successioni e serie di funzioni

Successione di funzioni: convergenza puntuale

Sia (fₙ) una successione di funzioni \( fₙ: D \to \mathbb{R} \). Diciamo che (fₙ) "converge in un punto" \( x_0 \in D \) se la successione \( (fₙ(x_0)) \) converge.

\(\lim_{n \to \infty} fₙ(x₀) \ne \text{finito}\) punto in cui \( fₙ \) converge. Inoltre, \(\forall x \in A, \lim_{n \to \infty} fₙ(x) = \beta(x)\).

Se \(\forall \epsilon > 0\) e \(\forall x \in D\), \(\exists n_{\epsilon,x} \in \mathbb{N} \Rightarrow |fₙ(x) - \beta(x)|\) successione iniziale limite successione. Quindi, fissato \(\epsilon > 0\), il numero \( n_{\epsilon,x} \) dipende da \( x \). Se tale punto risulta dipendente da \( x \), la convergenza non è puntuale.

Convergenza uniforme

Sia \( fₙ(x) \) una successione di funzioni, \( fₙ \) converge "uniformemente" in \( I \) verso \( f \) se \(\forall \epsilon > 0\), \(\exists \eta_{\epsilon} \in \mathbb{N} \Rightarrow |fₙ(x) - f(x)| < \epsilon\). Inoltre, \( fₙ \) converge uniformemente in \( I \) verso \( f \) se \(\forall \epsilon > 0\), \(\exists \eta_{\epsilon} \in \mathbb{N}\) tale che \(\sup \{|fₙ(x) - f(x)|; x \in I\} < \epsilon\).

\(\lim_{k \to \infty} \sup \{|fₙ(x) - f(x)|; x \in I\} = 0\) convergenza uniforme \(\Rightarrow\) convergenza puntuale; il viceversa non vale.

Esempio

\( fₙ(x) = \frac{3n + \sin x}{n + x^2} \ \forall x \in [0, b] \)

Convergenza puntuale: Si fissa \( x \) e si fa tendere \( fₙ(x) \rightarrow x₀ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{3n + \sin x}{n + x^2} = 3 \Rightarrow fₙ(x) \) converge puntualmente \(\forall x \in \mathbb{R}\), fissato \( x \) verso 3.

Convergenza uniforme: \(\sup \{|fₙ(x) - f(x)|; x \in [0, b]\} \ne 0\) \(\Rightarrow \sup \left\{ \frac{3n + \sin x}{n + x^2}; x \in [0, b] \right\} \ne \sup \left\{ \frac{3x^2 - 3x}{n + x^2}; x \in [0, b] \right\}\)

\(\sup \left\{ \frac{\sin x - 3x^2}{n + x^2} \right\} \lim_{n \to \infty} \sup = 0 \Rightarrow \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x - 3x^2}{n + x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{n(x^2 + x^2)} = 0 \Rightarrow fₙ(x) \) converge uniformemente.

Successioni e di funzioni

Convergenza puntuale

Sia (f_n) una successione di funzioni \( f_n: D \to \mathbb{R} \). Diciamo che (f_n) "converge in un punto" \( x_0 \in D \) se la successione \( (f_n(x_0)) \) converge. \(\lim_{n \to \infty} f_n(x_0) \ne \text{finito}\) punto in cui \( f_n \) converge

Inoltre, \(\forall x \in D, \exists \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)\). Se \(\forall \epsilon > 0\) e \(\forall x \in D \exists n_{\epsilon} \in \mathbb{N}\) tale che \(\forall n \ge n_{\epsilon}\) \(|f_n(x) - f(x)| < \epsilon\). Quindi, fissato \(\epsilon > 0\), il numero \( n_{\epsilon,x} \) dipende da \( x \), se tale punto risulta dipendente da \( x \), la convergenza non è puntuale.

Convergenza uniforme

Sia \( f_n(x) \) una successione di funzioni, \( f_n \) converge "uniformemente" in \( I \) verso \( f \) se \(\forall \epsilon > 0\), \(\exists n_{\epsilon} \in \mathbb{N}\) tale che \(|f_n(x) - f(x)| < \epsilon \ \forall x \in I\). Inoltre, \( f_n \) converge uniformemente in \( I \) verso \( f \) se \(\forall \epsilon > 0\), \(\exists n_{\epsilon} \in \mathbb{N}\) tale che \(\sup \{|f_n(x) - f(x)|; x \in I\} < \epsilon\).

\(\lim_{k \to \infty} \sup \{|f_k(x) - f(x)|, x \in I\} = 0\) convergenza uniforme \(\Rightarrow\) convergenza puntuale; il viceversa non vale.

Esempio

\( f_n(x) = 3n + \sin x \ \forall x \in [0,b] \)

Convergenza puntuale: Si fissa \( x \) e si fa tendere \( f_n(x) \to x₀ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{3n + \sin x}{n x^2} = 3 \Rightarrow f_n(x) \) converge puntualmente \(\forall x \in I \mathbb{R}\), fissato \( x \).

Convergenza uniforme: \(\sup \{|f_n(x) - f(x)|, x \in [0,b]\} \le \epsilon\) quindi \(\sup \left\{\frac{3n + \sin x}{n x^2}, x \in [0,b]\right\} = \sup \left\{\frac{2n + \sin 2 - 3x^2}{x^3}, x \in [0,b]\right\} \le \epsilon\)

= \(\sup \left\{\frac{\sin x - 3x^2}{n + x^2}\right\} \lim \sup = 0 \Rightarrow \lim \sin x - 3x^2 = \lim_{n \to \infty} x \rightarrow \infty \frac{\sin x x - 3x^2 x}{x^2} < \sup = 0 \Rightarrow f_n(x) \) converge uniformemente.

Esempio

\( f_n(x) = nxe^{-nx} \ \forall x \in [0,1] \)

Convergenza puntuale: \(\lim nxe^{-nx} = 0\) quindi \((f_n)\) tende puntualmente su \([0,1]\) alla funzione \( f(x) = 0 \). Non converge uniformemente.

Teorema continuità limite

Sia \( f_n: I \to \mathbb{R} \) una successione di funzioni continue convergenti uniformemente ad una funzione \( f: I \to \mathbb{R} \), allora tale \( f \) è continua in \( I \).

In generale:

• \( f_n \) continua in \( I \)
• \( f_n \) converge puntualmente in \( f \Rightarrow f \) continua in \( I \)
• \( f_n \) continua in \( I \)
• \( f_n \) converge uniformemente in \( f \Rightarrow f \) continua in \( I \)

Dimostrazione: Per prima cosa dobbiamo provare che \(\forall x₀ \in I\), la funzione limite \( f \) è continua in \( x₀ \) quindi che \(\lim_{x \to x₀} f(x) = f(x₀)\) cioè che \(\forall \epsilon > 0\), \(\exists \delta_{\epsilon,x₀} > 0\) tale che \(|x-x₀| < \delta_{\epsilon,x₀} \Rightarrow |f(x) - f(x₀)| < \epsilon\).

Esiste un indice \( \rho \) dipendente da \(\epsilon\) ma non da \( \rho \). \(\forall i\) presi due numeri \( m,n \ge \rho \) risulti che \(|fₙ(p) - fₘ(p)| < \epsilon\).

Teoremi passaggio al limite (successioni)

Passaggio al limite sotto il segno d'integrale

Sia \( fₙ \) una successione di funzioni integrabili in un intervallo chiuso che converge puntualmente in \( I \) verso una funzione \( f \). Possiamo dire che anche la funzione \( f \) è integrabile?

Possiamo affermare che \(\int_{a}^{b} fₙ(x) \ dx \to \int_{a}^{b} f(x) \ dx \). In generale non possiamo affermarlo. Perché l'integrale della successione di funzioni deve essere uguale alla funzione \( f \). Funzione dato dal limite della successione \((fₙ)\).

In generale:

• \( fₙ \) integrabile \(\forall n\)
• \( fₙ \to f \) puntualmente in \( I \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \int_{I} fₙ(x) \ dx = \int_{I} f(x) \ dx\)

Esempio

\( fₙ(x) = \frac{2n \sin x \cos x}{1 + (n \cos^2 x)^2}\). Facendo tendere \( n \to \infty \) e fissando \( x \), il limite è zero \(\Rightarrow \lim_{n \to \infty} fₙ(x) = 0 = f(x)\).

Calcoliamo l'integrale \( fₙ(x) \) ed \( f(x) \); se coincidono, ovvero se sono uguali, vale il passaggio al limite sotto il segno d'integrale: \(\int_{0}^{\pi/2} \frac{2n \sin x \cos x}{1 + (n \cos^2 x)^2} \ dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{1 + (n \cos^2 x)^2} \ dx = \left[ - \arctan(n \cos x) \right]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2}\).

L'integrale di \( f(x) \neq 0 \) perché \(\frac{\pi}{2}\) \(\int_{0}^{2} = 0\). Siccome l'integrale di \( fₙ(x) \neq f(x) \) non vale il passaggio al limite.

Teorema passaggio al limite sotto il segno d'integrale

Sia \(\{f_n\}\) una successione di funzioni continue che converge uniformemente verso \( f \) in \([a,b]\), allora \(\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \ dx = \int_{a}^{b} f(x) \ dx\).

Dimostrazione: Per il teorema sulla continuità del limite, la funzione \( f \) è continua nell'intervallo chiuso e limitato \([a,b]\) ed è perciò integrabile in \([a,b]\). N.B. Il teorema sulla continuità del limite vale solo per la convergenza uniforme.

Inoltre, \(|\int_{a}^{b} f_n(x) \ dx - \int_{a}^{b} f(x) \ dx | \le \int_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)| \ dx = (b-a) \max |f_n(x) - f(x)|_{x \in [a,b]}\)(b-a). Perciò per \( n \to \infty \Rightarrow |\int_{a}^{b} f_n(x) \ dx - \int_{a}^{b} f(x) \ dx | \to 0\) C.R.D.

Teorema passaggio al limite sotto il segno di derivata

Supponiamo di avere una successione di funzioni derivabili in \([a,b]\), possiamo affermare, inoltre, che \( f_n(x) \to f(x) \) in \([a,b]\). Quando si noni che \( f \) è derivabile e che il limite \(\lim f_n'(x) - g(x)\) in \([a,b]\) ??

Ipotesi

1. Sia \(\{f_n\}\) una successione di funzioni in \([a,b] \to \mathbb{R}\)
2. Derivabili con derivata continua in \([a,b]\)
3. \(\forall x \in [a,b] \exists \lim_{n \to \infty} f_n(x)\) converge: \(\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \ell\)
4. La successione delle derivate converge uniformemente, cioè: \(\lim_{n \to \infty} f_n'(x) = g(x)\)

Tesi

La successione \( f_n \) converge uniformemente verso una funzione \( f \) e quindi, \(\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)\) uniformemente in \([a,b]\). Derivabile con derivata continua in \([a,b]\) e risulta che: \(\lim_{n \to \infty} f_n'(x) = f'(x)\).

Serie di funzioni

Siano \( f₁(x), f₂(x), \ldots f_n(x) \in [a,b] \) una successione di funzioni: siano \( s₁ = f₁(x), s₂ = f₁(x) + f₂(x); s_n(x) \) la successione delle somme parziali. La succ. \( s_n(x) \) si dice serie di funzioni di termine generale \( f_n(x)\).

Se \(\forall x \in [a,b] \) la serie numerica \(\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)\) converge, cioè se esiste il limite \(\lim s_n(x)\) la serie si dice convergente puntualmente. Se invece la convergenza \(\lim s_n(x) = f(x)\) la convergenza è uniforme.

Condizione necessaria affinché la serie converga è che abbia il termine generale piuttosto (così tende alla funzione nulla). \(\sum_{n=0}^{\infty} f_n\) convergenza puntuale in \( I \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0\) puntualmente in \( I\).

\(\sum_{n=0}^{\infty} f_n\) converga uniforme in \( I \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f_n = 0\) uniforme in \( I\).

La serie di funzioni, si dirà assolutamente convergente in \([a,b]\) se la serie \(|f₁| + |f₂| + \ldots + |f_n|\) converge puntualmente in \([a,b]\).

Criterio di convergenza di Cauchy

\(\sum f_n\) converge puntualmente in \([a,b] \Leftrightarrow\) \(\forall x \in [a,b]\) e \(\forall \epsilon > 0\) esiste \( N_{\epsilon,x} > 0:\) \(\forall n > 2 \cdot \epsilon_x\) e \(\forall K \in \mathbb{N}\) \(| s_n(x) - s_n+K(x) | < \epsilon \Rightarrow | f_n+1(x) + f_n+2(x) + \ldots + f_n+K(x) | < \epsilon\)

\(\sum f_n\) converge uniformemente in \([a,b] \Leftrightarrow\) \(\forall \epsilon > 0 \exists n_{\epsilon} > 0:\) \(\forall n > 2 \cdot \epsilon, \forall K \in \mathbb{N}\)\(| s_n(x) - s_n+K(x) | < \epsilon \Rightarrow | f_n+1(x) + f_n+2(x) + \ldots + f_n+K(x) | < \epsilon\)

La serie di funzioni \( f₁ + f₂ + \ldots + f_n \) è totalmente convergente in \([a,b]\) se:

• Una successione numerica \( y_n \in \mathbb{R}^+\) e \( n: | f_n(x) | \le y_n \) e \(\sum c_n\) convergere

Quindi: convergenza totale \(\Rightarrow\) convergenza uniforme \(\Rightarrow\) puntuale ovvia.

Esempio: \( f_k(x) = \frac{x}{x^2+3k^2} \ \sum_{k=1}^{\infty} f_k \) studioer conv. unif. Vediamo se c'è convergenza totale. Derivata \( f_k(x)\) \(\frac{f'_k(x)}{x^9+3k^9}\)