Teorema di Bayes e calcolo della probabilità condizionata

Matematica e StatisticaperScienze Biologiche

Teorema di Bayesecalcolo della Probabilità condizionata.

A.A. 2021-2022

Matematica e StatisticaperScienze Biologiche

Teorema di Bayesecalcolo della Probabilità condizionata.

A.A. 2021-2022

Teorema di Bayes e calcolo della probabilità condizionata.

Teorema (di Bayes). Dato uno spazio campionario Ω e considerata una sua partizione in n sottinsiemi A₁, A₂, ..., A_n, che chiameremo cause, indicato con B un evento non impossibile, che chiameremo effetto, allora la probabilità che l’evento B sia stato prodotto dalla causa A_i è

p(A_i|B) = ^{p(B|A_i) · p(A_i)}/_{p(B|A1) · p(A1) + p(B|A2) · p(A2) + ..... + p(B|An) · p(An)}

Applicazione Numerica

Una certa produzione industriale è legata a tre macchine, che chiameremo M₁, M₂, M₃; di ognuna di esse è stata valutata una certa probabilità p_dM di produrre pezzi difettosi, in particolare p_dM₁ = 0,05, p_dM₂ = 0,02, p_dM₃ = 0,07.

Per produrre un certo lotto di 1000 pezzi si sono utilizzate tutte e tre le macchine; in particolare M₁ ha prodotto 350 pezzi, M₂ ne ha prodotti 520, M₃ gli altri 130.

Calcoliamo la probabilità che, scegliendo un pezzo a caso fra i 1000 e vedendo che è difettoso, questo sia stato prodotto da:

• a. M₁
• b. M₂
• c. M₃.

Calcoliamo poi la probabilità che, avendo riscontrato che il pezzo scelto è buono, questo sia stato prodotto da:

• d. M₁
• e. M₂
• f. M₃.

Scelto un pezzo a caso fra quelli prodotti, sia A₁ : «il pezzo è stato prodotto da M₁», A₂ : «il pezzo è stato prodotto da M₂», A₃ : «il pezzo è stato prodotto da M₃».

Possiamo calcolare la probabilità di ciascuno di questi eventi tenendo conto della produzione di ogni macchina; abbiamo così che

p(A₁) = ³⁵⁰/₁₀₀₀ = 0,35   p(A₂) = ⁵²⁰/₁₀₀₀ = 0,52   p(A₃) = ¹³⁰/₁₀₀₀ = 0,13

(osserva che la somma delle probabilità è 1)

Sia B l'evento «il pezzo è difettoso»; allora

p(B|A₁) = p_dM₁ = 0,05   p(B|A₂) = p_dM₂ = 0,02   p(B|A₃) = p_dM₃ = 0,07

Possiamo adesso calcolare le prime probabilità richieste: