Riassunto di Statistica

Elementi di statistica

Capitolo 1: Introduzione alla statistica

La disciplina e le sue applicazioni

La statistica è la disciplina costituita da metodi scientifici e strumenti volti a raccogliere, rappresentare, sintetizzare e analizzare fenomeni collettivi, ossia fenomeni che si possono comprendere solo mediante una pluralità di osservazioni, scoprire leggi e relazioni tra gli stessi, con lo scopo di razionalizzare le conoscenze in diversi campi del sapere.

L'analisi statistica si esplica mediante una serie di operazioni volte ad acquisire informazioni su uno o più fenomeni e ad elaborare le stesse. Si prefigge, in questo senso, obiettivi descrittivi e predittivi; mediante un'analisi statistica, infatti, è possibile: descrivere una o più caratteristiche del fenomeno o dei fenomeni; identificare relazioni tra i diversi aspetti del fenomeno o tra i fenomeni; verificare ipotesi sul fenomeno o sui fenomeni; prevedere i comportamenti futuri del fenomeno o dei fenomeni.

La statistica metodologica costituisce la parte teorica della statistica e, per l'analisi dei dati relativi a fenomeni di massa, è basata su metodi matematici. A fini puramente didattici, è convenzione distinguere tra due branche della metodologia statistica: la statistica descrittiva e la statistica inferenziale.

La statistica descrittiva basa la sua analisi sull'osservazione dell'intera popolazione in cui si manifesta uno o più fenomeni, con il fine ultimo di fornire una visione semplificata degli stessi mediante una loro sintesi quantitativa. La statistica inferenziale, o inferenza statistica, invece, basa la sua analisi su osservazioni su campioni di unità selezionate con determinate procedure dalla popolazione, con il fine ultimo dell'induzione probabilistica, ossia dell'estensione dei risultati ottenuti su campioni all'intera popolazione da cui sono estratti in modo da formulare soluzioni che siano valide, entro dati livelli di probabilità, per la popolazione stessa. Per il suo modo di operare, la statistica inferenziale deve basarsi su concetti propri della teoria della probabilità.

Popolazione e unità statistiche

Il concetto di popolazione in statistica si riferisce al collettivo di cui si intende analizzare una o più caratteristiche. La popolazione, definita anche universo, può riguardare qualsiasi insieme di elementi, reale o teorico, che appartiene al presente o al futuro. Costituisce una popolazione, in statistica, l'insieme dei residenti in un dato Comune ma anche l'insieme dei possibili numeri estraibili su una certa ruota al gioco del Lotto.

L'unità statistica è, invece, l'elemento base della popolazione su cui si acquisiscono le informazioni. Sono esempi di unità statistiche gli studenti frequentanti un dato corso di laurea, i dipendenti di un'azienda, gli e-book pubblicati da una casa editrice. Le unità statistiche si distinguono in: unità semplici, unità composte, se sono aggregati di unità semplici uguali, unità complesse, se sono aggregati di unità statistiche di natura diversa.

Se la popolazione è costituita da un numero finito di unità statistiche essa è detta finita. In caso contrario è detta infinita.

Fasi di un'analisi statistica

Anche se non si può sempre definire a priori un insieme di operazioni da compiere per analizzare un fenomeno interessante dal punto di vista statistico, si conviene di dividere un'analisi statistica nelle fasi seguenti, logicamente e sequenzialmente legate tra loro.

Fase 1. Definizione degli obiettivi

Si definiscono sia l'obiettivo globale sia gli obiettivi parziali in maniera compatibile con vincoli di tempo e di costo, si definiscono la popolazione di riferimento e le unità che la costituiscono, si individuano le informazioni da ricercare, si circoscrive tempo e spazio dell'analisi.

Fase 2. Rilevazione dei dati

Si esegue l'osservazione delle caratteristiche relative alle unità statistiche, mediante la raccolta delle informazioni precedentemente individuate. Le rilevazioni dei dati possono essere classificate in base alla complessità del fenomeno o dei fenomeni in: rilevazioni semplici, se concernono operazioni elementari, e rilevazioni complesse, se concernono fenomeni oggetto di misurazioni complesse.

Un'altra fondamentale classificazione delle rilevazioni statistiche si fonda sulla popolazione di riferimento; in base a tale criterio le rilevazioni si distinguono in complete e parziali. La raccolta delle informazioni su un dato collettivo può essere eseguita in maniera esaustiva su tutte le unità della popolazione ed è detta rilevazione completa o rilevazione totale. Il censimento generale sulla popolazione è una rilevazione completa eseguita, in Italia, con cadenza decennale dall'ISTAT nell'anno che termina con 1. La raccolta delle informazioni può essere eseguita, invece, su una frazione della popolazione se è condotta su un campione estratto dalla popolazione ed è detta rilevazione parziale.

Fase 3. Elaborazione metodologica

I dati rilevati sono classificati e sintetizzati. In tale fase si applica la metodologia statistica adeguata all'obiettivo dell'analisi, a seconda che essa sia descrittiva o inferenziale.

Fase 4. Presentazione e interpretazione dei risultati

I risultati sono presentati con modalità accessibili agli interessati mediante tabelle, grafici e indicatori. Le modalità di presentazione dei dati statistici variano dalle pubblicazioni su riviste specializzate a volumi tematici e a pubblicazioni online. Ovviamente tali dati vanno interpretati.

Fase 5. Utilizzazione dei risultati

I dati elaborati saranno utilizzati, non dallo statistico stesso, bensì da coloro i quali si occupano della scienza cui appartiene il fenomeno o i fenomeni oggetto di rilevazione.

I caratteri statistici

Oggetto dell'analisi statistica sono esclusivamente fenomeni collettivi, ovvero fenomeni osservabili su insiemi di unità statistiche. Tali fenomeni sono definiti caratteri e tipicamente assumono valori differenti nelle diverse unità; sono elementi che consentono di descrivere una popolazione. L'espressione del carattere sulle unità statistiche è denominata modalità. L'insieme di tutte le modalità di un carattere, rappresentante l'insieme dei suoi modi di essere, deve essere esaustivo, ossia deve comprendere tutti i casi, e le modalità stesse devono essere disgiunte, per cui ciascuna unità statistica può presentare una e una sola modalità del carattere.

La scelta convenzionale delle modalità di un carattere è un'operazione statistica complessa, in quanto condiziona fortemente la descrizione del carattere e quindi anche del fenomeno di riferimento.

I caratteri posseduti dalle unità statistiche sono classificabili in caratteri qualitativi e caratteri quantitativi.

Caratteri qualitativi

I caratteri qualitativi, o mutabili, descrivono attributi o gradi (che non sono numeri, ossia non ammettono operazioni aritmetiche). Possono essere ordinabili (graduabili) se le modalità ammettono una sequenza con una relazione d'ordine (minore/maggiore, prima/dopo), altrimenti si dicono sconnessi (le modalità sono scambiabili all'interno della distribuzione).

Caratteri quantitativi

I caratteri quantitativi, o variabili, possono essere discreti (quando le modalità descrivono un'operazione di conteggio: numero dei figli per una famiglia, numero dei vani di un'abitazione, numero dei disoccupati per settore, …) o continui (quando le modalità risultano da una misura: età, statura, lunghezza, luminosità, peso, reddito, …).

Scale di misurazione dei caratteri

Una scala di misura è uno strumento logico mediante il quale avviene la misurazione di un carattere statistico. Se si tratta di una mutabile, allora si parla di scale di misura per categorie, mentre se si tratta di variabili si parla di scale di misure metriche.

Nel 1951, lo psicologo Stevens distinse i caratteri in funzione della scala di misurazione in: nominale, ordinale, a intervalli, di rapporto. I caratteri statistici sono classificati nelle scale di misurazione a seconda delle operazioni logiche e matematiche che si possono eseguire sulle modalità. I caratteri nominali e ordinali sono qualitativi, mentre i caratteri con scala a intervalli o di rapporto sono quantitativi.

Scala nominale

La scala nominale rileva le relazioni di uguaglianza/diversità tra le modalità di un carattere. Un carattere misurabile a livello di scala nominale è una mutabile che presenta per modalità attributi non ordinabili se non arbitrariamente. Con tale scala si misura se le unità possiedono o non possiedono una data caratteristica. Non si può stabilire una relazione d'ordine tra le modalità. Per costruire una misurazione a livello nominale è necessario che le modalità siano almeno due.

Sono esempi di caratteri nominali lo stato civile, che si presenta mediante gli attributi celibe, nubile, sposato, divorziato ecc., oppure il settore di attività di un'azienda che si presenta mediante gli attributi tessile, meccanico ecc. Una particolare tipologia di carattere nominale è quello in cui le modalità sono solo due: maschio e femmina, funziona e non funziona (con riferimento ai pezzi prodotti da una macchina) ecc. I caratteri appartenenti a questa tipologia sono detti variabili dicotomiche e le loro modalità sono indicate, per convenzione, con 0 e 1.

Scala ordinale

La scala ordinale è impiegata per operare una classificazione tra le modalità e stabilire una relazione d'ordine (maggiore, uguale o minore) tra l'una e l'altra. Un carattere misurabile a livello di scala ordinale è una mutabile che presenta per modalità attributi ordinabili in una sequenza non arbitraria. Non è, tuttavia, possibile stabilire una distanza tra le modalità.

Costituisce un esempio di carattere ordinale il titolo di studio che si presenta mediante gli attributi nessun titolo, licenza media inferiore, licenza media superiore ecc.

Scala a intervalli

La scala a intervalli è impiegata per misurare le relazioni tra le diverse modalità e classificarle, rispettandone una sequenza lineare. In tale scala, l'unità di misura e l'origine sono arbitrarie. Un carattere misurabile a livello di scala a intervalli è una variabile tale che, a ogni coppia di elementi adiacenti, disposti in scala ordinale, è possibile assegnare un numero in grado di identificarne la distanza, ossia le differenze tra le modalità, senza stabilire un'origine oggettiva per il sistema di misure. Sono possibili le operazioni aritmetiche solo sulle differenze tra i valori della scala.

Il tipico esempio di carattere misurato su scala intervallare è la temperatura in gradi Celsius in cui lo zero, indicato con 0°, per convenzione, indica la temperatura a cui l'acqua gela.

Scala di rapporto

Per misurare le relazioni di distanza tra una modalità e l'altra, la scala di rapporto o proporzionale elimina l'arbitrarietà dell'unità di misura. Un carattere misurabile a livello di scala di rapporto è una variabile, per cui è possibile stabilire un'origine oggettiva, naturale o non arbitraria, il cosiddetto zero assoluto. Per tali caratteri si effettua un'operazione di misurazione con strumenti o di computo e sono possibili tutte le operazioni aritmetiche.

Costituiscono esempi di caratteri misurati su scala di rapporto: peso di un individuo, numero di componenti di una famiglia ecc.

Suddivisione in classi di modalità di un carattere quantitativo

Per classificare i caratteri continui, e spesso anche i caratteri discreti, è necessario scegliere modalità che non sono numeri, bensì intervalli, o classi. All'interno di ogni classe, tutte le unità statistiche si ritengono statisticamente omogenee anche se le rispettive misure del carattere osservato sono tra loro diverse. Le unità statistiche si ritengono invece statisticamente diverse, ovvero classificatoriamente non omogenee rispetto al carattere osservato, quando appartengono a classi diverse.

Questo procedimento permette di rappresentare caratteri quantitativi con un campo di variabilità molto ampio utilizzando distribuzioni con poche classi molto informative e di semplice interpretazione.

Dato un carattere X, che si estrinseca nella modalità x₁, x₂, ..., x_n, le notazioni usuali per indicare gli estremi di una classe di modalità sono le seguenti:

• [x_i-1; x_i), oppure x_i-1 ≤ x < x_i, per una classe chiusa a sinistra e aperta a destra del tipo x_i-1 ≤ x < x_i.
• (x_i-1; x_i], oppure x_i-1 < x ≤ x_i, per una classe aperta a sinistra e chiusa a destra del tipo x_i-1 < x ≤ x_i.
• [x_i-1; x_i], oppure x_i-1 ≤ x ≤ x_i, per una classe chiusa sia a sinistra sia a destra del tipo x_i-1 ≤ x ≤ x_i.
• (x_i-1; x_i), oppure x_i-1 < x < x_i, per una classe aperta sia a sinistra sia a destra del tipo x_i-1 < x < x_i.

Le classi devono comprendere tutte le modalità del carattere, per cui la successione ordinata delle classi deve essere esaustiva e disgiunta. L'ampiezza della classe i-esima, data dalla differenza tra i suoi estremi x_i-1 e x_i, è definita anche modulo, può essere uguale o diversa per tutte le classi. Il valore centrale di una classe è pari alla semisomma degli estremi della classe. Per la classe di estremi x_i-1 e x_i, il valore centrale è:

Le frequenze e le intensità

Le frequenze assolute

Il numero di volte in cui una data modalità del carattere si presenta nel collettivo è denominato frequenza assoluta o, semplicemente, frequenza. La frequenza associata alla i-esima delle k modalità, x₁, x₂, ..., x_k, di un carattere quantitativo discreto X è indicata, generalmente, con n_i, i = 1, 2, ..., k. Il significato delle frequenze associate alle modalità è il seguente:

• x₁ si presenta n₁ volte;
• x₂ si presenta n₂ volte;
• ... x_k si presenta n_k volte.

Le frequenze assolute godono delle seguenti proprietà:

• 0 ≤ n_i per i = 1, 2, ..., k.
• La somma delle frequenze è pari al numero n di unità del collettivo: Σn_i = n.

Le frequenze associate alle classi di un carattere quantitativo continuo con modalità suddivise in classi si definiscono in maniera analoga, tuttavia, si deve considerare la perdita d'informazione che scaturisce dalla suddivisione in classi di un carattere: non si conosce con certezza la frequenza associata a ciascuna modalità, bensì la frequenza di casi relativa all'intera classe, per cui le frequenze assolute indicano la consistenza numerica dell'intera classe. Se le classi sono equi-frequenti, allora l'ampiezza di ciascuna classe è pari a n/k. Per un carattere suddiviso in classi di modalità, è spesso utile calcolare le densità di frequenza, ossia i rapporti tra le frequenze di classe e le corrispondenti ampiezze di classe. Supponendo di disporre di frequenze assolute, la densità di frequenza per la classe i-esima è:

Le frequenze relative

La frequenza relativa della modalità i-esima del carattere X è la frazione di unità statistiche che presentano la modalità i; essa è generalmente indicata con f_i e si ottiene rapportando la frequenza assoluta n_i al numero delle unità del collettivo, per i = 1, 2, ..., k. Se X è un carattere quantitativo discreto, f_i è la frequenza relativa della modalità x_i di X.

Le frequenze relative godono delle seguenti proprietà:

• 0 ≤ f_i ≤ 1 per i = 1, 2, ..., k.
• La somma delle frequenze relative è pari a 1: Σf_i = 1.

In maniera analoga si definisce la frequenza relativa della classe i-esima in cui si suddivide un carattere quantitativo continuo. Le frequenze relative indicano il peso di ciascuna classe sull'insieme delle unità. Le frequenze relative con cui si presenta un carattere, espresse in termini percentuali e moltiplicate per 100, assumono la denominazione di frequenze relative percentuali.

Le frequenze cumulate

Sia dato un carattere quantitativo X con modalità x₁, x₂, ..., x_k ordinate in senso non decrescente, tali che x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_k, le frequenze cumulate assolute, o semplicemente frequenze cumulate, indicano il numero di volte in cui si presentano modalità di ordine inferiore o uguale a una data modalità. La frequenza cumulata della modalità i-esima, che indica il numero di unità del collettivo che presentano una modalità inferiore o uguale a x_i, è:

F_i = Σn_j per j = 1, 2, ..., i.

La frequenza cumulata relativa della modalità i-esima, che indica la frazione di unità del collettivo che presentano una modalità inferiore o uguale a x_i, è:

f_i = Σf_j per j = 1, 2, ..., i.