Introduzione e teoria degli insiemi

Lezione 1 14 settembre 2020

Matematica può essere vista sia come metodo sia come strumento.

Matematica come metodo

È ipotetico deduttivo.

La mate si utilizza come uno strumento di coerenza del metodo ipotetico deduttivo.

Partiamo da cose che presupponiamo di sapere, cose assodate, in postulati, e in queste trovare nuove conseguenze ("teoremi") in modo coerente.

Così si trattano anche nel sistema giuridico ad esempio le sentenze, che chiamiamo esistenti come il sistema giuridico.

Matematica come strumento

Usiamo la matematica per risolvere problemi, per formalizzare situazioni di carattere economico-sociali.

Esempi

• A formalizzazione di un contratto.

Occavato tra 2i qui parti.

Esempio: Acquisto di un titolo obbligazionario a cedola fissa Buono del Tesoro poliennale (BTP).

Le obbligazioni sono dei contratti tra un emittente, uno stato/un'impresa, e dei compratori.

Sono che il titolare k franc-line.

E il compratore presta i soldi k pagato e potranno col ketchup rimborsano la somma versata e i compratori. Per cui (gli interessi) è restituita per bilancio in dei margini a restituirli (con interesse).

Causa rischio: con questi sono k pietà.

Obbligazione un'operazione.

Codice ISIN identificativo descrittore prezzo da darci sottocedono ascadenzax = (-1,4; 9,4; 1,5, 6,5; 4,5; 3,5. (1,5.4,5.) 10,15) €   Ce n'è dopo paradosso.

Prezzo d'acquisto: 1.3797RT%.

Cedole: 4,50 (vero semestrali).

Scopoenda: 01/11/2003.

Codice a due caso.

Importi (che assegniamo su una scadenza).

t = (14/09/2020, 01/11/2020, ...) 01/11/2023) date.

Quespando: A quale tasso di interesse si usa quest'operazione finanziaria?

Esempio: Acquisto di un bene i_nato.

TAEG (Tasso Annuo Effettivo Globale) è una metodologia che considera le potenze solo futuro a parte di tasso di artipedi polimere.

L'esistenza di finanziamenti si eleva alla futura con una coppia di vetussi, tenendo conto di tutte le spese.

Lezione 1 14 settembre 2020

Matematica può essere usata sia come metodo, sia come strumento.

Matematica come metodo

È ipotetico deduttivo.

Si utilizza come uno strumento di ricerca del metodo ipotetico deduttivo.

Partiamo da cose che presumiamo essere vere (assiomi, postulati) e da queste deriviamo conseguenze (teoremi) in modo coerente.

Così si tratta anche nel sistema giuridico ad esempio le sentenze che dicono cosa è corretto nel sistema giuridico.

Matematica come strumento

Usiamo la matematica per risolvere problemi, per pianificare situazioni di carattere economico e sociale.

Esempi

• Formalizzazione di un contratto.

Accordo tra 2 o più parti.

Esempio: Acquisto di un titolo obbligazionario o codice fiscale, acquisto di un bene o rate.

Buono del tesoro irredimibile.

Le obbligazioni sono dei contratti tra un emittente, uno stato/una impresa e dei compratori.

Codice ISIN: identificazione Descrizione Prezzo di corso del titolo Cedola Scadenza Prezzo di acquisto: 120,91.

Cedola: 4,5 euro (Cedola semestrale) 100 euro e il valore nominale (Emissione nominale).

Scadenza: 01/11/2023 Codice a due facciatex = (-120,91, 4,5, 4,5, 4,5, 4,5 (4,5, 4,5, 104)) euro.

Importi (che avvengono fino allo scadenza).

t = (14/09/2020, 01/11/2020, ..., 01/11/2023) date.

Domanda: a quale tasso di interesse si alinea quest'operazione finanziaria?

Esempio: Acquisto di un bene a rate.

TAEG (Tasso Annuo Effettivo Globale) è una quantità che risponde a questa domanda. È a quale tasso di interesse si allinea l'operazione di finanziamento? Si equivale con una coppia di valori, tenendo conto di tutte le spese.

(5) Regole dell'imposizione fiscale, dal unico 2020. (È una specie di contratto fra i cittadini e lo stato.)

IRPEF: imposta sul reddito delle persone fisiche.

Reddito come variabile (indip.) si definisce con funzione e tassi.

Così è possibile formulare dopo aver introdotto le funzioni (definite e tassi), così possiamo trovare subito l'irpef dovuto noto il reddito.

X = reddito.

I(x) = quota irpef.

(5) Confrontare e confrontare la crescita di funzioni.

Ad esempio x i dati epidemiologici covid.

Curva rossi: numero di contagiati al t dopo dato numero di contagiati sul tempo vedete quaderni.

Picoli diseasi.

Alla data del 10 aprile non si poteva sapere la faccia del restante grafico.

Dobbiamo sapere cosa vuol dire:

• Crescita lineare,
• Crescita esponenziale,
• Crescita "nulla"/poco.

Le richieste sono:

• Leggere e provare e spiegare il fenomeno;
• Fare previsioni = calcolo dell'indicazione + costo dell'incertezza (che si tabe su).

Lezione 2 15/09/2020

Richiami di teoria degli insiemi

Insieme è un oggetto primitivo (cioè lo prendiamo per buono, non lo definiamo).

Teoria ingenua degli insiemi (prendere l'insieme come un oggetto primitivo).

Dato un insieme e un elemento dobbiamo dire se l'elemento appartiene all'insieme.

• A. appartiene.
• B. a (appartenenza) b ∉ A (non appartenenza).

Si rappresenta con diagrammi di Euler-Ven.

ø = insieme vuoto.

Concetto di sottoinsieme

Concetto di sottoinsieme, usualmente:

Se ogni elemento di A è anche un elemento di B diciamo che A ⊆ B (A è sottoinsieme di B).

Se non esiste uno che ...

Se è vero se:

A ⊆ B ⟺ V a ∈ A => a ∈ B e si conclude:   comunque scelgo/per ogni A a ∈ A.

A ⊈ B ⟺ A ⊆ B e b ∈ B tale che b ∉ A.

Quantificatore universale (deve valere X tutti).

Quantificatore esistenziale (deve valere X almeno 1).

Supponiamo tra due insiemi:

A = B ⟺ A ⊆ B e B ⊆ A.

• 1. Proprietà P1 = uguaglianza.
• 2. Proprietà riflessiva: ∀ a, A = A (è uguale ai se).
• 3. P2 simmetrica: ∀ A e B, A = B ⟺ B = A (se ho 2 insiemi e sono uguali non cambia il rapporto).
• 4. P3 transitiva: ∀ A, B, C, A = B, B = C => A = C.

Relazione, confronto tra insiemi.

Operazioni tra insiemi

Operazioni tra insiemi.

Unione:

A ∪ B = { x | x ∈ A oppure x ∈ B }.

Espressione rappresentativa attraverso proprietà caratteristica (con le parentesi graffe).

Un certo modo di descrivere un insieme è per elencazione.

Es. { x | x è una delle prime tre lettere dell'alfabeto } = { a, b, c } per elencazione.

BA ∪ B = B.

CA ∪ B.

Proprietà di U:

• A ∪ ∅ = A.
• A ∪ B = B ∪ A (p. commutativa).
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (p. associativa).

Intersezione:

A ∩ B = { x | x ∈ A e x ∈ B }.

BA ∩ B = A.

CA ∩ B = ∅.

Quando succede ciò A e B si dicono disgiunti.

Proprietà di ∩:

• A ∩ ∅ = ∅.
• A ∩ A^c = ∅.
• A, B, C A ∩ B = B ∩ A (p. commutativa).
• A, B, C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (p. associativa).

Proprietà distributiva.

(lega le 2 operazioni tra di loro)

• A, B, C A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Prodotto cartesiano

Prodotto cartesiano è un'altra operazione tra insiemi.

Dati A, B, 2 insiemi.

Si definisce prodotto cartesiano l'insieme e degli elementi delle coppie ordinate dove prendendo come primo elemento un elemento di A, e come secondo elemento un elemento di B: è l'insieme.

A x B = {(a,b) | a ∈ A, b ∈ B}.

(ved. definizione Aⁿ)

Esempio.

A = {a₁, a₂} B = {a₃, a₄}.

A x B = {(1,2) : (2,1) : (2,2) : (2,1) : (2,1)} tutte le pos. combinazioni.

Quindi B x A ≠ A x A.

Qui l'ordine conta e scrivo:

la disposizione e la funzione di A sono adesso F = {(a, b) b ∈ B ⋀ a, b ∈ A ⋀ a = a²-2}.

Il prodotto cartesiano ci accanda le giuste combinazioni.

A x A_x...X Aⁿ = {((a₁ c₂) a_n) (a_i ∈ A c ∈ A ... c_n ∈ A}.

n volte.

La differenza

La differenza.

Dati due insiemi A, B.

A \ B = {x | x ∈ A e x ∉ B}.

B \ A = {x | x ∈ B e x ∉ A}.

Quindi A \ B ≠ B \ A.

Osservazioni:

A ∪ B = (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B \ A).

Se chiamiamo C = A ∪ B.

C \ ((A ∩ B) ∪ (B \ A)) = A ∩ B.

Insiemi di numeri

Insiemi di numeri.

Numeri naturali N = {0,1,2,3,...}.

N₀ +.

Operazione somma.

Una legge di composizione interna.

N x N -> N.

La coppia.

Ottenere all’interno di coppie (n,m), n+m.

Prodotto.

N₀,N x N -> N.

N che si somma un num. natur. e (n,m) -> n∙m.

Si associa a.

Struttura algebrica.

Proprietà della somma.

• ∀ a,b,c ∈ N a+b=b+a (P. commutativa).
• ∀ a,b,c ∈ N a+(b+c)=(a+b)+c (P. associativa).
• ∃ 0 ∈ N t.c. ∀ a ∈ N a + 0 = a (Elemento neutro).

Oss.

∀ a ∈ N non trovo un numero c ∈ N t.c. che a+b=0.

In N non esiste l’inverso additivo, detto l’opposto (dei numeri naturali) X sono positivi e sono Zero.

Proprietà del prodotto.

• ∀ a,b ∈ N a∙b=b∙a (P. commutativa).
• ∀ a,b,c ∈ N a∙(b∙c)=(a∙b)∙c (P. associativa).
• ∃ 1 ∈ N t.c. ∀ a ∈ N a ∙ 1 = a (Elemento neutro).

Oss.

∀ u ∈ N non posso trovare un b ∈ N t.c. che a∙b=1 perché non esiste in N l’inverso moltiplicativo detto reciproco.

0 ---- 1 ---- 2 ---- 3 ---- 4 --> N.

Numeri interi

Numeri interi.

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}.

Operazione somma: Z, +.

Operazione prodotto: Z, •.

Vengono le proprietà 1, 2, 3 per + e •.

In questi insiemi però ci sono sempre gli opposti.

Opposto di a possibile dire che: ∀ a ∈ Z, ∃ -a ∈ Z, tale che a + (-a) = 0 (esiste l'opposto).

Assi ∀ a ∈ Z non riesco a trovare il reciproco esper b ∈ Z tale che a • b = 1.

N ⊂ Z N è un sottoinsieme di Z.

Numeri razionali

Numeri razionali.

Q = {p/q|p, q ∈ Z, q ≠ 0}.

p = Numero intero quando p è multiplo di q (es. 4/2 = 2).

q = Numero decimale finito (es. 1/4 = 0.25).

Numero decimale periodico (es. 1/3 = 0.333...).

Assi ∀ a ∈ Z a = a/1 = 2a/2, ecc... quindi ogni num. intero posso scriverlo come una frazione.

Z ⊂ Q Z è un sottoinsieme di Q.

Posso introdurre + e • in Q.

+ (p/q) + (n/s) = (ps + nq)/(qs).

• (p/q) • (n/s) = (p • n)/(q • s).

(Q, +) Hanno le proprietà 1, 2, 3 di N e uso anche l'esistenza dell'opposto.

∀ a, b ∈ Q, ∃ -a ∈ Q tale che a + (-a) = 0.

∀ a ∈ Q diverso da zero ∃ 1/a ∈ Q tale che a • 1/a = 1.

Lezione 3

In Q (come in Z e in N) vale la proprietà distributiva.

• A, b, c ∈ Q a · (b + c) = a · b + a · c.

Posso dividere ciascun segmento in parti.

Non riesco a capire tutta la fetta con gli elementi di Q. Se manca presente dei buchi. Per capire se alcuni dei buchi devi spostare di ordinamento su Q.

Insiemi ordinati

Insiemi ordinati.

a≤b (è una relazione ordinata se...)

• A ∈ A, a ≤ a, a ≤ (il riflessiva).
• A, b ∈ A, se a ≤ b e b ≤ a ⇨ a = b (p. simmetrica).
• A, b, c ∈ A, se a ≤ b ≤ c ⇨ a ≤ c (p. transitiva).

È totalmente ordinato se un suo (anche se meno ordinato) sono in grado di confrontare tutti gli elementi in coppia.

A e B è un set ordinato. Ord il set può essere B ≥ A (e ai confrontabili).

N. Z. Q sono totalmente ordinato rispetto del quale relazione di ordine. Tre e meno.

Oss.: Si possono fare degli esempi di un insieme A. Meno di una relazione d'ordine che è un insieme ordinato, ma non totalmente ordinato. Hai: le proprietà 1, 2, 3, ma non la 4. Il soma ci A. E per cui non vale ma a ≤ b ma b ≤ a.

Un insieme totalmente ordinato X con la relazione ≤ è denso se per ogni x, y ∈ R con x ≤ y ∈ z ∈ A, t ∈ X, x ≤ t ≤ y.

x y Quel badaimo qui, poi presenti.

Es.

Z con denso.

Non c'è massimo esempio di Z.

Es.

Qui denso.

In mezzo la fra gruppo (a x)^(a_r), che è un elemento di Q.

Notazione.

a ≤ b ⇒ a ≤ b e a ≠ b.

L'insieme di A può essere non vuoto o coprire tutte e due le somme dei numeri che non riesco a scrivere, delle frazioni al scherno dei buchi.

Es. (a, 1/2] e (sono interi o numeri decimali con infinite cifre pari) K = 1,3223322322332222... (sono numeri che eliminati non precedenti).

Preleviamo il numero irrazionale approssimacioni per difetto A x = {2,1, 4, 1,23, 1,223,..}.

B (x)x = {2,1 4,3,1,24,1,233,...} (approssimacioni per eccesso).

Oss.

Gli elementi di Ax e Bx sono numeri razionali.

Ogni elemento di Ax è minore di tutti gli elementi di Bx e viceversa ogni elemento di Bx è maggiore di tutti gli elementi di Ax.

Ax ≠ Bx.

Oss.

I numeri reali si ottengono prelevando Q e "equivalendo i buchi che corrispondono ai numeri irrazionali".

R = {Q ∪ {irrazionali}}.

{irrazionasi} = R \ Q R_k := Valgono le stesse proprietà viste in Q.

R_t ⇒ dendo R_k é completo (non ha buchi).

Q ⇒ dendo Q non è completo (ha buchi).

a Rx ⊂ y.

Sottinsieme di R_t.

Intervalli [a,b] := {X ∈ R_t | Qx Intervallo chiuso.