Teoremi, dimostrazioni e definizioni più Rouchè-Capelli

I LIMITI DELLE FUNZIONI

Esiste una corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei numeri reali R e i punti di una retta orientata, detta retta reale.

Gli intervalli

Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde ad una semiretta (intervallo illimitato) o ad un segmento (intervallo limitato) della retta reale.

Un intervallo può essere chiuso o aperto e secondo che gli estremi appartengano o meno all'intervallo considerato.

INTERVALLI LIMITATI

Dati due punti a e b.

• [ a ; b ] → a ≤ x ≤ b
• [ a ; b [ → a ≤ x < b
• ] a ; b ] → a < x ≤ b
• ] a ; b [ → a < x < b

INTERVALLI ILLIMITATI

Dato un punto a.

• [ a ; +∞ → x ≥ a
• ] a ; +∞ → x > a
• ]-∞ ; a ] → x ≤ a
• ]-∞ ; a [ → x < a

Gli intorni di un punto

• INTORNO COMPLETO: dato un numero reale x_o, si chiama intorno completo di x_o un qualunque intervallo aperto I(x) contenente x_o:
• I(x) = ] x_o - S₁ ; x_o + S₂ [ con S₁, S₂ numeri reali positivi.
• INTORNO CIRCOLARE: dato un numero reale x_o e un numero reale δ, si chiama intorno circolare di x_o di raggio δ l'intervallo aperto Iδ(x_o) di centro x_o e raggio δ:
• Iδ(x_o) = ] x_o - δ ; x_o + δ [
• Intersezione e l'unione di due o più intorni di x_o sono ancora degli intorni di x_o.
• INTORNO DESTRO di x_o è l'intervallo Iδ(x_o) = ] x_o ; x_o + δ [
• INTORNO SINISTRO di x_o è l'intervallo Iδ(x_o) = ] x_o - δ ; x_o [

Gli intorni di infinito

a, b ∈ ℝ con a < b definiamo:

• INTORNO DI MENO INFINITO un qualsiasi intervallo aperto illimitato inferiormente:
• I(-∞) = ] -∞ ; b [ ≡ ∀x ∈ ℝ | x < a
• INTORNO DI PIÙ INFINITO un qualsiasi intervallo aperto illimitato superiormente:
• I(+∞) = ] b ; +∞ [ ≡ ∀x ∈ ℝ | x > b
• INTORNO DI INFINITO è l'unione tra un intorno di -∞ e un intorno di +∞
• I(∞) = I(-∞) ∪ I(+∞) ≡ ∀x ∈ ℝ | x < a ∨ x > b

I LIMITI DELLE FUNZIONI

1. Geologia della retta

Esiste una corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei numeri reali R e i punti di una retta orientata, detta RETTA REALE

2. Gli intervalli

Un INTERVALLO è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde ad una semiretta (intervallo ILLIMITATO) o ad un segmento (intervallo LIMITATO) della retta reale.

Un intervallo può essere CHIUSO o APERTO e secondo che gli estremi appartengano o meno all'intervallo considerato.

INTERVALLI LIMITATI

Detti due punti a e b.

• [a;b] → a ≤ x ≤ b
• (a;b) → a < x < b
• [a;b) → a ≤ x < b
• (a;b] → a < x ≤ b

INTERVALLI ILLIMITATI

Dato un punto a:

• [a; +∞) → x ≥ a
• (a; +∞) → x > a
• (−∞; a] → x ≤ a
• (−∞; a) → x < a

Gli intorni di un punto

• INTORNO COMPLETO: dato un numero reale x₀, si chiamano intorno completo di x₀ un qualunque intervallo I(x₀) contenente x₀: I(x₀) = ]x₀ − s₁; x₀ + s₂[ con s₁, s₂ numeri reali positivi
• INTORNO CIRCOLARE: dato un numero reale x₀ e un numero reale δ, si chiama intorno circolare di x₀ di raggio δ l'intervallo aperto Iδ(x₀) di centro x₀ e raggio δ: Iδ(x₀) =]x₀ − δ; x₀ + δ[
• L'intersezione e l'unione di due o più intorni di x₀ sono ancora degli intorni di x₀.
• INTORNO DESTRO di x₀ è l'intervallo I₊(x₀) =]x₀; x₁[ s.e.s I₁
• INTORNO SINISTRO di x₀ è l'intervallo I₋(x₀) =]x&longs;: o < x₀

Gli intorni di infinito

a, b ∈ R con a ≤ b definiamo:

• INTORNO DI MENO INFINITO un qualsiasi intervallo aperto illimitato inferiormente: I(−∞) = ]−∞; a[ = {x ∈ R | x < a}
• INTORNO DI PIÙ INFINITO un qualsiasi intervallo aperto illimitato superiormente: I(+∞) = ]b; +∞[