Esercitazione 10 Statistica e calcolo delle probabilità

Calcolo delle Probabilità e Statistica Foglio 10

Ingegneria Automatica e Informatica

a.a. 2021/2022 U

Esercizio 1

Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti con distribuzione uniforme in (0, 1). Determinare la distribuzione e la densità di probabilità di Y = max(U, V) e X = min(U, V).

Esercizio 2

Siano X e Y due variabili aleatorie esponenziali indipendenti di parametri λ1 e λ2, rispettivamente, e Z = X + Y. Calcolare la funzione di densità di probabilità di Z.

Esercizio 3

Due numeri sono scelti indipendentemente e uniformemente a caso nell'intervallo [0, 1]. Calcolare la probabilità che la loro somma sia maggiore di 1. Inoltre, calcolare il valore atteso e la varianza della somma.

Esercizio 4

L'indice di gradimento di un determinato prodotto è stimato essere, su base nazionale, del 70%. In un'indagine di mercato svolta in una singola provincia si osserva, in un campione aleatorio di 900 persone, che 714

gradiscono il prodotto (e le rimanenti 186 no). Questi dati supportano l'ipotesi che l'indice di degrado del prodotto all'interno della provincia siano significativamente diversi dalla media nazionale?

Esercizio 5 Un dado viene lanciato 486 volte. Gli esiti dei lanci sono riportati nella tabella seguente:

Questi dati sono sufficienti a smentire l'ipotesi che si tratti di un dado equilibrato?

Esercizio 6 Una famiglia ha due figli. Sapendo che uno dei due è maschio, e supponendo che ciascun figlio sia, indipendentemente, maschio o femmina con probabilità 1/2, qual è la probabilità che anche l'altro sia maschio?

Se, invece, sapessimo che il più piccolo dei due è maschio, quale sarebbe la probabilità che anche l'altro sia maschio?

Esercizio 7 Si consideri un'urna contenente 12 palline, 8 delle quali sono bianche. Se ne estraggono 4 a caso.

Esercizio 8: Una foresta contiene 20 alci, dei quali 5 vengono catturati, marchiati e quindi liberati. Dopo un certo tempo 4 dei 20 alci vengono catturati. Qual è la probabilità che 2 di essi siano marchiati? Che ipotesi state facendo?

Esercizio 9: Due scuole hanno il club di scacchi formato, rispettivamente, da 8 e 9 giocatori. Quattro membri di ognuno dei due club vengono scelti a caso per una gara interscolastica. I 4 giocatori selezionati in ognuno dei due club vengono appaiati con quelli dell'altro e giocano una partita a scacchi. Supponiamo che Rebecca e sua sorella Elisa siano membri del club di scacchi di due scuole differenti. Qual è la probabilità che:

1. Rebecca ed Elisa giochino assieme;
2. Rebecca ed Elisa vengano appaiate in partite separate.

scelte per rappresentare le loro rispettive scuole, ma non giochino una contro l'altra;

(c) solo una tra Rebecca ed Elisa sia scelta per rappresentare la sua scuola?

Esercizio 10

12 amici decidono di dividersi in due squadre da 5 giocatori l'una e un allenatore per ciascuna squadra. In quanti modi possono farlo?

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