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7→

(19) Indichiamo con A l’insieme proposto. Poiché z log z è (strettamente) crescente, si ha

3

|x−1| ⇐⇒ |x − ⇐⇒ 6 ∪

3 > 1 1| > 0 x = 1. Quindi, essendo A = (0, 1) (1, +∞), si ha inf A = 0,

sup A = +∞. 7→

(20) Indichiamo con A l’insieme proposto. Poiché z log z è (strettamente) decrescente, si ha

1/2 √

2 1−8

12 1

x−2 x 2 2 2 ∈

⇐⇒ − ⇐⇒ − − ⇐⇒

( ) > ( ) /

x 2 < x x x + 2 > 0, e poiché x x + 2 = 0 x = R,

2 2

2 − ∈ ∈

si ha x x + 2 > 0 per ogni x Quindi la disequazione proposta ha soluzione per ogni x

R. R.

−1,

Quindi, essendo A = [−1, 3), si ha inf A = min A = sup A = 3.

(21) Indichiamo con A l’insieme proposto. Si ha  x

z = 2

x −

2 1 

x ⇐⇒

> 2 −

z 1

x −

2 3 > z.

 −

z 3

Poiché 2

− − − − −

z 1 z 1 z(z 3) z 4z + 1

⇐⇒ ⇐⇒

> z > 0 < 0

− − −

z 3 z 3 z 3

2 − ⇐⇒ ± − ±

e z 4z + 1 = 0 z = 2 4 1 = 2 3, si ha

√ √

z 1 _

⇐⇒ −

> z z < 2 3 3 < z < 2 + 3.

z 3

7→

Poiché z log z è (strettamente) crescente, si ha

2 √ √

x −

2 1 _

x x x

⇐⇒ −

> 2 2 < 2 3 3 < 2 < 2 + 3

x −

2 3 √ √

_

⇐⇒ −

x < log (2 3) log 3 < x < log (2 + 3).

2 2 2

√ √

− ∞, − ∪ −∞,

Quindi, essendo A = log (2 3) log 3, log (2 + 3) , si ha inf A = sup A =

2 2 2

(2 + 3).

log 2

(22) Indichiamo con A l’insieme proposto, e osserviamo che esso consiste nelle ordinate della funzione

2

12 12

3+x 4x

≥ 7→

f (x) = x + 4, corrispondenti alle ascisse x che soddisfano la condizione ( ) ( ) . Poiché z

2

12 12

3+x 4x 2 2

≥ ⇐⇒ ≤ ⇐⇒ − ≤

log z è (strettamente) decrescente, si ha ( ) ( ) 3 + x 4x x 4x + 3 0,

1/2 (

√ 1

2 2

− ⇐⇒ ± − ≤ ⇐⇒ ≤ ≤

4 3 =

e poiché x 4x + 3 = 0 x = 2 , si ha x 4x + 3 0 1 x 3.

3

⇐⇒ ≤ ≤

Quindi la disequazione proposta ha soluzione 1 x 3. Quindi, essendo A = im f = [5, 8],

si ha inf A = min A = 5, sup A = max A = 8.

(23) Indichiamo con A l’insieme proposto, e osserviamo che esso consiste nelle ordinate della funzione

2

12 1

2 3+x 4x

− ≥

f (x) = x 3, corrispondenti alle ascisse x che soddisfano la condizione ( ) ( ) . Poiché

2

7→

z log z è (strettamente) crescente, si ha

5 2 2

− ⇐⇒ −

log (4|x| x ) < 1 0 < 4|x| x < 5

5  

|x| |x|

z = z =

 

 

2

⇐⇒ ⇐⇒

z 4z < 0 0 < z < 4

 

2 −

z 4z + 5 > 0 z qualunque

 

⇐⇒ ∈ ∪

x (−4, 0) (0, 4).

−3,

Quindi, essendo A = im f = (−3, 13], si ha inf A = sup A = max A = 13.

3 z

7→

(24) Indichiamo con A l’insieme proposto. Poiché z 10 è (strettamente) crescente, si ha

( x+2 − 1 > 0

x +2

x +2 x+1

⇐⇒ ⇐⇒

< 1 1 < < 10

0 < log 10 x+2

x +1 x +1 − 10 < 0

x+1

( (

1 > 0 x +1 > 0

x+1

⇐⇒ ⇐⇒

−9x−8 −9x −

< 0 8 < 0

x+1

8

⇐⇒ −

x > .

9

89 89

Quindi, essendo A = (− , +∞), si ha inf A = , sup A = +∞.

(25) Indichiamo con A l’insieme proposto, e osserviamo che esso consiste nelle ordinate della funzione

x −

f (x) = 2 , corrispondenti alle ascisse x che soddisfano la condizione log (x + 5) + log (x 2) <

11 11

z

− 7→

log (3x 1). Poiché z 11 è (strettamente) crescente, si ha

11 

x +5 > 0

 −

x 2 > 0

− − ⇐⇒

log (x + 5) + log (x 2) < log (3x 1)

11 11 11 −

3x 1 > 0

 − −

(x + 5)(x 2) < 3x 1

( (

x> 2 x> 2

⇐⇒ ⇐⇒

2 2

− − − −

x + 5x 2x 10 3x + 1 < 0 x 9 < 0

⇐⇒ 2 < x < 3.

Quindi, essendo A = im f = (4, 8), si ha inf A = 4, sup A = 8.

z

7→

(26) Indichiamo con A l’insieme proposto. Poiché z 0, 7 è (strettamente) decrescente, si ha

x +1 > 0

 −

x 1 > 0

− − − ⇐⇒

2 log (x + 1) log (x 1) > log (3x 1)

0,7 0,7 0,7 −

3x 1 > 0

 2

 − −

(x + 1) < (3x 1)(x 1)

( (

x> 1 x> 1

⇐⇒ ⇐⇒

2 2 2

− − −2x

x + 2x + 1 3x + x + 3x 1 < 0 + 6x < 0

(

x> 1

⇐⇒ ⇐⇒ x > 3.

x< 0 x> 3

Quindi, essendo A = (3, +∞), si ha inf A = 3, sup A = +∞.

z

7→

(27) Indichiamo con A l’insieme proposto. Poiché z 10 è (strettamente) crescente, si ha

−8x −

2x + 1 29 29

2x + 1

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ∈ − −3

> 1 > 10 > 0 x , .

log 10 x +3 x +3 x +3 8

29

− −3.

Quindi, si ha inf A = , sup A =

8 4 z

7→

(28) Indichiamo con A l’insieme proposto. Poiché z 10 è (strettamente) crescente, si ha

2x + 1 > 0

x + 3 > 0

− ≤ ⇐⇒

log (2x + 1) log (x + 3) 1

10 10 2x + 1

 ≤ 10

 x +3

 1

x > 2

 ( 12

 −

x >

 ⇐⇒

⇐⇒ −8x − ≤

−8x − 29 0

29

 ≤ 0

 x +3

1

⇐⇒ −

x > .

2

12

Quindi, si ha inf A = , sup A = +∞.

(29) Indichiamo con A l’insieme proposto. Osserviamo dapprima che il dominio naturale della fun-

( 2 −

x 4x + 5 > 0

2 −

7→ ⇐⇒ −1, −1,

(x 4x + 5) è

zione x log x > e quindi, per ogni x > si

(x+1) x +1 > 0

ha 2 −

log (x 4x + 5)

2

2 − ⇐⇒ > 1

(x 4x + 5) > 1

log (x+1) (x + 1)

log 2 2 −

x 4x + 5

log

2 − − 2

(x 4x + 5) log (x + 1)

log x +1

2 2

⇐⇒ ⇐⇒

> 0 > 0.

log (x + 1) log (x + 1)

2 2

2 2 2

− − −

x 4x + 5 x 4x + 5 x 5x + 4 _

≥ ⇐⇒ ≥ ⇐⇒ ≥ ⇐⇒ −1 ≤ ≥

0 1 0 < x 1 x 4,

Ora log 2 x +1 x +1 x +1

⇐⇒ ⇐⇒

(x + 1) > 0 x + 1 > 1 x > 0, per cui

e log 2 _

2 − ⇐⇒

(x 4x + 5) > 1 0 < x < 1 x > 4.

log (x+1)

Quindi, si ha inf A = 0, sup A = +∞. √ 2

− ⇐⇒

(30) Indichiamo con A l’insieme proposto. Ricordando che sin x = sin(π x), si ha sin x = 2

( π ∈

+ 2kπ, k Z π 3π 9π 11π 17π 19π π

4

x = Quindi, A = , , , , , , per cui si ha inf A = min A = ,

4 4 4 4 4 4 4

3π ∈

+ 2kπ, k Z.

4 19π

sup A = max A = .

4 12 ⇐⇒

(31) Indichiamo con A l’insieme proposto. Ricordando che cos x = cos(−x), si ha cos x =

π π π 5π 7π 11π 13π 17π π

± ∈ − −

x = + 2kπ, k Quindi, A = , , , , , , , per cui si ha inf A = min A = ,

Z.

3 3 3 3 3 3 3 3 3

17π

sup A = max A = .

3 √ π

⇐⇒ ∈

(32) Indichiamo con A l’insieme proposto. Si ha tg x = 3 x = + kπ, k Quindi,

Z.

3

π 4π 10π 13π 16π 19π π 19π

A = , , , , , , per cui si ha inf A = min A = , sup A = max A = .

3 3 3 3 3 3 3 3

5

(33) Indichiamo con A l’insieme proposto. Si ha

2 2 2

− ⇐⇒ −2

sin x + 3 cos x + sin x 2 = 0 sin x + sin x + 1 = 0

z = sin x

( 

z = sin x  ( 1

⇐⇒ ⇐⇒ −

1+8

1± 2

2 − − =

z =

2z z 1 = 0 4

 1

π 7π π

_ _

⇐⇒ − ∈

x = + 2kπ x = + 2kπ x = + 2kπ, k Z.

6 6 2

π π 7π 11π 5π 19π 23π π 23π

− −

Quindi, A = , , , , , , , per cui si ha inf A = min A = , sup A = max A = .

6 2 6 6 2 6 6 6 6

(34) Indichiamo con A l’insieme proposto. Si ha

2 3 − −

cos 2x + 2 sin x + cos x 2 cos x 1 = 0

2 2 3

⇐⇒ − − − −

2 cos x 1 + 2 2 cos x + cos x 2 cos x 1 = 0

(

z = cos x

3

⇐⇒ − ⇐⇒

cos x 2 cos x = 0 3 −

z 2z = 0

(

z = cos x π

√ ⇐⇒ ∈

⇐⇒ x = + kπ, k Z.

2

∨ ± 2

z =0 z =

π π 3π 5π 7π 9π 11π 13π 15π 17π π

− −

Quindi, A = , , , , , , , , , , per cui si ha inf A = min A = , sup A =

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

17π

max A = .

2

(35) Indichiamo con A l’insieme proposto. Si ha

2 2

− ⇐⇒ − −

1 + cos x sin x = 0 2 sin x sin x = 0

z = sin x

( 

z = sin x  (

⇐⇒ ⇐⇒ −2

−1± 1+8

2 − =

z =

z + z 2 = 0 2

 1

π ∈

⇐⇒ + 2kπ, k

x = Z.

2

3π π 5π 9π 13π 3π 13π

− −

Quindi, A = , , , , , per cui si ha inf A = min A = , sup A = max A = .

2 2 2 2 2 2 2

(36) Indichiamo con A l’insieme proposto. Si ha _

2 2

− − ⇐⇒ − − −

cos(2x) cos x sin x 2 = 0 cos(2x) = 0 sin x sin x 1 = 0

( (

z = sin x

z = sin x

π π π

_ _

∈ ⇐⇒ ∈

⇐⇒ √

+ kπ, k x = + k , k

2x = Z Z −1± 1−4

2

2 4 2 ∈

z + z + 1 = 0 z = / R,

2

n o

(2k+1)π

π π ∈ ∈ −3,

e quindi l’equazione proposta ha solo le soluzioni x = +k , k Quindi, A = : k k = . . . , 9 ,

Z. Z,

4 2 4

7π 19π

per cui si ha inf A = min A = , sup A = max A = .

4 4

6

(37) Indichiamo con A l’insieme proposto. Si ha

√ √

√ 2 2

⇐⇒

2

cos x + sin x = cos x + sin x = 1

2 2

π π

π

⇐⇒ ∈

⇐⇒ = 1 x + = + 2kπ, k

sin x + Z

4 4 2

π

⇐⇒ ∈

x = + 2kπ, k Z.

4

7π 7π

π 9π 9π

− −

Quindi, A = , per cui si ha inf A = min A =

, , , sup A = max A = .

4 4 4 4 4

(38) Indichiamo con A l’insieme proposto. Si ha √

√ 1 3

⇐⇒

3 sin x = 0

cos x + cos x + sin x = 0

2 2

π

π

⇐⇒ ∈

⇐⇒ = 0 x + = kπ, k

sin x + Z

6 6

π

⇐⇒ − ∈

x = + kπ, k Z.

6

n o

(6k−1)π 19π

∈ ≥ −3 −

Quindi, A = : k k , per cui si ha inf A = min A = , sup A = +∞.

Z,

6 6

| − ⇐⇒ − ⇐⇒

(39) Indichiamo con A l’insieme proposto. Si ha cos x 1| < cos x 1 cos x < cos x

12 π π π π π π

⇐⇒ − − −

cos x > < x < , mod 2π. Quindi, A = , , per cui si ha inf A = , sup A = .

3 3 3 3 3 3

(40) Indichiamo con A l’insieme proposto. Si ha

√ 3 1 1 π 1

≥ ⇐⇒ ≥ − ⇐⇒ ≥−

3 sinx + cos x + 1 0 sin x + cos x sin x +

2 2 2 6 2

π π 7π π

⇐⇒ − ≤ ≤ ⇐⇒ − ≤ ≤

x + , mod 2π x π, mod 2π.

6 6 6 3

π π

− −

Quindi, A = , π , per cui si ha inf A = min A = , sup A = max A = π.

3 3 ⇐⇒

(41) Indichiamo con A l’insieme proposto. Si ha cos x + sin 2x > 0 cos x(1 + 2 sin x) > 0.

π π

≥ ⇐⇒ − ≤ ≤

Ora cos x 0 x , mod 2π, e

2 2

12 π 7π

≥ ⇐⇒ ≥ − ⇐⇒ − ≤ ≤

1 + 2 sin x 0 sin x x , mod 2π.

6 6

π π 7π 3π

W

⇐⇒ −

Quindi cos x + sin 2x > 0 < x < < x < , mod 2π.

6 2 6 2

7π 3π 7π 3π

Quindi, A = , , per cui si ha inf A = , sup A = .

6 2 6 2

(42) Indichiamo con A l’insieme proposto. Si ha

( (

z = sin x z = sin x

(a)

2

− − ⇐⇒ ⇐⇒

2 sin x sin x > 0 2 − −2

z + z 2 < 0 < z < 1

π

⇐⇒ 6

x = mod 2π,

2 (

√ −2

−1± 1+8

2 − ⇐⇒

dove in (a) si è usato il risultato z + z 2 = 0 z = =

2 1. π

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ , mod π.

Inoltre sin x cos x > 0 sin 2x > 0 0 < 2x < π, mod 2π 0 < x < 2

Quindi 2

− −

2 sin x sin x π

⇐⇒

> 0 0 < x < , mod π.

cos x sin x 2

π π π

∪ −π,

− − 0, , per cui si ha inf A = sup A = .

Quindi, A = π, 2 2 2

7

(43) Indichiamo con A l’insieme proposto. Si ha

2 2 2 2

− ≥ ⇐⇒ − − ≥

sin x + 3 cos x + sin x 2 0 sin x + 3 3 sin x + sin x 2 0

2 2

⇐⇒ −2 ≥ ⇐⇒ − − ≤

sin x + sin x + 1 0 2 sin x sin x 1 0

( (

z = sin x z = sin x

(a)

⇐⇒ ⇐⇒ 12

2 ≤ ≤

− − ≤ − z 1

2z z 1 0

π ≤ ≤

⇐⇒ − x , mod 2π,

6 6 ( 12

√ −

1± 1+8

2 − − ⇐⇒

dove in (a) si è usato il risultato 2z z 1 = 0 z = Quindi, A =

=

4 1.

π π

7π 11π 19π 23π 31π 31π

− ∪ ∪ −

, per cui si ha inf A = min A =

, , , , sup A = max A = .

6 6 6 6 6 6 6 6

(44) Indichiamo con A l’insieme proposto. Si ha √

2 ⇐⇒ −

− 2 + 1 1 + cos 2x sin 2x = 2 + 1

2 cos x sin 2x = √ √

√ 2 2

⇐⇒ − ⇐⇒ −

cos 2x sin 2x = 2 cos 2x sin 2x = 1

2 2

π π

⇐⇒ ⇐⇒ ∈

cos 2x + = 1 2x + = 2kπ, k Z

4 4

π ∈

⇐⇒ − + kπ, k

x = Z.

8

π 7π 15π 23π 31π 39π π 39π

− −

Quindi, A = , , , , , , per cui si ha inf A = min A = , sup A = max A = .

8 8 8 8 8 8 8 8

(45) Indichiamo con A l’insieme proposto. Si ha

√ 3 1 π

≥ ⇐⇒ ≥ ⇐⇒ ≥

3 sin x + 3 cos x 0 sin x + cos x 0 sin x + 0

2 2 6

π π 5π

⇐⇒ ≤ ≤ ⇐⇒ − ≤ ≤

0 x + π, mod 2π x , mod 2π.

6 6 6

13π 7π π 5π 11π 17π 13π

− − ∪ − ∪ −

Quindi, A = , , , , per cui si ha inf A = min A = , sup A =

6 6 6 6 6 6 6

17π

max A = .

6

(46) Indichiamo con A l’insieme proposto. Usando le espressioni di seno e coseno in funzione della

tangente dell’arco-metà (e avendo verificato che x = π mod 2π non è soluzione dell’equazione

assegnata), si ha x x

√ √ 2

2 tg 1 tg

2 2

− − ≥ ⇐⇒ − − ≥

sin x + (2 3) cos x 1 0 + (2 3) 1 0

x x

2 2

1 + tg 1 + tg

2 2

x x x

2 2

− − − − ≥

⇐⇒ + (2 3)(1 tg ) 1 tg 0

2 tg 2 2 2

√ √

x x

2

⇐⇒ − − − ≤

(3 3) tg 2 tg + 3 1 0

2 2

√ 3 x π x π

(a)

⇐⇒ ≤ ≤ ⇐⇒ ≤ ≤

tg 1 , mod π

3 2 6 2 4

π π

⇐⇒ ≤ ≤

x , mod 2π,

3 2 8 √ √ √

√ √ 1± 1−(3− 3)( 3−1)

2

− − − ⇐⇒

dove in (a) si è usato il risultato (3 3)z 2z + 3 1 = 0 z = =

3− 3

√ −1+

( 3 1

√ √ √ = √

1±(2− 3)

1−3 3+3+3− 3 1± 7−4 3

1± 3− 3 3

= = =

√ √ √ 3− 3

3− 3 3− 3 3− 3 = 1.

3− 3

11π 7π 5π 3π π π 7π 5π 11π

− − ∪ − − ∪ ∪ −

Quindi, A = , , , , , per cui si ha inf A = min A = ,

3 2 3 2 3 2 3 2 3

5π .

sup A = max A = 2

Svolgimento esercizio 2 2

∈ ⇐⇒ ≥ ⇐⇒ ∈ −4] ∪

(1) Si ha x dom f x + 5x + 4 0 x (−∞, [−1, +∞).

2

∈ ⇐⇒ − ≥ ⇐⇒ ∈

(2) Si ha x dom f x 2x + 1 0 x R.

√ √

2

∈ ⇐⇒ − ≥ ⇐⇒ ∈

(3) Si ha x dom f 2 x 0 x [− 2, 2].

2 12

4−x ∪

≥ ⇐⇒ ∈ −

∈ ⇐⇒ ) (1, 2].

0 x [−2,

(4) Si ha x dom f 2 −x−1

2x ( ( ≥

x< 0 x 0

W

∈ ⇐⇒ − ≥ ⇐⇒ ⇐⇒

(5) Si ha x dom f x 2|x| + 2 0 ≥ − ≥

3x + 2 0 2 x 0

(

( ≥

x 0

x< 0 2

W ⇐⇒ − ≤ ≤

x 2.

3

2 ≤

≥ − x 2

x 3 ( (

√ − − ≥

x 2 < 0 x 2 0

W

∈ ⇐⇒ ≥ − ⇐⇒

(6) Si ha x dom f 2x + 4 x 2 2

≥ ≥ −

2x + 4 0 2x + 4 (x 2)

( ≥

x 2

_

⇐⇒ ∈ ⇐⇒ ∈

x [−2, 2) x [−2, 6].

2 − ≤

x 6x 0

x

∈ ⇐⇒ − ≥ ⇐⇒ ≤ 40.

(7) Si ha x dom f 40 2 0 x log 2

√ √

3 1 π

≥ ⇐⇒ ≥ ⇐⇒ ≥

∈ ⇐⇒ 3 cos x 0 sin x + cos x 0 sin x +

(8) Si ha x dom f 3 sin x + 2 2 6

π π 5π

⇐⇒ ≤ ≤ ⇐⇒ − ≤ ≤

0 0 x + π, mod 2π x , mod 2π.

6 6 6

√ √

3 12 1 π

∈ ⇐⇒ ≥ ⇐⇒ ≥ − ⇐⇒ ≥

(9) Si ha x dom f 3 sin x + cos x + 1 0 sin x + cos x sin x +

2 2 6

12 π π 7π π

− ⇐⇒ − ≤ ≤ ⇐⇒ − ≤ ≤

x + , mod 2π x π, mod 2π.

6 6 6 3 1

∈ ⇐⇒ − ⇐⇒

(10) Si ha x dom f 4x 1 > 0 x > .

4 √ √

2

∈ ⇐⇒ − ⇐⇒ ∈ − ∪

(11) Si ha x dom f x 2 > 0 x (−∞, 2) ( 2, +∞). √

2 2

∈ ⇐⇒ − ≥ ⇐⇒ − ≥ ⇐⇒ ∈ − ∪

(12) Si ha x dom f log (x 2) 0 x 2 1 x (−∞, 3] [ 3, +∞).

3

√ √ √

2

2

∈ ⇐⇒ − ⇐⇒ − ⇐⇒ ∈ − ∪

(13) Si ha x dom f x 2 > 0 x 2 > 0 (−∞, 2) ( 2, +∞).

( ( ≥

x +3 0

x +3 < 0 W

∈ ⇐⇒ |x − ⇐⇒ ⇐⇒

(14) Si ha x dom f + 3| 2 > 0 −(x − −

+ 3) 2 > 0 (x + 3) 2 > 0

( (

−3 ≥ −3

x < x

W ⇐⇒ −5 ∨ −1.

x < x >

−5 −1

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DETTAGLI
Esame: Analisi I
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria meccanica (LATINA, ROMA)
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Marcoroma93 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Isola Tommaso.

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