Esercitazione 11 Statistica e calcolo delle probabilità

Esercizio 7

Cinquanta numeri sono arrontondati all'intero più vicino e quindi sono sommati. Se l'errore di arrotonamento di ogni singolo numero si distribuisce (-0.5, 0.5), come una variabile uniforme, su quale è la probabilità che la somma dei valori approssimati differisca dalla somma dei valori iniziali per più di 3?

Esercizio 8

Un dado viene lanciato fintanto che la somma totale dei valori ottenuti non superi 300. Qual è la probabilità che sia necessario fare almeno 80 lanci?

Esercizio 9

Si consideri il seguente gioco con i dadi. Si lancia una coppia di dadi. Se la somma è 7 il gioco finisce e si vince 0. Se la somma non è 7, allora si può decidere di fermarsi e si vince un importo pari alla somma dei punteggi, oppure si può decidere di ricominciare. Calcolare il valore atteso della vincita (per ciascun valore i, i = 2, ..., 12) se si decide di utilizzare la strategia di fermarsi la prima volta che si ottiene un valore diverso da 7. X

pari almeno ad Suggerimento: Sia la vincita quandoii. E[X ],il valore critico è Per calcolare condizionare sul valore della somma deiipunteggi del primo lancio.

Esercizio 10 Il proprietario di un negozio di televisori stima che il 45 per centodei clienti che entrano nel negozio compreranno un televisore normale, il 15 percento comprerà un televisore al plasma ed il restante 40 per cento visiterà il negoziosenza comprare niente. Se 5 clienti entrano nel negozio in un dato giorno, qual èla probabilità che venderà esattamente 2 televisori normali ed 1 al plasma?

Esercizio 11 Supponiamo che la distribuzione del tempo di vita di una macchina3λ(t) = t , t > 0.abbia una funzione di rischio Qual è la probabilità che:

(A) la macchina sopravviva più di due anni;

(B) il tempo di vita della macchina sia compreso tra 0,4 e 1,4;

(C) una macchina che ha 1 anno sopravviva più di due anni?

X (0, 1) Y

Esercizio 12 Sia distribuita

uniformemente su e sia una variabile X, λ = 1.aleatoria esponenziale, indipendente da con parametro Determinare laZ = X + Y W = X/Ydistribuizione di e .XEsercizio 13 Sia una variabile aleatoria continua con funzione di distribuzioneF Y Y = F (X). Yuguale a . Sia la variabile aleatoria Qual è la distribuzione di ?Pag. 2 di 3U [0, 1]Esercizio 14 Sia una variabile aleatoria con distribuzione uniforme inY Fe sia una variabile aleatoria con funzione di distribuzione uguale a . Qual èY−1F (U )?la distribuzione della variabile aleatoria YEsercizio 15 Si girano, una alla volta, le carte di un mazzo francese ben mesco-lato . Se la prima carta è un asso, oppure la seconda un due, . . . , oppure latredicesima un re, diciamo che c’è un accoppiamento. Calcolare il numero attesodi accoppiamenti.Esercizio 16 Il numero di temporali invernali in un anno buono è una variabiledi Poisson di media 3, mentre tale numero in un anno cattivo è una

variabile di Poisson di media 5. Se il prossimo anno sarà buono con probabilità 0.4 o cattivo con probabilità 0.6, determinare il valore atteso e la varianza del numero di tempi alche capiteranno nel prossimo inverno.

Esercizio 17 Provare che E[X] = E[X|X < a]P (X < A) + E[X|X a]P (X > a) ed utilizzare tale uguaglianza per provare la diseguaglianza di Markov, la quale afferma che se P (X 0) = 1, a > 0 allora per ogni E[X] ≥ ≤P (X a) a L

Esercizio 18 Due punti sono scelti a caso su un segmento di lunghezza in maniera tale che giacciano nelle due opposte metà del segmento. In altre parole, X e Y sono variabili aleatorie indipendenti tali che X è distribuita uniformemente (0, L/2) e Y è distribuita uniformemente su (L/2, 1). Calcolare la probabilità che la distanza tra questi punti sia maggiore di L/3.

Esercizio 19 Tre punti sono scelti a caso su un segmento di lunghezza L. Qual è la

Qual è la probabilità che giaccia 1, 2, 3, 2X, Xfra e ?1 3

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