Riassunto di Statistica

E E E E =

1 2 1 2

–

P(E P(E ) + P(E ) P(E

1 1 2 1 P(E ) + P(E )

1 2

E ) E )

2 2 –

P(E ) P(E E )

1 1 2

–

P(E E ) P(E )

1 2 1

–

P(E ) P(E ) se E E

1 2 2 1

E ed E E ed E

1 2 1 2

dipendenti indipendenti

≠

P(E | E ) P(E | E ) =

1 2 1 2

P(E ) P(E )

1 1

≠

P(E | E ) P(E | E ) =

2 1 2 1

P(E ) P(E )

2 2

P(E )P(E |E )

1 2 1

P(E

1 = P(E )P P (E )P(E ) 0

2 1 2

E )

2 (E |E )

1 2 Tabella 8.1

cioè se il verificarsi dell’uno non influisce

Se due eventi sono indipendenti,

sulla probabilità di verificarsi dell’altro, la probabilità della loro intersezione

(gli eventi si avverano entrambi) è uguale al prodotto delle loro rispettive

∩

probabilità: P(E E ) = P(E )P(E ).

1 2 1 2

Se due eventi sono incompatibili, cioè se non possono verificarsi

contemporaneamente, la probabilità della loro unione (o si avvera un evento

l’altro)

o si avvera è uguale alla somma delle loro rispettive probabilità: P(E

1

∪ E ) = P(E ) + P(E ).

2 1 2

La misura della probabilità

Si possono dare le seguenti definizioni di misura della probabilità.

Definizione classica dell’esperimento

Se si conoscono le regole aleatorio, la misura discende

dall’applicazione degli assiomi del calcolo delle probabilità a quelle regole.

dell’evento

In queste situazioni, la probabilità è data dal rapporto tra il

numero di casi favorevoli all’evento e il numero dei casi possibili, qualora

siano tutti ugualmente possibili.

Alla regola generale si possono apportare numerosissime varianti, ma il

percorso è rigorosamente deduttivo.

Gli esempi classici vengono dai giochi di sorte: dadi, monete, urne.

Data una moneta ideale e simmetrica con le tradizionali facce Testa e

Croce, e immaginando che il lancio della moneta si realizzi sempre su T o C,

segue che: P(T) = P(C) = 1/2 = 0,5.

Allo stesso modo, il lancio di un dado simmetrico, che in ogni faccia ha

rispettivamente i punti da 1 a 6, configura un esperimento aleatorio in cui tutti

…

i punti da 1 a 6 hanno la stessa probabilità di avverarsi: P(1) = = P(6).

Sia un’urna composta da 10 palline identiche tranne che per il colore, così

4 bianche, 5 rosse. Da un’estrazione puramente casuale

differenziate: 1 nera,

si deduce che:

P(Bianca) = 1/10 = 0,1; P(Nera) = 4/10 = 0,4; P(Rossa) = 5/10 = 0,5

Vale ancora P(Bianca) + P(Nera) + P(Rossa) = 1.

I possibili criteri di estrazione di palline con etichette diverse da una o più

urne sono gli strumenti più efficaci per costruire campioni statistici.

Definizione frequentista

Nell’uso corrente e nella ricerca scientifica, la probabilità di un evento è

l’evento

stimata dalla frequenza relativa con cui stesso compare in un

campione molto ampio di osservazioni.

La frequenza relativa dell’evento in una distribuzione statistica si assume

dell’evento.

quindi come stima della probabilità incognita

Dato un campione di 10.000 neonati, rispettivamente di 5.100 Maschi e 4.900

Femmine, tenendo conto della frequenza relativa dei neonati, distinti per

sesso, la probabilità di ciascun sesso alla nascita sia così definita: P(M) =

5.100/10.000 = 0,51 e P(F) = 4.900/10.000 = 0,49.

La frequenza relativa è una buona stima della probabilità incognita solo se il

campione delle osservazioni è sufficientemente ampio da assicurare una

tendenziale stabilità della frequenza al crescere delle osservazioni.

Definizione su scommessa

Dati due eventi contrapposti, A e B, si immagini di scommettere

sull’avverarsi di A contro B impegnando una posta s (perdita certa), a fronte

di una vincita S (incerta).

Il rapporto (odds) tra la puntata s e la vincita S di A contro B misura la fiducia

che lo scommettitore ideale ha dell’avverarsi rispettivamente di A e B: P(A) =

s/S.

Se lo scommettitore è disposto a scommettere 100 su A per ricevere 400 nel

caso in cui A si avvera (e ovviamente a perdere 100 nel caso in cui A non si

avvera), la probabilità vale P(A) = 100/400 = 0,25. Ne segue che P(B) = 0,75.

La scommessa di A contro B è di 1 a 3.

Probabilità condizionate

probabilità dell’avverarsi di

Dati due eventi A e B, la A se si è avverato B,

cioè la probabilità di A condizionato a B, , è uguale alla probabilità

dell’intersezione A B (ovvero simmetricamente B A):

quindi

Se A e B sono tra loro indipendenti e , quindi:

Teorema di Bayes , …, , …

Dato un insieme esaustivo di ipotesi tra loro indipendenti, H H H ,

1 i n

), …, ), …,

con probabilità rispettive P(H P(H P(H ) e dato un evento E con

1 i n

P(E) > 0, la probabilità di una qualunque ipotesi H , condizionata

i

all’avverarsi di E, è: 1, 2, …,

per i = n

Il teorema esposto, denominato teorema di Bayes, definisce banalmente la

probabilità di un evento condizionato, ed è noto in Statistica come teorema

della probabilità delle cause dati gli effetti, o teorema delle ipotesi data

un’evidenza sperimentale o osservativa.

Variabili casuali e distribuzioni teoriche di

probabilità

Una variabile casuale (v.c.) o variabile aleatoria X è una variabile che può

assumere valori diversi, detti determinazioni della v.c., in dipendenza del

verificarsi di eventi aleatori. Una v.c. è una funzione dello spazio S che

associa a ciascuno degli eventi , costituenti una partizione di S, un valore

reale x , e che trasforma, quindi, lo spazio campione in un insieme di numeri

i

reali.

Una v.c. è generalmente indicata con le lettere maiuscole X, Y e Z, mentre i

valori che essa assume sono indicati con le corrispondenti lettere minuscole

x, y e z.

Se a ciascuno degli eventi elementari dello spazio campione si fa

corrispondere un numero reale si definisce una v.c., mentre se a ciascuno dei

dell’evento

possibili valori della v.c. si associa la probabilità corrispondente

si definisce la distribuzione di probabilità della v.c.

Variabili casuali discrete e variabili casuali continue

Nella teoria delle variabili casuali si opera una distinzione a seconda dello

spazio campionario su cui la v.c. è definita.

1. Variabili casuali discrete

Se la v.c. è definita su uno spazio campionario S discreto, si dice v.c.

discreta; in altri termini, essa può assumere valori in un insieme discreto

, …,

(finito o numerabile) di numeri reali: x , x x , ... in corrispondenza di

1 2 n

…,

altrettanti eventi E E E incompatibili e complementari, la cui

…,

1, 2, n, …, , …

probabilità di verificarsi sia p p p

1, 2, n

Considerato che gli eventi sono incompatibili e complementari risulta che

= 1.

A una v.c. discreta è associata una distribuzione di probabilità, rappresentata

dall’insieme delle modalità che la variabile può assumere, a ciascuna delle

quali è associata la relativa probabilità. , …, , … si dice

La distribuzione delle probabilità p , p p funzione di

1 2 n

probabilità della v.c. X. In altri termini, la funzione di probabilità della v.c.

discreta X è la funzione P(X) che associa a ognuno dei valori possibili x , x ,

1 2

…, … …, …:

x , della v.c. discreta X la corrispondente probabilità p , p , p ,

n 1 2 n

...

La funzione di probabilità è tale che:

1. Non assume mai valori negativi; in simboli: , per i = 1, 2, ...

2. La somma di tutte le probabilità è 1; in simboli: .

Si dice funzione di ripartizione F(x) della v.c. X la funzione così definita:

∈

≤

F(x) = P(X x) R

La funzione di ripartizione associa, quindi, a ogni numero reale x la

0

probabilità che la v.c. X assuma un valore non superiore a x .

0

2. Variabili casuali continue

Se la v.c. è definita su uno spazio campionario S continuo, si dice v.c.

continua; in altri termini, essa può assumere valori compresi in un intervallo

reale limitato o illimitato I. Alla v.c. X è associata una funzione y = f(x) detta

densità di probabilità che gode delle seguenti proprietà:

≥ 0

1. f(x)

2. = 1 ≤ ≤

= P(c X d) con (c; d) I

Pertanto, non è possibile calcolare la probabilità che la v.c. assuma un certo

valore, ma solo la probabilità che essa assuma valori compresi in un certo

intervallo.

La funzione di ripartizione y = F(x) di una v.c. continua (x; f(x)) è una

funzione reale di una variabile reale così definita:

≤

F(x) = = P(X x)

Graficamente, la funzione di ripartizione di una v.c. continua è rappresentata

da una curva non decrescente.

Valore medio e varianza di una variabile casuale

Data una variabile casuale X con P(X = x) = f(x), si possono definire:

la media aritmetica di X, detta anche valore atteso

per variabili discrete

per variabili continue

la varianza per variabili discrete

per variabili continue

Esempio

Lanciamo una moneta simmetrica due volte e associamo a Testa il

punteggio x = 1 e a Croce il punteggio x = 0. Qual è la distribuzione di

probabilità dei possibili risultati?

In due lanci (tra loro indipendenti) si può avverare:

TT con probabilità P(T)P(T) = 0,5 × 0,5 = 0,25

TC con probabilità P(T)P(C) = 0,5 × 0,5 = 0,25

CT con probabilità P(C)P(T) = 0,5 × 0,5 = 0,25

CC con probabilità P(C)P(C) = 0,5 × 0,5 = 0,25

Se TC e CT sono equivalenti e scambiabili, andando a sostituire le

modalità 0 e 1, la variabile casuale x somma dei punti è:

1 + 1 = 2 con P(2) = 0,25

1 + 0 = 0 + 1 = 1 con P(1) = 0,50

0 + 0 = 0 con P(0) = 0,25

Il valore atteso è E(X) = 2 × 0,25 + 1 × 0,50 + 0 × 0,25 = 1.

2 2 2

La varianza è V(X) = 2 × 0,25 + 1 × 0,50 + 0 × 0,25 = 1,5.

La variabile casuale binomiale

La variabile casuale binomiale B(n, p) descrive il numero X di risultati

(successo: x = 1; insuccesso: x = 0) ottenuti in una serie di n prove aleatorie

–

indipendenti, con P(x = 1) = p e P(x = 0) = 1 p:

dove è il numero di combinazioni di n elementi a x a x. –

La v.c. binomiale ha valore atteso E(X) = np e varianza V(X) = np(1 p).

La variabile casuale di Poisson

La variabile casuale di Poisson o “legge degli eventi rari” P(l) descrive un

esperimento aleatorio in cui si con