Schemi completi Calcolo numerico

Interpolazione, approssimazione, integrazione numerica

Interpolazione (differenze divise di Newton)

Le differenze divise di Newton rappresentano un metodo per l'interpolazione numerica utilizzando i dati discreti. Si basa sul calcolo delle differenze successive dei dati per costruire polinomi interpolanti. La formula generale è:

f[x0, x1, ..., xn] − f[x0, x1, ..., xn-1]

La funzione interpolante può essere rappresentata come:

P(x) = f(x0) + (x − x0)f[x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f[x0, x1, x2] + ...

Maggiorazione dell'errore

La maggiorazione dell'errore nell'interpolazione è determinata dalla formula:

R_n(x) = f[x0, x1, ..., xn](x − x0)(x − x1)...(x − xn)

Con la condizione: |R_n(x)| ≤ max |f^(n+1)(c)/(n+1)!|, c ∈ [x0, xn].

Approssimazione

Le tecniche di approssimazione implicano spesso la minimizzazione degli scarti tra il modello e i dati. Due tipi di scarti possono essere considerati:

• Scarti verticali: Somma degli errori verticali tra i punti dati e il modello.
• Scarti orizzontali: Somma degli errori orizzontali, utile in alcune applicazioni statistiche.

Il coefficiente di correlazione è spesso usato per determinare la qualità dell'approssimazione.

Formula dei trapezi composta

La formula dei trapezi composta è una tecnica per l'integrazione numerica. È usata per stimare l'integrale di una funzione approssimandola con trapezi. La formula generale è:

∫_a^b f(x) dx ≈ (b − a)/(2n) * [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn-1) + f(xn)]

Formula di Cavalieri-Simpson

La formula di Cavalieri-Simpson offre un metodo di integrazione numerica più accurato rispetto alla formula dei trapezi, utilizzando parabole per l'approssimazione della funzione.