Matematica generale

DEFINIZIONI MATEMATICA GENERALE (1° parziale)

• Funzione reale di variabile reale

È una funzione per cui entrambi gli insiemi X e Y coincidono con l’insieme R, cioè quando la

: ⊆ →

corrispondenza univoca fra X e Y associa un numero reale ad un numero reale.

L’insieme di definizione A è un sottoinsieme dell’insieme R e i suoi elementi prendono il nome di

= ()

punti di una retta. L’insieme di arrivo Y (codominio) è l’insieme R.

Non è possibile avere una funzione che a un valore del dominio associ due o più elementi del

codominio. x è la variabile indipendente e y è la variabile dipendente.

• Grafico di funzione

Gli insiemi X e Y coincidono con l’insieme R, quindi funzioni che associano un numero reale ad un



numero reale : ⊆ → = ()

È possibile utilizzare il grafico cartesiano per disegnare la funzione

Considerando una funzione reale, il suo grafico è costituito dall’insieme delle coppie (x,y) in cui x

appartiene al campo di esistenza della funzione e y è il valore corrispondente a x:

= {(, ) ∈ ; ∈ , = ()}

• Punto interno, esterno, di frontiera e di accumulazione

➢ Un punto a si dice interno all’insieme A quando appartiene ad A ed esiste un suo intorno

(completo) contenuto in A.

➢ Un punto a si dice esterno all’insieme A∈R quando non appartiene ed esiste un suo interno

() ∩ = ∅.

N(a) che non interseca A, tale che cioè

➢ ∈

Un punto a si dice di frontiera per l’insieme quando, rispetto a tale insieme, non è né

interno né esterno, ovvero ogni suo intorno completo contiene almeno un punto di A e

almeno un punto del suo completamento.

∗

➢ ∈ ⊆

Un punto è di accumulazione per l’insieme quando ogni suo intorno contiene

almeno un punto di A, distinto da a. L’insieme dei punti di accumulazione di un insieme A

viene chiamato insieme derivato di A e indicato con A’.

• Funzione composta : ⊆ → → , ⊆ ∈

Siano date le funzioni e definite, rispettivamente, in e Y: a ogni

() ∈

corrisponde, tramite la prima, l’elemento il quale, a sua volta, viene trasformato dalla

seconda funzione in g[f(x)]. Si chiama funzione composta, mediante f e g, la funzione

ℎ: ⊆ → ∈ ⊆

che a ogni associa l’elemento g[f(x)]. Tale funzione composta sarà indicata

= ().

con la notazione Le funzioni composte sono corrispondenze tra variabili indipendenti e

dipendenti indirette.

• Limite finito per x tendente ad un valore finito

: ⊆ →

Sia con punto di accumulazione per A; si dice che f ammette k come limite, al

0

() = > 0,

tendere di x a : quando in corrispondenza a un qualsiasi è possibile

0 →

> 0 ∈ ( − , + ) ≠

individuare un numero tale che, per ogni con , si abbia:

0 0 0

|() − | < − < () < +

ovvero

• Limite infinito per x tendente ad un valore finito

: ⊆ →

Sia con punto di accumulazione per A; si dice che f ammette +∞ (rispettivamente -

0

∞) () = +∞ () = −∞)

come limite, al tendere di x a : (rispettivamente quando in

0 → →

> 0, > 0 ∈

corrispondenza a un qualsiasi è possibile individuare un numero tale che, per ogni

( − , + ) ≠ () > () < −)

con , si abbia: (rispettivamente

0 0 0

• Limite finito per x tendente ad un valore infinito

: ⊆ →

Sia con A insieme illimitato superiormente (a destra) o inferiormente (a sinistra); si

() =

dice che f ammette k come limite, al tendere di x a +∞ (oppure -∞): (rispettivamente

→+∞

() = ) > 0,

quando in corrispondenza a un qualsiasi è possibile individuare un numero

→−∞

> 0 Ɐ > Ɐ < −)