Algebra e geometria - Prova d'esame

A

−1

Sia A una matrice invertibile provare che la sua inversa è A = , dove

detA

a

A è la matrice aggiunta di A. Facoltà di Ingegneria

Ingegneria Elettronica

“Elementi di Algebra e Geometria”

Prova in itinere del 22-12-2007

Compito B

È vietato uscire dall’aula prima di aver consegnato definitivamente il compito.

Non è consentito consultare libri o appunti.

Tempo di svolgimento del compito: due ore e trenta.

I

4 4

Sia f : < −→ < definita mediante le relazioni:

f (2, 2, 3, 1) = (2h + 4, 2h, 2h + 7, 6h − 9);

f (1, 1, 1, 0) = (h + 2, h, h + 3, 2h − 2);

f (0, 2, 2, 0) = (2h − 6, 2h, 2h + 4, 4h − 4);

f (0, 0, 1, 0) = (0, 0, 1, h − 2);

con h ∈ <.

Studiare f al variare del parametro h determinando Imf e Kerf e le equazioni

1.1 che li caratterizzano.

1.2 Studiare la semplicità di f al variare di h.

−1 −1

Per h = 0 calcolare f (1, 0, 0, 3) e f (1, 1, 2, 1).

1.3 II

Siano assegnati i vettori w = (8, 6, 8, 3), w = (2, 2, 2, 1), w = (1, 0, 1, 0)

1 2 3

¯ ¯ ¯

4 3

∈ < e v = (5, 1, 1), v = (2, 1, 0) ∈ < e i sottospazi V = L(w , w , w ) e

1 2 1 2 3

¯ ¯ ¯ ¯ ¯

4 3

e W = L(v , v ), dire se le applicazioni lineari g : V −→ < e h : W −→ <

1 2

¯ ¯

definiscono un endomorfismo:

g(w ) = (2, 1, 3, 3); h(v ) = (, 0, −3, 2);

1 1

¯ ¯

g(w ) = (6, 3, 5, 5); h(v ) = (2, 1, 0).

2 2

¯ ¯

g(w ) = (3, 2, 3, 3).

3

¯

Quesito teorico

Provare che un sistema lineare omogeneo ridotto con n incognite e n−1 equazioni

1

ammette ∞ soluzioni tutte tra loro proporzionali. EE

(Si consiglia di considerare la matrice incompleta del sistema come una matrice M .)

f

Ingegneria Elettronica

“Elementi di Algebra e Geometria”

Prova in itinere del 20-01-2006

È vietato uscire dall’aula prima di aver consegnato definitivamente il compito.

Non è consentito consultare libri o appunti.

1. Nello spazio è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O~x~

y~z .

• Determinare la retta passante per il punto A = (1, 2, 1) e parallela alla

retta r : x − 2y + 1 = z = 0, verificare che tale retta è parallela al piano

α : x − 2y + 4 = 0.

• Determinare la retta di minima distanza tra le due rette s : x − y + 2 =

x − z + 1 = 0 e t : y − z = x − 1 = 0.

• Determinare la retta passante per il punto A = (1, 0, 1) e incidente alla

retta r : y − 3 = x + z = 0 e ortogonale alla retta s : x + 2y + 5 = z − 1 = 0.

• Determinare il piano passante dal punto A = (1, 2, 2) parallelo alla retta

r : x + z + 1 = y − 3 = 0 e avente distanza uno dal punto A = (2, 3, 2).

• Determinare la distanza del punto A = (1, 2, 2) dalla retta s : x − z + 2 =

y − 3 = 0.

2. Nel piano è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O~x~

y . Stu-

2 2

diare al variare del parametro k ∈ < la famiglia di coniche (k −1)x +(k +1)y +

2xy + 2y = 0, dire se esistono circonferenze e iperboli equilatere.

Questito teorico

1. Provare che la tangente ad una conica irriducibile in un suo punto P appartenente

0

−

→ −

→

all’asse di simmetria r è la retta ortogonale all’ asse r e passante per P .

0

Facoltà di Ingegneria

Ingegneria Elettronica

“Elementi di Algebra e Geometria”

Prova in itinere del 15-12-2005

Compito B

È vietato uscire dall’aula prima di aver consegnato definitivamente il compito.

Non è consentito consultare libri o appunti.

Tempo di svolgimento del compito: un’ora e quarantacinque minuti.

I

4 4

Sia f : < −→ < definita mediante le relazioni:

h

f (1, 2, 1, 1) = (h, 2h, h, h);

h

f (1, 1, 1, 1) = (h, h, h, h);

h

f (0, 1, 0, 1) = (0, 1, 0, 1);

h

f (0, 0, 1, 0) = (h − 1, 2h − 2, h, h − 1);

h

con h ∈ <.

1.1 Studiare f al variare del parametro h determinando Imf e Kerf e le equazioni

h h h

T Imf .

che li caratterizzano. Determinare h

h

1.2 Studiare la semplicità di f al variare di h.

h

1.3 Se f è semplice, determinare una base di autovettori e la matrice che diagonalizza

5

EE

M .

f −1 −1

1.4 Per h = 0 calcolare f (2, 2, 2, 2) e f (2, 6, 0, 1).

II

4 = (1, 1, 1, 0), w = (0, 0, 1, 1), w = (0, 3, 0, −1) il

In < sono assegnati i vettori w 3

2

1

¯ ¯ ¯

4

, w ) e la g : V −→ < definita mediante le assegnazioni:

, w

sottospazio V = L(w 3

1 2

¯ ¯

¯

g(w ) = (2, 8, , 1, 1);

1

¯ 2

) = (1, 1, 1, k );

g(w 2

¯ 2

g(w ) = (1, 4, k, k );

3

¯

determinare se esistono valori di k ∈ < per cui la restrizione di g su V definisce un

endomorfismo.

Quesito teorico 4

Provare che < [x] è isomorfo a < .

3 Ingegneria Elettronica

“Elementi di Algebra e Geometria”

Prova in itinere del 12-01-2005

Compito A

È vietato uscire dall’aula prima di aver consegnato definitivamente il compito.

Non è consentito consultare libri o appunti.

Tempo di svolgimento del compito: un ora trenta minuti.

1. Nello spazio è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O~x~

y~z .

• Verificare se le rette r : x − z = y − 2z + 1 = 0 e s : y − z = x − 2y + 1 = 0

sono sghembe e determinare il piano α contenente r e parallelo alla retta

s.

• Determinare la retta passante per il punto A = (0, 0, 1) parallela al piano

α : x − y + 1 = 0 e ortogonale alla retta t : x − 2y = y − z + 1 = 0.

√

9

• Determinare la retta parallela alla retta r : 10 x + 229y − 4723z − 458 =

23

2 x − y − 2z + 1 = 0 e passante per il punto B = (0, 1, 0).

2. Nel piano è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O~x~

y . Stu-

2 2

diare al variare del parametro k ∈ R la famiglia di coniche x + 9y + 2(k +

1)xy + 6x + 1 = 0, dire se esistono circonferenze e iperboli equilatere.

Questito teorico

1. Provare che ogni punto di una conica irriducibile ha la sua retta tangente.

Ingegneria Elettronica

“Elementi di Algebra e Geometria”

Prova in itinere del 12-01-2005

Compito C

È vietato uscire dall’aula prima di aver consegnato definitivamente il compito.

Non è consentito consultare libri o appunti.

Tempo di svolgimento del compito: un ora trenta minuti.

1. Nello spazio è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O~x~

y~z .

• Verificare se le rette r : x − z + 1 = y − 3z + 2 = 0 e s : y − 2x − 1 =

y − 2z + 1 = 0 sono sghembe e determinare il piano α contenente r e

parallelo alla retta s.

• Determinare la retta giacente sul piano β : x − 2z + y + 7 = 0 incidente alla

retta t : x − z + 2 = y − 3 = 0 e ortogonale alla retta u : x − y = 2y − z = 0.

√

5

• Determinare la retta parallela alla retta r : 458x + 10 y − 4723z − 916 =

234

x − 2 y − 2z + 1 = 0 e passante per il punto B = (1, 0, 0).

2. Nel piano è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O~x~

y . Stu-

2 2

diare al variare del parametro k ∈ R la famiglia di coniche (k +1)x +(k −1)y +

2(k + 1)xy + 4x − 2 = 0, dire se esistono circonferenze e iperboli equilatere.

Questito teorico

1. Siano C e C le coniche spezzate rispettivamente nelle rette r ed s e r ed t, sia

1 2

Γ il fascio di coniche definito da C e C . Provare che Γ è un fascio di coniche

1 2

tutto costituito da coniche spezzate.

Compito

È vietato uscire dall’aula prima di aver consegnato definitivamente il compito.

Non è consentito consultare libri o appunti.

Tempo di svolgimento del compito: un ora trenta minuti.

1. Nello spazio è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O~x~

y~z .

• Verificare se le rette r : x − z − 2 = y − 2z = 0 e s : x−y+1 = 0 y−z+1 = 0

sono sghembe e se lo sono calcolare la minima distanza.

• Determinare la retta che giace sul piano α : x − y + 1 = 0 incidente alla

retta t : x − 2y = y − z + 1 = 0 e parallela al piano β : x − 2z + y + 7 = 0.

2. Nel piano è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O~x~

y . Stu-

2 2

diare al variare del parametro k ∈ R la famiglia di coniche x +ky +2kxy +4x =

0, dire se esistono circonferenze e iperboli equilatere.

Questito teorico

1. Dimostrare che se una conica irriducibile passa per i punti ciclici allora essa è

una circonferenza. Compito

È vietato uscire dall’aula prima di aver consegnato definitivamente il compito.

Non è consentito consultare libri o appunti.

Tempo di svolgimento del compito: un ora trenta minuti.

1. Nello spazio è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O~x~

y~z .

• Verificare se le rette r : x − z = y − 2z = 0 e s : x − y − 1 = y − z + 1 = 0

sono sghembe. Calcolare la distanza del punto A ≡ (1, 1, 3) dal piano

contenente r e parallelo a s.

• Determinare i piani passanti per il punto B ≡ (1, 1, 0), paralleli all’asse z

e aventi distanza 1 dal punto C ≡ (2, 0, 1).

Nel piano è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O~x~

y . Stu-

2. 2 2

diare al variare del parametro k ∈ R la famiglia di coniche (1+k)x +(1−k)y +

2kxy + 2x + 6y = 0, dire se esistono circonferenze e iperboli equilatere.

Questito teorico

1. Sia Γ una conica irriducibile, provare che per qualunque punto di Γ esiste sempre

la retta tangente. Ingegneria Elettronica (A - Li)

Nuovo ordinamento

“Algebra Lineare e Geometria”

Prova in itinere del 07-12-2004

Compito A

È vietato uscire dall’aula prima di aver consegnato definitivamente il compito.

Non è consentito consultare libri o appunti.

Durata del compito: un’ora e trenta minuti.

4 4

1. Sia f : < −→ < definita mediante le assegnazioni:

f (1, 1, 1, 2) = (2h + 7, h + 3, h + 1, 2);

f (0, 1, 0, 1) = (h + 4, h + 1, 1, 1);

f (1, 1, 0, 0) = (h + 2, h, 1, 0);

f (1, 2, 0, 0) = (2h + 3, 2h, 2, 0);

con h ∈ <.

1.1 Studiare f al variare del parametro h determinando in ciascun caso Imf e

Kerf (basi e equazioni che li caratterizzano).

1.2 Dire se f è semplice quando h = 0.

3 = (1, 0, 1), il sottospazio V =

= (1, 1, 1), w

2. In