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Calcolo del campo em generato da un’antenna

equazione di Helmholtz non omogenea

Si ottiene risolvendo l’

nel potenziale vettore A

∇ + = −

2 2

A k A J

i

dove J rappresenta la sorgente (correnti sull’antenna).

i

Ricavato A, si ha per E e H ⎛ ⎞

∇∇

⋅ ∇∇

A A

ω μ ω μ ⎜ ⎟

= − + = − +

E j A j A

⎜ ⎟

ω ε 2

⎝ ⎠

j k

c

= ∇ ×

H A

Soluzione con funzione di Green

Considerando una generica antenna, che sia schematizzabile per

mezzo di una distribuzione di correnti elettriche impresse J (r′) che

i

occupano un volume finito il potenziale vettore magnetico da essa

τ,

generato nello spazio libero si ricava utilizzando la funzione di Green

A(r)

r r′ − −

j k r r '

∫ e

(r′)

J = τ

i A ( r ) J ( r ' ) d '

i π −

4 r r '

r

r′ τ

0 punto di osservazione

punto di sorgente

τ

Anche per J (r′) semplici, la valutazione dell’integrale è resa

i

complicata dalla presenza del termine |r – r′| nel modulo e nella

fase della funzione di Green

Approssimazioni sulla fase della f.d.G.

Se il punto di osservazione r = (r, è “sufficientemente” lontano

θ, ϕ)

dall’antenna (ovvero dal volume i vettori (r – r′), relativi a tutti i

τ)

possibili punti di sorgente r′, si possono considerare paralleli tra loro

z – r′

r

r′ → ∞

r = r r

0 0

θ ′ r – r′ 1

r′ 1 punto di osservazione

τ = − ⇒ ≅ − θ = − ⋅

R r r ' R r r ' cos ' r r ' r 0

Approssimazioni sulla fase della f.d.G.:

Fraunhofer e Fresnel

• Per capire quando la precedente approssimazione è valida sviluppiamo

– r |

il termine |r ′ 2

θ ⎛ ⎞

r ' cos ' r '

( ) ( ) 2 2

= − = − ⋅ − = − ⋅ + = − +

R r r ' r r ' r r ' r 2 r r ' r ' r 1 2 ⎜ ⎟

⎝ ⎠

r r

• Sviluppando la radice quadrata con la serie di Taylor nell’intorno di

= 0 (arrestata al secondo ordine) ed eliminando i termini di ordine

r ′ )

superiore al secondo (hp: r >> r ′ ( )

2 2

x x r '

( ) 2

+ ≅ + − ⇒ ≅ − θ + − θ

1 x 1 R r r ' cos ' 1 cos '

2 8 2 r

x 0

• R risulta dato dalla somma di due contributi (del primo e secondo

ordine)

– il primo (equivalente a quello ricavato in precedenza con

l’approssimazione geometrica) è il contributo di Fraunhofer: esso

predomina a “grande” distanza

– il secondo è il contributo di Fresnel: esso corregge il termine di

Fraunhofer per distanze piccole (ma non troppo!!!)

Validità dell’approssimazione di Fraunhofer

• Sostituendo la precedente espressione per R nella fase della

funzione di Green [ ]

( )

( ) ( )

2 2

− − − ⋅ + − θ

j k R j k r r ' r 1 cos ' r ' 2 r

e e 0

= ≅

G π π

4 R 4 R

• Il termine di Fresnel introduce una correzione di fase .

Δϕ

Detto D il diametro dell’antenna (massima distanza fra due

punti appartenenti all’antenna)

( ) ( )

2

2 2 2

r ' r ' D 2 D

2

Δ

ϕ = − θ ⇒ Δ

ϕ ≤ ≤ =

k 1 cos ' k k k

2 r 2 r 2 r 8 r

• Generalmente si ritiene valida l’approssimazione di Fraunhofer

quando la correzione di fase di Fresnel è inferiore a /8

π

2 2

π π π

2 D 2 D

Δ

ϕ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≥

r

λ λ

8 8 r 8

• La distanza a partire dalla quale si può usare l’approssimazione

di Fraunhofer è dunque 2

2 D

=

r

F λ

Approssimazioni sul modulo della f.d.G.

Il termine R = |r – r | compare anche nel modulo della funzione di Green

• Nel caso del modulo è in genere sufficiente un’approssimazione di

ordine 0 (ovvero R r)

• Per vedere da che distanza ciò è valido sviluppiamo il modulo in serie

di Taylor nell’intorno di r = 0 (arrestata al primo ordine)

1 1 1 1 1

= ≅ =

G π π θ π

− r

'

4 R 4 r r

' cos ' 4 r θ

1 cos '

r

⎛ ⎞

1 1 r

' θ

≅ + ⇒ ≅ +

⎜ ⎟

1 x G 1 cos '

π

− ⎝ ⎠

1 x 4 r r

x 0

Se r >> D ( r >> r′ – condizione richiesta anche per

l’approssimazione di Fresnel) è possibile utilizzare l’approssimazione

di ordine zero per il modulo della funzione di Green

Espressione del campo elettromagnetico nella

regione di Fraunhofer (1/3)

• Sostituendo nell’espressione del potenziale vettore magnetico

le precedenti approssimazioni su R nella regione di Fraunhofer

( )

− − − − ⋅ −

j k r r ' j k r r ' r j k r

∫ ∫ ∫

e e e

0 ⋅

j k r ' r

= τ ≅ τ = τ

A ( r ) J ( r ' ) d ' J ( r ' ) d ' J ( r ' ) e d '

0

i i i

π − π π

4 r 4 r

4 r r '

τ τ τ

, ) il risultato dell’integrale (indipendente da r)

• Chiamando N( θ ϕ ∫ ⋅

j k r ' r

θ ϕ = θ ϕ + θ ϕ θ + θ ϕ ϕ = τ

N ( , ) N ( , ) r N ( , ) N ( , ) J ( r ' ) e d '

0

θ ϕ

0 0 i

r 0 τ

• Utilizzando le espressioni per E e H, e trascurando i termini in

1/r di ordine superiore al primo − [ ]

j k r

⎡ ⎤

∇∇ ⋅ A

( r ) e

θ ϕ ω μ ζ θ ϕ θ θ ϕ ϕ

≅ − +

= − + θ ϕ

E ( r , , ) j A

( r ) j k N ( , ) N ( , )

⎢ ⎥ 0

π 0

2

⎣ ⎦ 4 r

k

− [ ]

j k r

e

θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ ϕ

= ∇ × ≅ − − +

ϕ θ

H ( r , , ) A

( r ) j k N ( , ) N ( , )

0

π 0

4 r

Espressione del campo elettromagnetico nella

regione di Fraunhofer (2/3)

• Sia il campo elettrico che il campo magnetico decrescono in maniera

inversamente proporzionale alla distanza

• Entrambi i campi presentano un fattore di propagazione del tipo e

–j k r

• Entrambi i campi sono polarizzati su un piano ortogonale alla direzione

radiale (non hanno componenti radiali)

• I due campi sono legati dalla relazione 1

= ×

H ( r ) r E ( r )

0

ζ

In conclusione il campo elettromagnetico nella regione di Fraunhofer

di una generica antenna ha le caratteristiche di un’onda sferica non

uniforme [per via del fattore N( , )] che si propaga radialmente

θ ϕ

rispetto ad un determinato punto che viene detto centro di fase

dell’antenna

Espressione del campo elettromagnetico nella

regione di Fraunhofer (3/3)

• Considerando il vettore di Poynting

1 1 2

*

= × =

S ( r ) E ( r ) H ( r ) E ( r ) r

ζ 0

2 2

1

S ( r ) r 0

2

r r .

esso tende a diventare reale e diretto lungo la direzione di

• Pertanto si ha trasmissione di potenza attiva in direzione radiale verso

l’infinito. S

• Poiché le linee di flusso del vettore divengono radiali, ne segue che la

dP dS

potenza media che attraversa un elemento di superficie sferica

dΩ dS

dipende dall’angolo solido sotteso dalla superficie e non dalla sua

distanza dalla sorgente

Campo vicino e campo lontano di una generica

antenna

Sulla base delle precedenti osservazioni si divide la zona di

spazio intorno all’antenna in tre regioni 2

2 D

>

r λ radiativo

radiativo

reattivo lontano (Fraunhofer)

vicino vicino (Fresnel)

campo campo campo

di di di

zona zona zona

λ

r >> λ

r >>

r >> D r >> D

Caratteristiche del campo nella zona di

campo vicino reattivo

• La zona di campo vicino reattivo è la più vicina all’antenna e si

estende fino a distanze dall’antenna pari a qualche lunghezza

d’onda

• Dominano i termini quasi-statici di campo elettrico e di campo

magnetico (andamento proporzionale a r e r )

–3 –2

• È la zona in cui l’antenna “immagazzina” energia elettrica e

magnetica che viene scambiata, sotto forma di potenza

reattiva, con il generatore che la alimenta

• Il campo elettrico e il campo magnetico non sono correlati tra

di loro a mezzo dell’impedenza caratteristica ζ

• La presenza di un corpo estraneo altererebbe fortemente le

caratteristiche dell’antenna a causa del forte accoppiamento

Caratteristiche del campo nella zona di

campo vicino radiativo

• La zona di campo vicino radiativo parte da distanze dall’antenna pari a

qualche lunghezza d’onda e comunque sufficientemente più grandi del

diametro dell’antenna e si estende fino alla distanza di Fraunhofer

• Per antenne poco estese (D < ) questa zona non esiste (si passa

λ

direttamente da campo vicino reattivo a campo lontano radiativo,

come nel caso del dipolo hertziano)

• I contributi quasi-statici dovuti ai campi reattivi sono oramai

trascurabili

• Il campo elettrico e il campo magnetico sono abbastanza correlati tra

di loro a mezzo dell’impedenza caratteristica ζ

• Il campo presenta fluttuazioni spaziali dovute alle interferenze di

fase tra i contributi di campo provenienti dalle diverse zone

dell’antenna

Tipico andamento del campo nella zona di

campo vicino radiativo

Caratteristiche del campo nella zona di

campo lontano radiativo

• La zona di campo lontano radiativo parte dalla distanza di Fraunhofer, e

comunque per distanze superiori a qualche , e si estende fino all’infinito

λ

• Il campo elettromagnetico ha le caratteristiche di un’onda sferica non

uniforme

• La distribuzione angolare (sull’angolo solido) e la polarizzazione del campo

elettrico sono indipendenti dalla distanza e sono date da

θ ϕ = θ ϕ θ + θ ϕ ϕ

N ( , ) N ( , ) N ( , )

⊥ θ ϕ

0 0

• Il campo elettrico e il campo magnetico sono correlati tra di loro a mezzo

dell’impedenza caratteristica ζ

• Il campo decresce con la distanza dall’antenna proporzionalmente a 1/r

• La densità di potenza decresce con la distanza dall’antenna in maniera

proporzionale a 1/r ed è data da

2 2

2

2 2 θ ϕ + θ ϕ

N ( , ) N ( , )

θ ϕ θ ϕ

E ( r , , ) E ( r , , ) θ ϕ

rms

θ ϕ = = ∝

S

( r , , ) 2

ζ ζ

2 r

Parametri d’antenna

I parametri che definiscono un’antenna sono:

• diagramma di radiazione;

• apertura a -3 dB;

• direttività;

• guadagno;

• efficienza;

• polarizzazione;

• impedenza di ingresso;

• larghezza di banda;

• area efficace

(altezza efficace).

Diagramma di radiazione

• Si è visto per il campo elettrico nella zona di Fraunhofer

− − j k r

j k r [ ]

e e

θ ϕ = − ζ θ ϕ θ + θ ϕ ϕ = − ζ θ ϕ

E ( r , , ) j k N ( , ) N ( , ) j k N ( , )

θ ϕ

0 0

π π

4 r 4 r

( , )|, che rappresenta la distribuzione angolare in

• La funzione |N θ ϕ

campo lontano del campo irradiato, ovvero la funzione |N ( , )| , che

2

θ ϕ

rappresenta la distribuzione angolare della densità di potenza,

prendono il nome di diagramma di radiazione (in campo e potenza,

rispettivamente) dell’antenna

• Il diagramma di radiazione si esprime normalmente in dB,

normalizzato rispetto al valore massimo (utilizzando i dB il diagramma

in campo e quello in potenza coincidono)

Il diagramma di radiazione è un concetto che ha senso

• esclusivamente nella zona di campo lontano radiativo dell’antenna

Rappresentazione del diagramma di

radiazione

• Il diagramma di radiazione si può visualizzare in 3D (ottenendo così il

solido di radiazione)

• In alternativa si può riportare su dei piani (in forma cartesiana o polare)

• Nel caso di antenne che producono un campo polarizzato linearmente (p.

es. il dipolo corto) si usano in genere il piano E principale e il piano H

– piano E principale: piano passante per il centro di fase e contenente sia la

direzione di polarizzazione del campo E che la direzione di massima radiazione

dell’antenna

(p. es.: per il dipolo corto qualunque piano passante per l’asse z)

– piano H: piano passante per il centro di fase e contenente la direzione di

polarizzazione del campo H (p. es.: per il dipolo corto il piano xy)

z y x

x

Rappresentazione ddr

forma polare forma cartesiana

D.d.r. con presenza “oggetto” nel campo vicino

Dipolo verticale + “Visible Human”

F = 900 MHz Ezy

Exy Evzy

Evxy 0

0 330 30

330 30 0

0.1

0 -0.5

-0.1 60

60 -1

-0.2

-0.3 -1.5

-0.4 -2

-0.5 -2.5 90

-0.6 90 240 120

240 120 210 150

210 150 180

180

Lobo principale, lobi secondari, aperture a –3 dB

• Le antenne vengono realizzate in modo tale da “concentrare” la radiazione verso

una determinata direzione spaziale

• Il solido di radiazione, pertanto, presenta un lobo principale (che assume forme

diverse a seconda del tipo di antenna), all’interno del quale è contenuta la

direzione ( , ) in cui l’intensità di radiazione assume il suo massimo

θ ϕ

max max

(direzione di puntamento dell’antenna)

• Accanto al lobo principale, esistono una serie di lobi

secondari, di ampiezza inferiore, che vanno

generalmente limitati il più possibile perché

rappresentano una “dispersione” dell’energia

irradiata verso direzioni non volute

• Considerata la rappresentazione del diagramma di

radiazione su due piani (p. es. E principale e H) si

dicono aperture a –3 dB le aperture angolari (sui due

piani in questione) entro cui la densità di potenza

irradiata non si riduce più del 50% rispetto al suo

valore massimo


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AUTORE

Atreyu

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE DISPENSA

Materiale didattico per il corso di Impatto ambientale dei campi elettromagnetici della Prof. Marta Cavagnaro, all'interno del quale sono affrontati i seguenti argomenti: le antenne; meccanismo d'irradiazione elettromagnetica; classificazione delle antenne; equazione di Helmotz non omogenea e calcolo del campo elettromagnetico; diagramma di radiazione e relativa rappresentazione; direttività e polarizzazione di un'antenna; EIRP (Effective Isotropically Radiated Power) ed ERP (Effective Radiated Power); formula di Friis; area efficace e altezza efficace.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria delle comunicazioni
SSD:
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Impatto ambientale dei campi elettromagnetici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Cavagnaro Marta.

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