Riassunto del corso di Statistica

Statistica:

ES: Consumo di un bene in un certo periodo

I fenomeni collettivi riguardano un complesso di individui, detti anche Collettività, popolazione → Unità Statistiche

La caratteristica degli individui è detta Carattere, la quale assume per ogni individuo una determinata Modalità.

(Detta anche determinazione: modo in cui si presentano le variabili sugli individui).

Le modalità possono essere:

• Qualitative (Aggettivi, Sostantivi) → Ordinabili o Non Ordinabili (Sconnesse)
• Quantitative (Intensità, Valori) → Discrete (Portoggio) o Continue (Misurazioni n^o decimali)

Esempio:

• Ordinabili = Grado di Soddisfazione = Poco, Abbastanza, Molto
• = Titolo di Studio = S. titolo - elementari - medie - - -
• Non Ordinabili = Sesso, Attività, Stato civile, Religione - - -
• Discrete = Corrispondenza biunivoca con i numeri interi (n^o ) (Voto)
• Continue = Reali (Peso, Altezza)

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Se un indi v.duo mio assumere modalit compresi fra due

valori, si mio procedere a suddividere l'intervallo in

sotto intervalli, e mettere l'indi v.duo nella classe corrishodente.

le class masso essere oi intervalli irregolori

es. età de 0-5 / 5-10 / 10-14

Media

Sta all'interno del campo di variazione della variabile, not grande e not piccola delle freq rilevate.

• di posizione = locatore qualsiasi:
• analitica = quantitativa

Media Aritmetica

Usata se non vi è una distribuzione di frequenza

1. x̄ = (∑_i=1^m xi) / m

Media Aritmetica con distribuzione di frequenza

(quantitativo discreto)

1. x̄ = ∑_i=1^m x̄ifi = (1/m) ∑_i=1^m xi mi → f assolute
2. → f relative

Media Aritmetica con distribuzione in classi

I dati che non si può sapere come la frequenza sia distribuita nell'intervallo, utilizziamo la seguente formula:

1. x̄ = (1/m) ∑_i=1^m ci mi

In cui si moltiplica il valore centrale dell'intervallo con la freq. assoluta.

Media Aritmetica Ponderata

Viene usata quando si vuole dare pesi diversi alle modalità ossia un valore che esalti o meno quel carattere

1. x̄ = (∑_i=1^m xi li) / ∑_i=1^m li

Esempio esami dell'uni:

• xi = voto
• li = crediti

Media = ∑ voti x crediti / tot crediti conseguiti

Media di Posizione: Moda

Serve a individuare quale carattere si presenta più volte, ossia a frequenza massima; fa riferimento al carattere/classe e non alle frequenze.

Usata in qualsiasi tipo di carattere in situazioni qualitative sconnesse. Non cambia il suo calcolo da presente a assente.

Esempio:

• Settore
• Agricolo 0,72
• Industria 0,259
• Terz, AUAV 0,669

Classe modale x | Freq. Rel. | Densità

1. 1-2 | 0,3 | 0,3
2. 2-4 | 0,4 | 0,2
3. 4-7 | 0,3 | 0,1

La Mediana

x → caratteri ordinabili in modo crescente o decrescente. È data dalla variabile che sta al centro di una successione e divide in due l'intervallo. Esempio: S S S D B B B

Se modalità dispari: Mediana = (m + 1) / 2

Se modalità pari: Mediana = m / 2 oppure (m / 2) + 1 (devono essere uguali)

Esempio: S S S D D B B B Se non sono uguali → La mediana non è determinata.

Distribuzione di frequenza

Mediana = 35-36 → Se i due valori erano in freq. diversi Non si sa dove sono la mediana non c'è.

MISURARE LA VARIABILITÀ NELLE VARIABILI QUALITATIVE:

Omogeneità = Massimo se tutte le unità hanno \(\frac{1}{h}\)

Eterogeneità = Massima se tutte le unità hanno \(p\) uguali a \(0\) eccetto una uguale a \(1\).

\(O_1 = \sum_{i} f_i^2 = \sum_{i} m_i^2 \cdot \frac{1}{m}\)

\(E_1 = 1 - O_1\) min = \( \frac{1}{h} \) max = 1 \(O_{min} = 1 - \left( \frac{1}{h} \right) = \frac{h - 1}{h}\)

[Frequenze Relative]

Indice Normalizzato dell'eterogeneità

\(e_1 = \frac{E_1 - E_1(min)}{E_1(max) - E_1(min)}\) \(-\frac{E_1}{h-1}\) 0 = bassa eterogeneità 1 = alta

\(O_2 = \sum_{i=1}^h f_i \cdot \log(f_i)\) max = 0 min = \(-\log h\)

\(E_2 = -O_2\) min = 0 max = \(\log h\)

\(e_2 = \frac{E_2}{\log h}\) 0 = bassa eterogeneità 1 = alta

Esempio:

x | f | Rel

a | 0,05

b | 0,10

c | 0,10

d | 0,75

\(O_1 = 0,05^2 + 0,10^2 + 0,10^2 + 0,75^2 = 0,65\) \(E_1 = 0,385\) \(e_1 = \frac{4 \cdot 0,385}{4 - 1} = 0,543\)

\(O_2 = 0,05 \cdot \log(0,05) + 0,10 \cdot \log(0,10) + 0,10 \cdot \log(0,10) + 0,75 \cdot \log(0,75)\)

\(E_2 = 0,3587\) \(e_2 = 0,5988\)

Indice dell’Asimmetria

\(M_3 = \frac{1}{m} \sum (x_i - \bar{x})^3\)

0 = media aritmetica

risultato: pos = simm positiva neg = negativa \[O > 0\] = distribuzione simmetrica nel media

REGRESSIONE LINEARE

Variabili quantitative

Diagramma e dispersione

retta di regressione

retta di regressione migliore

• ^y reale
• ^y_i minimo

Data una X, possiamo avere:

y_i = β₀ + β₁x_i + ε

Metodo dei minimi quadrati

• G (β₀, β₁) =

covarianza

varianza regressore

ŷ

ŷ = ȳ + P_xy

(x - x̄)

Variabili Casuali

• Una Variabile si dice casuale in quanto il suo valore dipende dal risultato della prova.
• Variabili Casuali Discrete (Assume un valore finito numerabile di reali)
• Continue (Assume valori in tutto l'intervallo reale)

Variabili Casuali Discrete

• X = Variabile Casuale
• x_i = Detti modalità
• ...alle quali è associato una certa probabilità P(x_i):

Numero fattori di 8 libri:

La V.C. Discreta assume una probabilità compresa tra zero e uno e la somma di tutte le P(x_i)=1:

∑ P(x_i) = 1    0 < P(x_i) < 1

Funzione di Ripartizione

Associa un valore delle Variabili (consente di calcolare le probabilità cumulative) tra -∞ e +∞.

F(x) = P(X ≤ x)

* F(x) =

• 0     per   x < 5
• 3/8  per   5 ≤ x < 6
• 6/8  per   6 ≤ x < 8
• 1     per   x > 8

Funzione costante o a trasl.

P(X > x) = 1-F(x)

P(x₁ < X ≤ x₂) = F(x₂) - F(x₁)