemento viene definita

rigorosamente in senso antiorario facendo attenzione a non partire

dai nodi centrali. Pertanto definiti vnodi e LCGO MatLab è in

grado di calcolare e restituire la prima stampa contenente la

rappresentazione della geometria della piastra nel grafico intitolato

“Discretizzazione”. Per la risoluzione del problema della

trasmissione del calore, è necessario generare una matrice che

contenga le conducibilità e carico termico del materiale rispetto

agli elementi finiti corrispondenti. Queste proprietà vengono inserite nella matrice che ha

exe

numero di righe uguale al numero di elementi che costituiscono la piastra e due colonne:

la prima colonna indica la conducibilità del materiale;

• la seconda colonna indica il carico termico applicato all’i-esimo elemento;

• q

Nel caso in esame sono stati attribuiti si seguenti coefficienti di

conducibilità:

• k = 0.73 W/(cm°C );

ferro

• k = 3.86 W/(cm°C);

rame

In seguito si sono volute definire le condizioni al contorno (che

riguardano la temperatura) attraverso ncv che sta ad indicare il

numero di nodi in cui sono imposti i vincoli. Allo stesso modo in

seguito è stata definita la matrice BL che ha rispettivamente: numero

di righe corrispondenti al numero di nodi in cui sono imposte le

condizioni al contorno e due colonne, in cui nella prima è indicata

la numerazione dei nodi vincolati e nella seconda la direzione dello

“spostamento bloccato”. Infine le condizioni al contorno

(temperature) vengono inserite all’interno della matrice Uimp che

presenta un numero di righe pari al numero di nodi in cui viene

imposta la temperatura e due colonne rispettivamente:

• prima colonna: viene indicato il numero del nodo vincolato;

• seconda colonna: la direzione vincolata;

Una volta inserite le proprietà geometriche, le proprietà dei materiali e le condizioni al

contorno, attraverso il programma heat2d si possono calcolare le temperature in ogni punto

del dominio e graficarne l’andamento nel plot:

Figura 7: Andamento temperatura caso carico zero

Nella Figura è stato rappresentato l’andamento della temperatura rispetto alla prima

discretizzazione andando a considerare la superficie rettangolare in ferro e la superficie

tratteggiata in rame con carico nullo. Il risultato ottenuto è il seguente: la temperatura è

massima nel bordo superiore e minima in quello inferiore. All’interno dello script si è

specificata la posizione dei tre punti di controllo nella matrice u (matrice delle temperature

nodali) in modo da avere in output i valori delle temperature nei punti. Il flusso, invece, viene

calcolato con la funzione sostituendo a seconda del flusso che si vuole calcolare (x o

SFEM

y) la direzione in valore 1 per il flusso in x e 2 per il flusso lungo y. In output sono

comp:

restituiti due grafici: Figura 8

Figura 9

-Flusso X che indica l’andamento del flusso in direzione X (figura8);

-Flusso Y che ne indica l’andamento in direzione Y (figura9).

Nello script abbiamo inserito alcune righe di comando dove, in input sono stati definiti i flussi degli

elementi che condividono il punto di controllo e in output vengono restituiti i valori di flusso_x e

flusso_y nei punti di controllo. In particolare l’output viene calcolato come media dei flussi calcolati

negli elementi circostanti:

disp('Flusso nei punti di controllo');

disp('flusso nel punto A = 4')

fl_x_a1=SFEM(2,NP,NP,1);

fl_y_a1=SFEM(2,NP,NP,2);

fl_x_a2=SFEM(9,NP,NP,1);

fl_y_a2=SFEM(9,NP,NP,2);