Esercitazione 7 Statistica e calcolo delle probabilità

Calcolo delle Probabilità e Statistica Foglio 7

Ingegneria Automatica e Informatica

a.a. 2021/2022

Esercizio 1

Sia una variabile aleatoria geometrica con parametro

Calcolare P(X > n)

P(X > n + s|X > s).

e X Y

Esercizio 2

Siano e due variabili aleatorie di Bernoulli i.i.d. con parametro

1 |X - |.

U = X + Y V = Y.

Siano, inoltre e U e V sono indipendenti?

Esercizio 3

L'urna A contiene 4 palle bianche e 3 nere; l'urna B contiene 3 palle bianche e 7 nere.

Si sceglie un'urna a caso da cui si pesca una palla.

Qual è la probabilità che la palla pescata sia nera?

Se la palla è bianca, qual è la probabilità che sia stata scelta l'urna A?

Esercizio 4

Una singola carta viene rimossa, a caso, da un mazzo di 52 carte.

Dal resto del mazzo si pescano due carte che risultano essere delle picche.

Qual è la probabilità che anche la prima carta fosse di picche? n

Esercizio 5

Una sera, un portiere confuso prova ad

Appendere chiavi ai rispettivi ganci, ma riesce soltanto ad appenderle indipendentemente a caso (nessun limite al numero di chiavi appese a ciascun gancio). Determinare un'esperienza per la probabilità che almeno una chiave sia stata appesa al proprio gancio.

La sera seguente, dopo essere stato rimproverato dall'amministratore, il portiere sta attento ad appendere una sola chiave a ciascun gancio, ma riesce soltanto ad appendere le chiavi a caso. Determinare un'esperienza per la probabilità che nessuna chiave sia appesa al proprio gancio.

In entrambi i casi determinare il valore atteso e la varianza del numero di chiavi appese al proprio gancio.

X Y

Esercizio 6

Si supponga che X e Y siano due variabili aleatorie identicamente distribuite (non necessariamente indipendenti). Mostrare che Cov(X, Y) = 0.

Esercizio 7

Se 10 coppie sposate sono sedute a caso intorno ad un tavolo rotondo, calcolare:

(a) il valore atteso

(b) la varianza del numero di mogli

sedute vicino al proprio marito.X λ.Esercizio 8 Sia una variabile aleatoria di Poisson con parametro Calcolare1E[ ]1+X 2X µ = 10 σ = 36,Esercizio 9 Se è una variabile normale di parametri ecalcolare{XP < 4}(A) {XP > 16}(B) {4P < X < 16}(C) XEsercizio 10 Si supponga che sia una variabile aleatoria normale con media{X5. P > 9} = 0.2,Se quanto vale approssimativamente Var(X)?65%Esercizio 11 Il della popolazione di una vasta comunità è a favore di unaproposta di aumento delle tasse scolastiche. Approssimare la probabilità che uncampione casuale di 100 persone contenga:(A) almeno 50 persone favorevoli alla proposta(B) tra 60 e 70 persone favorevoli alla proposta(C) meno di 75 persone favorevoli alla propostaEsercizio 12 Lo spessore (in centimetri) di una lamina di alluminio prodottaµ = 0.9000 σ = 0.0025.in una data fabbrica è distribuita normalmente con e La±0.9000 0.0050.lamina è considerata

difettosa se il suo spessore supera i limiti di(A) Qual è la percentuale di lamine difettose?σ(B) Qual è il massimo valore di tale per cui non vi sia più dell'1% di lamine difettose? Pag. 2 di 2