Analisi I – prova d'esame

R

Esercizio 2

Determinare una funzione A(x, y) in modo che la forma differenziale

1

−

ω = A(x, y)dx dy

x

risulti esatta.

Esercizio 3

Enunciare e provare il teorema di Fermat per le funzioni di due variabili.

Posizione dello studente nell’aula: ( , )

La posizione consiste di due coordinate: la prima indica la fila in cui è situato

lo studente (il verso è dalla cattedra al fondo dell’aula), la seconda riguarda

la colonna (contando a partire dalla sinistra dello studente).

Prova scritta di Analisi Matematica 2

Corso di laurea in Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio

7/9/04 (a.a. 2003/2004)

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Cognome e nome:

Matricola:

Svolgere i seguenti tre esercizi giustificando, in italiano, i passaggi in modo

chiaro e corretto (non si accettano abbreviazioni stile messaggini ). Menzio-

nare i teoremi che intervengono nella risoluzione degli esercizi.

Esercizio 1

Calcolare l’integrale ZZ |x + 2y|dxdy ,

Q 2

×

dove Q è il rettangolo [0, 1] [−2, 0] di .

R

Esercizio 2

Determinare il gradiente della funzione

xy sen x

 − 6

y se (x, y) = (0, 0)

p

 2 2

x + y

f (x, y) =  0 se (x, y) = (0, 0)

nel punto (x, y) = (0, 0).

Esercizio 3

Spiegare per quale motivo le serie a termini positivi non possono essere

indeterminate.

Posizione dello studente nell’aula: ( , )

La posizione consiste di due coordinate: la prima indica la fila in cui è situato

lo studente (il verso è dalla cattedra al fondo dell’aula), la seconda riguarda

la colonna (contando a partire dalla sinistra dello studente).

Prova scritta di Analisi Matematica 2

Corso di laurea in Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio

8/11/04 (a.a. 2003/2004)

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Cognome e nome:

Matricola:

Svolgere i seguenti tre esercizi giustificando, in italiano, i passaggi in modo

chiaro e corretto (non si accettano abbreviazioni stile messaggini ). Menzio-

nare i teoremi che intervengono nella risoluzione degli esercizi.

Esercizio 1

Calcolare l’integrale ZZ |2x + y|dxdy ,

Q 2

×

dove Q è il rettangolo [−2, 0] [0, 1] di .

R

Esercizio 2

Determinare il gradiente della funzione −

 xy sen(x 2y)

− 6

x + 2y se (x, y) = (0, 0)



 p 2 2

x + 3y

f (x, y) =  0 se (x, y) = (0, 0)



nel punto (x, y) = (0, 0).

N.B. Se si svolgono troppi calcoli significa che non si è scelto il metodo più

appropriato alla risoluzione dell’esercizio.

Esercizio 3

Spiegare per quale motivo le serie a termini positivi non possono essere

indeterminate.

Posizione dello studente nell’aula: ( , )

La posizione consiste di due coordinate: la prima indica la fila in cui è situato

lo studente (il verso è dalla cattedra al fondo dell’aula), la seconda riguarda

la colonna (contando a partire dalla sinistra dello studente).

Prova scritta di Analisi Matematica 2

Corso di laurea in Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio

25/1/05 (a.a. 2003/2004)

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Cognome e nome:

Matricola:

Svolgere i seguenti tre esercizi giustificando, in italiano, i passaggi in modo

chiaro e corretto (non si accettano abbreviazioni stile messaggini ). Menzio-

nare i teoremi che intervengono nella risoluzione degli esercizi.

Esercizio 1

Determinare l’insieme dei valori assunti dalla seguente funzione:

|xy

f (x, y) = + exp x| .

Esercizio 2

Determinare una funzione φ(x, y) in modo che il seguente integrale curvilineo

risulti nullo: Z φ(x, y) dx + x dy ,

γ

∈

dove γ(t) = (cos2t, 2 sen t), t [0, 2π].

Esercizio 3

Provare che una serie geometrica converge se e solo se la sua ragione è in

valore assoluto minore di uno.

Posizione dello studente nell’aula: ( , )

La posizione consiste di due coordinate: la prima indica la fila in cui è situato

lo studente (il verso è dalla cattedra al fondo dell’aula), la seconda riguarda

la colonna (contando a partire dalla sinistra dello studente).

Prova scritta di Analisi Matematica 2

Corso di laurea in Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio

8/2/05 (a.a. 2003/2004)

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Cognome e nome:

Matricola:

Svolgere i seguenti tre esercizi giustificando, in italiano, i passaggi in modo

chiaro e corretto (non si accettano abbreviazioni stile messaggini ). Menzio-

nare i teoremi che intervengono nella risoluzione degli esercizi.

Esercizio 1

Determinare l’insieme dei valori assunti dalla seguente funzione:

|2 −

f (x, y) = cos x + xy| .

Esercizio 2

Calcolare l’integrale ZZ |x −

+ y 2|dxdy ,

C

√ 2

dove C è il cerchio di raggio 2 col centro nell’origine di .

R

Esercizio 3

Spiegare per quale motivo le serie a termini positivi non possono essere

indeterminate.

Posizione dello studente nell’aula: ( , )

La posizione consiste di due coordinate: la prima indica la fila in cui è situato

lo studente (il verso è dalla cattedra al fondo dell’aula), la seconda riguarda

la colonna (contando a partire dalla sinistra dello studente).

Prova scritta di Analisi Matematica II

Corso di laurea in Ingegneria Informatica

19/4/05 (a.a. 2004/2005) - Prova “in itinere”

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Cognome e nome:

Matricola:

Svolgere i seguenti tre esercizi giustificando, in italiano, i passaggi in modo chiaro e corretto

(non si accettano abbreviazioni stile messaggini ). Menzionare i teoremi che intervengono

nella risoluzione degli esercizi.

Esercizio 1

Determinare la soluzione generale (in campo reale) della seguente equazione differenziale:

000 x

− −

y y = xe 2x

Esercizio 2

Determinare una funzione b(x, y) in modo che il campo vettoriale

1

v = i + b(x, y) j

y

risulti conservativo.

Esercizio 3

Provare che il prodotto di due numeri complessi ha per modulo il prodotto dei moduli e

per argomento la somma degli argomenti.

Posizione dello studente nell’aula: ( , )

La posizione consiste di due numeri naturali (come per gli elementi di una matrice): il

primo indica la fila in cui è situato lo studente (il verso è dalla cattedra al fondo dell’aula),

il secondo riguarda la colonna (contando a partire dalla sinistra dello studente).

Prova scritta di Analisi Matematica II

Corso di laurea in Ingegneria Informatica

28/6/05 (a.a. 2004/2005) - Prova n. 1

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Cognome e nome:

Matricola:

Svolgere i seguenti tre esercizi giustificando, in italiano, i passaggi in modo chiaro e corretto

(non si accettano abbreviazioni stile messaggini ). Menzionare i teoremi che intervengono

nella risoluzione degli esercizi.

Esercizio 1

Un recipiente sferico di raggio r contiene un liquido di livello h. Determinare il volume

V (h) di detto liquido.

N.B. Lo svolgimento dell’esercizio verrà preso in considerazione solo se la funzione V (h)

trovata verifica le ovvie condizioni di compatibilità corrispondenti ai seguenti tre casi:

recipiente vuoto; recipiente mezzo pieno; recipiente pieno.

Esercizio 2

Tra tutte le soluzioni (reali) dell’equazione differenziale

00 −

y = y + 2 cos x

determinare quelle che risultano limitate nell’intervallo (0, +∞).

Esercizio 3

Stabilire (applicando importanti teoremi di analisi matematica) quali dei seguenti valori

2 −

sono assunti dalla funzione f (x, y) = x y nel cerchio chiuso di raggio 1 e centro nell’o-

2

rigine di :

R √ √

−1/2, −1, −

0, 1, 3, 3/2, 5/4, π/2, 2, π/3, 2.

Posizione dello studente nell’aula: ( , )

La posizione consiste di due numeri naturali (come per gli elementi di una matrice): il

primo indica la fila in cui è situato lo studente (il verso è dalla cattedra al fondo dell’aula),

il secondo riguarda la colonna (contando a partire dalla sinistra dello studente).

Prova scritta di Analisi Matematica II

Corso di laurea in Ingegneria Informatica

12/7/05 (a.a. 2004/2005) - Prova n. 2

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Cognome e nome:

Matricola:

Svolgere i seguenti tre esercizi giustificando, in italiano, i passaggi in modo chiaro e corretto

(non si accettano abbreviazioni stile messaggini ). Menzionare i teoremi che intervengono

nella risoluzione degli esercizi.

Esercizio 1 →

Determinare il valore f (2) assunto dalla funzione f : che verifica le seguenti

R R

0 2 −1.

condizioni: f (x) + x (f (x) + 1) = 0, f (1) =

Esercizio 2

Calcolare l’integrale curvilineo Z 2

y ds ,

c −1).

dove c è la circonferenza di raggio 1 e centro (1,

Esercizio 3

Stabilire (applicando importanti teoremi di analisi matematica) per quali valori del para-

2 2 −

metro λ la funzione f (x, y) = x + y λ si annulla in almeno un punto del cerchio chiuso

λ −1).

di raggio 1 e centro (1,

Posizione dello studente nell’aula: ( , )

La posizione consiste di due numeri naturali (come per gli elementi di una matrice): il

primo indica la fila in cui è situato lo studente (il verso è dalla cattedra al fondo dell’aula),

il secondo riguarda la colonna (contando a partire dalla sinistra dello studente).

Prova scritta di Analisi Matematica II

Corso di laurea in Ingegneria Informatica

6/9/05 (a.a. 2004/2005) - Prova n. 3

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Cognome e nome:

Matricola:

Svolgere i seguenti tre esercizi giustificando, in italiano, i passaggi in modo chiaro e corretto

(non si accettano abbreviazioni stile messaggini ). Menzionare i teoremi che intervengono

nella risoluzione degli esercizi.

Esercizio 1

Calcolare l’integrale ZZ |x − 2y|dxdy ,

Q 2

×

dove Q è il rettangolo [0, 1] [−1, 1] di .

R

Esercizio 2

Determinare l’insieme dei valori assunti dalla funzione

3

f (x, y) = 8

|y

1 + + 4| + 2x

Esercizio 3

Provare che, fissato ω > 0, le funzioni cos ωx e sen ωx sono linearmente indipendenti (nello

∞ ∞

spazio vettoriale C (R) delle funzioni di classe C da in sé).

R

Posizione dello studente nell’aula: ( , )

La posizione consiste di due numeri naturali (come per gli elementi di una matrice): il

primo indica la fila in cui è situato lo studente (il verso