Esercitazione di Microeconomia

C

x = 6; 875

2

Si ricava che l’e¤etto di sostituzione è

C 11

x x = 0:3125

1

e l’e¤etto di reddito è 21 C

x x = 0:0625

1

Come si vede i due e¤etti sono di segno opposto e tendono a compensarsi.

Esercizio 2

L’utilità di un individuo dipende dalla sua salute e dal consumo. La salute

è misurata dalla speranza di vita residua, ovvero da quanti anni l’individuo,

date le sue caratteristiche e i suoi stili di vita, può attendersi di vivere ancora.

a 1 a

Sia quindi l’utilità dell’individuo data dalla funzione U = L C dove L è la

speranza di vita residua, misurata in anni, e C il consumo di un bene composito.

Sia il prezzo del bene composito p = 10. Per la speranza di vita, ovviamente,

C

non c’è un mercato e non c’è quindi un prezzo di mercato. L’obiettivo di questo

esercizio è determinare quanto vale per l’individuo un anno di speranza di vita

in più, ovvero quanto l’individuo sarebbe disposto a spendere per un anno di

vita in più.

Siano inizialmente L = 40 e C = 80:

a) A quanto consumo l’individuo è disposto è rinunciare (al massimo) per

aumentare marginalmente la sua speranza di vita? Quanto vale questa rinuncia,

ovvero quanto è disposto l’individuo a pagare per un aumento unitario nella

speranza di vita? 2

b) La popolazione è composta da 10 individui identici. Supponete che il

governo abbia in cantiere una nuova politica sanitaria che potrebbe portare a

un aumento della speranza di vita della popolazione pari a 1,5 anni. Il suo costo

è però pari 100. Per quali valori di a il bene…cio della politica (ovvero il totale

di quanto sarebbero disposti gli indiviudi a pagare) supera i suoi costi?

c) Supponente che la speranza di vita residua di un individuo deceduto in

un incidente stradale fosse pari a 25 anni. Questo individuo si aspettava di

percepire un reddito di 100 euro all’anno per tutti gli anni di vita residui e di

consumare ogni anno tutto il suo reddito. Un giudice stabilisce un risarcimento

per i suoi eredi pari a 2500 euro, pari al reddito che avrebbe percepito nel resto

della sua vita. Ritenete questo risarcimento congruo? (rispondere sulla base di

quanto trovato nei punti a) e b))

Soluzione

1) La disponibilità (marginale) a pagare per un bene è pari al saggio mar-

ginale di sostituzione moltiplicato per il prezzo del bene cui si rinuncia.

1.a) A quanto consumo di rinuncia?

Supponente di mettere L in ascissa e C in ordinata. Per mantenere costante

l’utilità, si deve scambiare L con C secondo il saggio marginale di sostituzione.

0

U

dC = SM S = e quindi per "pagare" una variazione mar-

Sappiamo che L

CL 0

dL U C 0

U dL: Poiché

ginale positiva in L siamo dispositi a rinunciare al massimo a dC = L

0

U C

a C

SM S = , un aumento unitario nella speranza di vita, cioè dL = 1 deve

CL 1 a L a C a

essere compensato con una riduzione nel consumo pari a dC = = 2

1 a L 1 a

Il valore della riununcia, ovvero la disponibilità massima a pagare, è dC

a

a p = 20

p = 2

C C

1 a 1 a

1.b) Dieci persone identiche sono disposte a pagare per la politica che au-

C

a ) dL

menta la speranza di vita di dL = 1:5 un ammontare pari a 10 ( 1 a L

a a

p ) che fa 300 : I bene…ci della politica superano i costi se 300 > 100

C 1 a 1 a

1

ovvero se a > :

4

1.c) Per questa persona la disponibilità a pagare per un anno di vita residua è

a 100 a

pari a SM S p = 10 = 40 . Poiché muore nell’incidente, subisce

CL C 1 a 25 1 a a : Il risarcimento

una perdita di 25 anni di vita residua che "valgono" 25 40 1 a

a 57

ovvero se a < :

stabilito dal giudice è adeguato se 2500 > 1000 1 a

Esercizio 3

Un consumatore è dotato di una funzione di utilità U (x; y) = min[2x; y]

dove x e y sono le quantità di due beni i cui prezzi sono p e p . Il reddito del

x y

consumatore è I:

a) Determinare le curve di domanda dei due beni

b) Dupponiamo che il governo introduca un’accisa sul bene x pari a T:

Determinare l’elasticità della domanda dei due beni rispetto all’accisa e valutare

se la domanda è elastica o anelastica.

c) Determinare il livello dell’accisa per cui il gettito del governo è massimiz-

zato.

Soluzione 3

Il consumatore ha una utilità a la Leontie¤....

Esercizio 4

Le preferenze di un consumatore sui beni x e y sono rappresentabili con la

2

1 y : I prezzi sono p = 10, p = 10 e il reddito è

funzione di utilità U = x 3 3 x y

I = 300:

a) calcolare la scelta del consumatore.

b) supponete che il prezzo del bene x cresca a p = 20. Calcolare la nuova

x

scelta del consumatore.

c) utilizzando il metodo di Hicks, scomporre la variazione nel consumo de-

terminata ai punti precedenti in e¤etto di reddito e sostituzione.

Soluzione p

a) la scelta iniziale del consumatore, derivante dal sistema SM S = e

x

yx p

y

vincolo di bilancio è: x = 10 e y = 20

1 1

b) dopo l’aumento del prezzo, la scelta …nale del consumatore è: x = 5 e

2

y = 20

2 0

p

c) la scelta compensata deriva dal sistema SM S = e U (x; y) = U (x ; y ),

x

yx 1 1

p

y

ovvero 1 y =2 (1)

2 x

1=3 2=3 1=3 2=3 2=3

x y = 10 20 = 10 2 15:87 (2)

la cui soluzione è 40

10

x = e y = (3)

c c

2=3 2=3

2 2

L’e¤etto di sostituzione è x x e l’e¤etto di reddito è x x . Entrambi

c 1 2 c

gli e¤etti sono negativi.

Esercizio 5 p p

La funzione di utilità di un consumatore è U = x + y: Il consumatore

dispone di un reddito iniziale pari a I: I prezzi dei beni sono p = p = 1.

x y

a) determinare il paniere scelto dal consumatore

b) per coprire un buco di bilancio, il governo valuta l’introduzione dell’IVA

sul bene x e deve deciderne l’aliquota. Indichiamo con t l’aliquota IVA. Il prezzo

del bene x comprensivo di IVA sarà quindi 1 + t: Dato t, determinare la nuova

scelta del consumatore.

c) usando il metodo di Slutsky, scomporre la variazione nel consumo di bene

x in e¤etto di reddito e di sostituzione.

d) calcolare l’elasticità dell’e¤etto di sostituzione rispetto all’aliquota …scale.

Soluzione

Esercizio 1) p y

a) il SM S è pari a : La scelta del consumatore che deriva dal sistema

yx x r y p x

= =1

x p y

x + y = I

4

è quindi I

1 1

x = y = 2

b) dopo l’introduzione dell’IVA, la nuova scelta del consumatore risolve il

sistema r 0

y p x

= =1+ t

x p y

(1 + t)x + y = I

e sarà pari a I

1

x = (1 + t)(2 + t)

(1 + t)I

1

y = 2+ t

c) il vincolo di bilancio compensato che passa per la scelta iniziale del con-

sumatore, applicando i nuovi prezzi è

(1 + t)x + y = I + p x

x I

dove p x è la compensazione applicata, pari a t . La scelta compensata

x 2

risolve allora il sistema r 0

p

y x

= =1+ t

x p y I

(1 + t)x + y = I + t 2

e vale I(2 + t) I

C

x = =

2(1 + t)(2 + t) 2(1 + t)

(1 + t)I

C

y = 2 I I I t

S C 1

L’e¤etto di sostituzione è x = x x = = . L’e¤etto

2(1+t) 2 2 1+t

I I I t

I 2 C

di reddito è x = x x = =

(1+t)(2+t) 2(1+t) 2 (1+t)(2+t)

d) l’elasticità dell’e¤etto di sostituzione è

S t

@ x t I 1 t =

= :

I

S 2

@t x 2 (1 + t) 1+ t

2(1+t)

Esercizio 6

1) Per un consumatore il bene 1 e il bene 2 sono perfetti sostituti. Egli

è sempre disposto a scambiare una unità di bene 1 con una unità di bene 2,

5

mantenendo invaritata la sua utilità. Supponiamo che il bene 1 sia un bene

meritorio, il cui consumo è importante nella prospettiva del governo, per cui il

governo paga al consumatore un sussidio percentuale pari a s per unità acquis-

tata …no a un massimo di 10 unità. Ad esempio se il consumatore acquistasse

15 unità di bene 1, riceverebbe il sussidio sulle prime 10 e pagherebbe il prezzo

pieno sulle ulteriori 5 unità. Siano p e p = 1=2 i prezzi di mercato dei beni e

1 2

sia I = 20 il reddito del consumatore. Il prezzo delle unità di bene 1 sussidiate

è quindi (1 s)p .

1

a) scrivere il vincolo di bilancio e poi, supponendo p = 1 e s = 1=2, rapp-

1

resentarlo gra…camente.

b) sia s = 1=2. Determinare la curva di domanda del bene 1 al variare di p 1

c) sia p = 1. Determinare la curva di domanda del bene 1 al variare di s

1

d) sia p = 1. Per …nanziare il sussidio il governo impone una tassa pro-

1

porzionale sul reddito del consumatore di aliquota pari a t. Quale combinazione

di sussidio e tassa massimizza l’utilità del consumatore, imponendo il vincolo di

bilancio pubblico in pareggio?

Soluzione

a) il vincolo di bilancio è rappresentabile come una funzione lineare e con-

tinua con un punto angoloso in x = 10. L’intercetta verticale è data dal

1

punto (0; 40) e non dipende né da p né dal sussidio. La pendenza è pari a

1

2p (1 s) nell’intervallo 0 x 10 e pari a 2p per x > 1. Al crescere di s, il

1 1 1 1

punto angoloso si sposta in alto lungo la retta verticale x = 10. Formalmente,

1

l’equazione del vincolo di bilancio è

1 x = 20 per 0 x 10

(1 s)p x + 2 1

1 1 2

1

p x + x = 20 + 10p s per x > 10

1 1 2 1 1

2

Il punto angoloso ha allora coordinate (10; 20(2 p (1 s))) e l’intercetta oriz-

1

zontale è (20=p + 10s; 0).

1

b) per s = 1=2 il vincolo di bilancio diventa

p x + x = 40 per 0 x 10

1 1 2 1

2p x + x = 40 + 10p per x > 10

1 1 2 1 1

1

il punto angoloso è (10; 20(2 p )) e l’intercetta orizzontale è (20=p + 5). In

1 1

2

valore assoluto, la pendenza del primo tratto è p e la pendenza del secondo

1

tratto è 2p . La scelta del consumatore dipende dal confronto tra la pendenza

1

del vincolo di bilancio e la pendenza delle curve di indi¤erenza (che è costante

e sempre pari a 1 in valore assoluto). Se 2p < 1 allora si ha anche che p < 1

1 1

e quindi l’intero vincolo ha pendenza inferiore al vincolo di bilancio. Quindi

la scelta del consumatore sarà l’intercetta orizzontale. Se 1=2 < p < 1 allora